Сопротивление материалов - часть 2

9

Рис. 1.3

В системе СИ единицами измерения силы являются ньютоны (Н)

или килоньютоны (кН), т.е. применяется такая  размерность  для  рас-
сматриваемых типов нагрузки: Р /Н, кН/; М /Н

⋅

м, кН

⋅

м/; q /Н/м, кН/м/.

В расчетной модели используется понятие связи как ограничения

перемещений в некоторых точках тела. Наиболее часто рассматрива-
ются  модели  типовых  опор  как  системы  связей.  В  качестве  примера
на  рис.  1.4  показаны  плоские  модели  опор.  Шарнирно-подвижная
опора или каток (рис. 1.4,а) накладывает одну связь  (на  рисунке  это
соответствует  запрещению  вертикального  перемещения).  В  частно-
сти, такая связь может быть упругой (рис. 1.4,б), допускающей опре-
делённые  (конечные)  перемещения.  Шарнирно-неподвижная  опора
моделируется  двумя  связями  (рис.  1.4,в),  которые  запрещают  любые
линейные  перемещения  в  плоскости.  Опора  типа  жёсткого  закрепле-
ния  или  заделки  (рис.  1.4,г)  запрещает  линейные  и  угловые  переме-
щения.  Возможны  и  другие  варианты  опор  за  счёт  наложенных  свя-
зей, например  подвижная заделка - закрепление, ограничивающее по-
ворот  и  линейное  перемещение  в  направлении  наложенных  связей
(рис. 1.4,д).

Рис. 1.4

10

При  моделировании  вариантов  пространственного  закрепления

используется различное число связей, вплоть до шести.

В месте наложения связей в соответствующих направлениях воз-

никают  реакции  связей  (силы  и  моменты),  которые  относятся  к
внешним силам. Например, в шарнирно-неподвижной опоре (см. рис.
1.4,в) возникают две силы; в заделке (см. рис. 1.4,г) - две силы и мо-
мент.

Если реакции связей в системе могут быть определены с исполь-

зованием уравнений статики (равновесия), то такая система называет-
ся  статически  определимой.  Если  же  число  реакций  больше  числа
независимых  уравнений  статики,  то  такая  система  называется  ста-
тически неопределимой.

По  характеру  изменения  во  времени  нагрузки  разделяются  на

статические  и  динамические.  Считается,  что  статическая  нагрузка
постепенно возрастает от нуля до номинального значения и затем не
изменяется с течением времени или мало изменяется. Динамические
нагрузки характеризуются заметным изменением во времени, возник-
новением  значительных  ускорений  частиц  тела.  Например:  ударные,
повторно-переменные, быстроизменяющиеся нагрузки.

Таким  образом,  моделирование  материала  и  формы  тела,  нагру-

зок и связей позволяет описать качественные особенности реального
объекта.

1.2. Внутренние силы.  Метод сечений
Для деформируемого тела существует понятие внутренних свя-

зей, соединяющих частицы тела в единое целое. При нагружении де-
формируемого тела в нём возникают внутренние силы взаимодейст-
вия частиц тела. Приём выявления внутренних сил путем мысленного
рассечения  тела  на  две  части  носит  название  метода  сечений.  На-
пример, если плоскость П рассекает брус на две части (рис. 1.5,а), то в
сечениях  для  левой  и  правой  частей  бруса  возникают  системы  внут-
ренних сил p

л

 и p

п

, которые всегда взаимны по принципу действия и

противодействия (рис. 1.5,б). (Рассечение тела на две части означает
отбрасывание внутренних связей.) Если привести систему внутренних
сил по правилам статики к центру площади сечения (т.0), то получим
главный вектор 

R

 и главный момент 

M

 внутренних сил. Выберем

систему координат 0xyz, где ось z направлена по нормали к сечению, а
оси x и y расположены в его плоскости.

