Сопротивление материалов - часть 4

17

2. Механические свойства материалов

Для  оценки  прочности  и  жесткости  конструкций  необходимо

знать механические свойства используемых материалов, которые оп-
ределяются при специальных испытаниях образцов. Рассмотрим про-
цессы изучения механических свойств материалов при наиболее про-
стых видах нагружения - растяжении и сжатии.

2.1. Напряженно-деформированное состояние образца
На рис. 2.1,а показана схема нагружения цилиндрического образ-

ца, который подвергается растяжению на испытательной машине. На
достаточном  удалении  от  концов  образца  выделяется  его  рабочий
участок длиной l. Образец называется нормальным, если l=10d, если
же l=5d, то коротким. Иногда для испытаний используются образцы
прямоугольного поперечного сечения, выполненные из полосы.

На  рис. 2.1,б  показано  нагружение  и  деформирование  рабочей

части образца. В соответствии с принципом Сен-Венана нагружение
рабочей  части  образца  не  зависит  от  особенностей  приложения  на-
грузки, а определяется равнодействующей внешних сил Р. В попереч-
ных сечениях образца на границах рабочей части возникают внутрен-
ние  силы,  интенсивность  распределения  которых  характеризуется
нормальными напряжениями 

σ

. При растяжении рабочая часть образ-

ца удлиняется (

∆∆∆∆

l = l

1

 - l) в продольном направлении и сужается (

∆∆∆∆

d =

d

1

 - d) в поперечном направлении. При этом нанесенные на поверхно-

сти  образца  поперечные  параллельные  линии  не  искривляются  и  ос-
таются параллельными, а расстояния между ними увеличиваются. Это
является  экспериментальным  подтверждением  гипотезы  плоских  се-
чений (гипотезы Бернулли). Согласно этой гипотезе сечение плоское
до деформации остается плоским и после деформации.

Рассмотрим  напряженно-деформированное  состояние  образца

при  его  деформировании  в  упругой  области.  Линейная  деформация
отрезка АВ длиной S (см. рис. 2.1,б) 

εεεε

 = 

∆∆∆∆

S/S постоянна по сечению

образца и не зависит от того, в каком месте рабочей части образца выделен
этот отрезок. Отсюда следует, что продольная деформация в любой точке
рабочей части образца одинакова и может определяться по формуле

εεεε

=

∆

l

l

.

(2.1)

В данном случае, продольная деформация 

εεεε

 - это отношение из-

менения длины участка к его первоначальной длине, т.е. относитель-
ное изменение длины участка.

18

Рис. 2.1

Соответственно, поперечные деформации определяются отношением:

′′′′ ====

εεεε

∆∆∆∆

d

d

.

(2.2)

Из  опыта  следует,  что  поперечные  и  продольные  деформации

связаны соотношением:

εεεε′′′′

 = -

µµµµεεεε

,

(2.3)

где 

µµµµ

 - коэффициент Пуассона.

Коэффициент Пуассона может быть определен с использованием

экспериментально  замеренных  поперечных  и  продольных  деформа-
ций:

µµµµ

εεεε

εεεε

====

′′′′

.

(2.4)

Для  изотропных  материалов  значения  коэффициента  Пуассона

лежат в пределах 0 < 

µµµµ

 < 0,5. Например, для сталей 

µµµµ

 = 0,25 

÷÷÷÷

 0,33.

Найдем объемную деформацию рабочей части образца:

εεεε

v

====

====

−−−−

====

−−−−

∆

V

V

V

V

V

F l

Fl

1

1 1

1

,

19

где V = Fl - начальный объем рабочей части образца; F – площадь поперечного
сечения  образца  до  нагружения;  V

1 

=  F

1

l

1

 - объем  рабочей  части  образца  после

деформирования; F

1

 - площадь поперечного сечения образца после нагружения.

Учитывая соотношения d

1

 = d + 

∆∆∆∆

d,  l

1

 = l + 

∆∆∆∆

l и формулы (2.1) - (2.3), получим:

εεεε

µε

µε

µε

µε

εεεε

====

++++

⋅⋅⋅⋅

−−−− ====

−−−−

++++

−−−−

(d

d)

d

l

l

l

2

2

∆

∆

+

1

1

1

1

2

(

) (

)

 .

Пренебрегая членами с 

εεεε

2

 и 

εεεε

3

 как величинами более высокого порядка малости

по сравнению с 

εεεε

, получим следующее выражение:

εεεε

v

 = (1 - 2

µµµµ

) 

εεεε

 .

