Сопротивление материалов - часть 3

13

1.4. Перемещения и деформации
Под действием нагрузки тело изменяет свою форму и размеры, т.

е.  деформируется.  При  этом  точки  тела  меняют  свое  положение  в
пространстве. Вектор 

δδδδ

, соединяющий начальное (до нагружения) и

конечное  (после  нагружения)  положения  точки,  называется  линей-
ным  перемещением  точки  (рис.  1.8,а).  В  системе  координат  Oxyz
полное линейное перемещение имеет составляющие по осям 

δδδδ

x

, 

δδδδ

y

, 

δδδδ

z

(также будем использовать их обозначения 

u, v, w

). Вводится поня-

тие и углового перемещения 

θ

 как угла поворота элементарного (бес-

конечно малого) отрезка в пространстве (см.  рис.  1.8,а).  Угловое  пе-
ремещение также может быть представлено составляющими 

θ

x

, 

θ

y

, 

θ

z

.

Перемещения  точек  тела  при  его  деформировании  обычно  являются
малыми величинами по сравнению с линейными размерами тела (та-
кие тела называются относительно жёсткими).

Рис. 1.8

Для характеристики интенсивности изменения формы и размеров

тела при нагружении вводится понятие деформации - линейной и уг-
ловой.  Под  линейной  деформацией  в  произвольной  точке  А  в  на-
правлении 

S

 (рис. 1.8,б) понимается предел отношения:

0

Ä

0

0

0

1

0

0

0

s

å

S

S

S

S

S

S

lim

lim

S

→

→

=

−

=

.

(1.4)

Условно изменение длины малого отрезка показано на рис. 1.8,в.
Соответственно, в направлении осей x, y, z получаем компоненты

(составляющие) линейной деформации 

εεεε

x

, 

εεεε

y

, 

εεεε

z

.

Изменение элементарного прямого угла (см. рис. 1.8,б)

)

E

D

C

CDE

(

1

1

1

0

0,

DE

CD

CDE

ã

∠

−

∠

=

→

→

lim

(1.5)

называется угловой деформацией (или деформацией сдвига) в т.D в
плоскости CDЕ.  В  координатных  плоскостях  угловая  деформация
обозначается 

γ

xy

, 

γ

yz

, 

γ

xz

.

14

Деформация  является  безразмерной  величиной.  Положительная

линейная  деформация  (деформация  растяжения)  соответствует  уве-
личению  длины  отрезка,  отрицательная  линейная  деформация  (де-
формация сжатия) - уменьшению длины отрезка, положительная уг-
ловая  деформация - уменьшению  прямого  угла  (переходу  его  в  ост-
рый  угол).  Совокупность  линейных  и  угловых  деформаций  во  всех
направлениях  и  плоскостях,  проходящих  через  точку,  характеризует
деформированное состояние в точке.

Примечания.

1.  Силы,  напряжения,  перемещения  являются  векторными  величинами.  В

дальнейшем для упрощения записи и рисунков черточки для обозначения векто-
ров не ставятся.

2.  Следует  иметь  в  виду,  что  термин  «деформация»  часто  употребляется  в

двояком  смысле.  Во-первых,  как  физическая  величина  (линейная  и  угловая  де-
формация). Во-вторых, как синоним деформирования; в этом смысле существу-
ют  понятия  простейших  видов  деформации  бруса - растяжение  и  сжатие,  срез,
кручение, изгиб.

1.5. Закон Гука. Основные принципы
Проводя  опыты  над  различного  типа  пружинами,  стержнями  и

нитями, английский учёный Р. Гук пришёл к выводу, что при их на-
гружении и при упругих деформациях в материале перемещения про-
порциональны  величине  действующей  силы 

δδδδ

=kP.  Эта  зависимость

получила  название  закона  Гука.  Однако  коэффициент  пропорцио-
нальности  k  зависит  как  от  свойств  материала,  так  и  от  геометриче-
ских  параметров  системы.  В  современной  трактовке  закон  Гука  ус-
танавливает  линейную  или  прямо  пропорциональную  зависимость
между  напряжениями  и  деформациями  в  точке  тела.  Коэффициент
пропорциональности зависит только от свойств материала. Таким об-
разом, закон Гука отражает свойства идеальной упругости материала.