11

а) 

б) 

в)

Рис. 1.5

Составляющие 

R

 и 

M

 по осям x, y, z называются внутренними

силовыми факторами (три силы и три момента). Они носят опреде-
лённые названия: N - нормальная или продольная сила; Q

x

, Q

y

 - попе-

речные  силы; 

x

M

, 

y

M

 - изгибающие  моменты  относительно  осей

x и y; 

к

M

 

- крутящий момент (рис. 1.5,в). Все шесть внутренних си-

ловых факторов могут быть определены из шести уравнений равнове-
сия, составленных для отсеченной части бруса.

Таким  образом,  определение  внутренних  силовых  факторов  по

методу сечений сводится к четырем основным операциям: 1) рассека-
ется брус плоскостью в некотором сечении; 2) отбрасывается одна
из  частей  бруса  (левая  или  правая); 3) заменяется  действие  отбро-
шенной  части  на  оставшуюся  внутренними  силовыми  факторами; 4)
уравновешивается оставшаяся часть бруса, т. е. из уравнений равно-
весия определяются внутренние силовые факторы.

При  необходимости  наглядного  представления  возникающих

внутренних силовых факторов для бруса в целом строятся эпюры от-
дельных внутренних силовых факторов - графики их изменения по
длине бруса.

1.3. Напряжения
Напряжения являются мерой интенсивности действия внутренних

сил в теле. Выделим малую площадку 

∆∆∆∆

F в окрестности т.А сечения

бруса  и  равнодействующую  внутренних  сил 

∆∆∆∆

R

  на  этой  площадке

(рис.  1.6,а).  Существуют  понятия  среднего  напряжения 

p

ср

  на

площадке  и  полного  напряжения 

p

  в  точке,  которые  определяются

соотношениями:

p

F

ñð

R

=

∆∆∆∆

∆∆∆∆

;  

F

R

F

R

Ä

Ä

0

Ä

d

d

Δ

=

=

→

F

lim

p

. (1.1)

12

Вектор полного напряжения 

p

 может быть представлен в виде

составляющих (рис. 1.6,б): нормальное напряжение 

σσσσ

 (направлено

по нормали 

n

 к площадке) и касательное напряжение 

ττττ

 (в плоско-

сти  сечения).  Нормальные  и  касательные  напряжения  необходимо
различать, потому что материал по-разному сопротивляется их дейст-
вию. Если обозначить через 

αααα

 угол между векторами 

p

 и нормалью

n

, то имеют место следующие соотношения:

σσσσ

 = p cos

αααα

;   

ττττ

 = p sin

αααα

;  

p

==== σσσσ ++++ ττττ

2222

2222

.

(1.2)

Рис. 1.6 

Рис. 1.7

Напряжения  в  точке  зависят  от  положения  площадки.  Совокуп-

ность  напряжений,  возникающих  во  множестве  площадок,  проходя-
щих через точку, характеризуют напряжённое состояние в точке.
Внутренние  силовые  факторы  являются  равнодействующими  внут-
ренних сил в сечении, поэтому с учетом формул (1.1) они могут быть
выражены  через  нормальные  и  касательные  напряжения  соотноше-
ниями (рис. 1.7):

N

F

d

F

====

∫∫∫∫ σσσσ

,   

Q

x

d

F

F

====

∫∫∫∫ ττττ

x

,   

Q

y

F

y

d

F

====

∫∫∫∫ ττττ

,

(1.3)

M

x

F

y F

d

====

∫∫∫∫ σσσσ

,   

M

y

==== −−−−

∫∫∫∫ σσσσ

x

d

F

F

,   

Ì

ê

====

−−−−

∫∫∫∫

(

)

ττττ

ττττ

y

x

x

y

d

F

F

.

В  системе  СИ  единицей  измерения  напряжения  является  пас-

каль:  1  Па = 1  Н/м

2

.  В  расчетах  на  прочность  это  очень  маленькая

величина,  поэтому  практически  используются  килопаскали  (кПа),
мегапаскали (МПа), гигапаскали (ГПа):

1 кПа  = 10

3

 Па; 1 MПа = 10

6

 Па; 1 ГПа = 10

9

 Па .

Связь единиц напряжения систем СИ и МКГСС такова:

1 МПа 

≈

 10 кгс/см

2

 = 0,1 кгс/мм

2

.