(2.5)

Очевидно, что при растяжении 

εεεε

v

 > 0 и 

εεεε

 > 0, поэтому 

µµµµ

 

≤≤≤≤

 0,5.

В  соответствии  с  постоянством  деформаций  по  объему  рабочей

части  образца  приходим  к  заключению  о  неизменности  напряжений
во всех точках рабочей части. Такое напряженное состояние стержня
(образца) называется однородным (точки стержня находятся в одина-
ковых условиях). Напряженное состояние участков образца перемен-
ного сечения (см. рис. 2.1,а) является неоднородным.

Нормальные напряжения 

σσσσ

 и полные напряжения p соответствен-

но  в  поперечных  и  наклонных  сечениях  рабочей  части  образца  рас-
пределены  равномерно  (рис. 2.1,в).  Отсюда  следуют  (см.  рис. 2.1,б)
соотношения:

σσσσ

====

P

F

;       

p

====

P

F

a

,

(2.6)

где F

αααα

 = F / cos

αααα

  - площадь наклонного сечения.

Полные напряжения 

p

 в наклонном сечении (см. рис. 2.1,в) нахо-

дятся из условия равновесия выделенной части:

pF

αααα

 = 

σσσσ

F     или     p = 

σσσσ

 сos

αααα

.

(2.7)

Полные напряжения 

p

 в произвольной точке K (рис.2.1,в,г) могут

быть разложены на нормальные и касательные напряжения:

σσσσ

α

αα

α

 

 = p сos

αααα

 ;       

ττττ

α

αα

α

 = p sin

αααα

.

Эти напряжения с учетом (2.7) определяются формулами:

σσσσ

α

αα

α

 

 = 

σσσσ

 сos

2

αααα

 ;     

ττττ

α

αα

α

 = 

1

2

σσσσ

 sin2

αααα

.

(2.8)

Анализ формул (2.8) показывает, что нормальные напряжения 

σσσσ

αααα

максимальны в поперечных сечениях (

αααα

 = 0) стержня (образца), а ка-

сательные напряжения 

ττττ

α

αα

α

  максимальны в сечениях под углом 

αααα

 = 45

°°°°

,

где они равны:

τ

max

 = 

σ

 / 2.

(2.9)

20

В продольных сечениях (

αααα

 = 90

°°°°

) касательные и нормальные на-

пряжения отсутствуют.

Используя соотношения (2.8), можно получить, что для взаимно

перпендикулярных площадок (см. рис. 2.1,в) справедливы равенства:

σσσσ

α

αα

α

 + 

σσσσ

α

αα

α

+90

 = 

σσσσ

,       

ττττ

α

αα

α



 = 

ττττ

α

αα

α

+90



.

(2.10)

Из  первого  равенства  следует,  что  сумма  нормальных  напряже-

ний  во  взаимно  перпендикулярных  площадках  есть  величина  посто-
янная.

Во  втором  равенстве  проявляется  общее  свойство  касательных

напряжений - закон парности касательных напряжений: во взаим-
но  перпендикулярных  площадках  действуют  равные  по  величине  ка-
сательные  напряжения,  направленные  либо  от  ребра,  либо  к  ребру
пересечения этих площадок.

2.2. Испытание на растяжение
Образец из соответствующего материала растягивается на испы-

тательной машине (см. рис. 2.1,а). Обычно испытание образца прово-
дится  до  разрушения.  В  результате  испытания  образца  получается
диаграмма растяжения - кривая зависимости между растягивающей
силой  P  и  удлинением  образца 

∆∆∆∆

l,  записанная  автоматически  диа-

граммным  аппаратом  испытательной  машины.  На  рис.2.2,а  показана
характерная диаграмма растяжения для пластичного материала.

Диаграмма растяжения зависит от размеров образца. Для получе-

ния  прочностных  характеристик  материала  диаграмму  растяжения
перестраивают  в  координатах 

σσσσ

-

εεεε

  с  использованием  формул (2.1),

(2.6):

σσσσ

====

P

F

;       

εεεε

=

∆

l

l

,

где F и l – площадь поперечного сечения и длина рабочей части об-
разца до нагружения.

При  этом  получается  диаграмма  условных  напряжений,  пока-

занная на рис. 2.2,б сплошной линией. Если по оси ординат отклады-
вать  напряжения,  определяемые  с  учетом  изменения  площади  попе-
речного сечения образца, а по оси абсцисс - наибольшие деформации
в  данный  момент  нагружения,  то  получается  диаграмма  истинных
напряжений. Эта диаграмма показана на рис. 2.2,б пунктирной лини-
ей (заметное отличие от условной диаграммы наблюдается только от
точки D на участке DK).