Тела (системы), для которых выполняется закон Гука, называют-

ся  линейно  упругими.  Системы,  для  которых  зависимость  между  на-
пряжениями  и  деформациями  является  нелинейной,  называются  фи-
зически нелинейными. Если выполняется закон Гука для материала, но
зависимость  между  перемещениями  и  силами  является  нелинейной
(при  относительно  больших  перемещениях),  то  система  называется
геометрически нелинейной. В общем случае, для нелинейных  систем
могут присутствовать нелинейности обоих типов - физическая и гео-
метрическая.

15

В  механике  деформируемых  тел  при  анализе  расчётной  модели

используются три основных принципа: принцип начальных размеров,
принцип суперпозиции и принцип Сен-Венана.

Согласно  принципу  начальных  размеров  для  упругих  систем,  в

которых  перемещения  малы,  уравнения  статики  (равновесия)  можно
составлять для недеформированного состояния. Смысл принципа по-
казан на примере стержневой системы (рис. 1.9). Применяя метод се-
чений и составляя уравнение равновесия для отсечённой части систе-
мы при 

α

1

≈α

F

y

====

∑

∑

∑

∑

0

;   2Ncos

α

 - P = 0;   

N

cos

====

P

2

αααα

,

можно достаточно просто найти внутренние силы в упругих элемен-
тах (стержнях). Принцип начальных размеров неприменим для гибких
систем,  в  которых  имеют  место  большие  перемещения,  и  для  кине-
матически изменяемых систем, допускающих перемещение системы
как жёсткого целого.

Рис. 1.9 

Рис. 1.10

В соответствии с принципом суперпозиции (принципом незави-

симости  действия  сил)  эффект  от  действия  нескольких  сил  равен
суммарному эффекту от раздельного действия каждой силы. При этом
величина искомых параметров (перемещений, внутренних сил и т.д.)
не  зависит  от  порядка  приложения  внешних  сил.  Например,  верти-
кальное  перемещение  концевого  сечения  (v

A

)  консольной  балки  при

совместном  действии  сил  Р

1

  и  Р

2

  (рис.  1.10,а)  равно  алгебраической

сумме перемещений при действии каждой силы (рис 1.10,б,в):

v

A

 (P

1

, P

2

) = v

A 

(P

1

) + v

A 

(P

2

).

Принцип  суперпозиции  справедлив  только  для  систем,  которые

подчиняются закону Гука и принципу начальных размеров.

Принцип  Сен-Венана  устанавливает,  что  особенности  приложе-

ния нагрузки не сказываются в упругом теле на расстояниях, превы-
шающих характерные поперечные размеры. Например, если рассмат-
ривать  случаи  действия  на  малой  площадке  различных  распределён-

16

ных нагрузок (рис. 1.11,а), причём равнодействующие этих поверхно-
стных  нагрузок  одинаковые,  то  отличаться  будут  местные  напряже-
ния и деформации в пределах малой области. При удалении от места
приложения нагрузки, на расстоянии порядка размера 

а

 площадки на-

гружения (см. рис. 1.11,а), напряжения и деформации будут практиче-
ски  одинаковы.  Нагрузки,  имеющие  одинаковые  равнодействующие
усилия,  называются  статически  эквивалентными.  Таким  образом,
применяя  принцип  Сен-Венана,  можно  не  учитывать  особенности
приложения  внешних  сил,  но  вне  зоны  их  действия.  Например,  при
расчёте  троса  на  растяжение  не  играет  роли  способ  приложения  на-
грузки: за счет подвески грузов  или тяги через крюк (рис. 1.11,б). От-
брасывая  части  троса,  примыкающие  к  его  концам,  и  прикладывая
статически  эквивалентную  нагрузку  P,  получаем  единую  расчётную
модель стержня (см. рис. 1.11,б).

Рис. 1.11

Принцип  Сен-Венана  распространяется  и  на  тела,  имеющие  об-

ласти  резкого  измене-
ния 

геометрической

формы. Например, брус
с  отверстиями,  зоной
ступенчатого 

измене-

ния сечения (рис. 1.12).

В  приближённых  методах  расчета,  применяемых  в  сопротивле-

нии  материалов,  часто  используется  гипотеза  плоских  сечений  (ги-
потеза  Бернулли):  сечения  бруса,  плоские  до  деформации,  остаются
плоскими и после деформации. Эта гипотеза хорошо соблюдается, за
исключением  зон  возмущения,  оговариваемых  принципом  Сен-
Венана.

Рис. 1.12