содержание .. 1 2 3 4 5 ..

Лекции по квантовой электродинамике - часть 4

Лекция 2. Голоморфное представление континуального интеграла . . .

× exp







′′

′

d t

( ˙a

∗

a − a

∗

˙a) − h(a

∗

, a)







d a

∗

d a

2πi

(15

′

)

Обратим внимание на то, что здесь интеграл по времени во второй экспоненте есть действие систе-
мы.

В случае гармонического осциллятора интеграл (15) как гауссов интеграл легко вычисляется.

Так как

η q =

√

2 ω

(a + a

∗

) ,

то гамильтониан гармонического осциллятора при наличии источника

h (a

∗

, a) = ω (a

∗

a + 1/2) −

√

2 ω

(a + a

∗

) .

(17)

Из (16) имеем:

δ a

∗

′′

) = δ a (t

′

) = 0 .

(18)

Поэтому для вариации показателя экспоненты в континуальном интеграле (15) находим:







∗

′′

) a(t

′′

) +

′′

′

d t

−a

∗

˙a − i ω a

∗

a +

i η

√

2 ω

(a + a

∗

)







= a

∗

′′

) δa(t

′′

) +

′′

′

d t

−a

∗

δ ˙a + δa

−iω a

∗

i η

√

2 ω

− δa

∗

˙a + iωa −

i η

√

2 ω

′′

′

d t

δa

˙a

∗

− i ωa

∗

i η

√

2 ω

− δa

∗

˙a + i ωa −

i η

√

2 ω

Отсюда следует, что точка экстремума показателя экспоненты, которая в теории поля называется
массовой поверхностью, есть решение уравнений движения:

˙a = −i ωa +

i η

√

2 ω

˙a

∗

= i ωa

∗

−

i η

∗

√

2 ω

(19)

(Здесь для дальнейшего удобства сделана замена (η/

√

2ω)(a + a

∗

) → (1/

√

2ω)(η

∗

a + ηa

∗

), хотя в

рассматриваемом случае η

∗

= η.)

Заметим, что в интересных здесь задачах решения уравнений (19) не являются взаимно ком-

плексно сопряженными. Дело в том, что в представлении a = x + iy, a

∗

= x − iy переменные x и

y на массовой поверхности с заданными граничными условиями не являются вещественными вели-
чинами. В этом смысле переменные интегрирования a

∗

и a в интеграле (15) могут рассматриваться

как независимые переменные.

Рассмотрим случай η = 0, когда уравнения (19) с граничными условиями (16) тривиально ре-

шаются:

a (t) = e

−iω(t−t

′

)

a(t

′

) ,

∗

(t) = e

iω(t−t

′′

)

∗

′′

) .

(20)

Далее вместо a(t

′

) и a

∗

′′

) пишем a и a

∗

, соответственно. Находим экстремальное значение показа-

теля экспоненты в интеграле (15): a

∗

a exp(−iω(t

′′

− t

′

)). Таким образом

∗

, a; t

′′

− t

′

) = exp

∗

a e

−iω(t

′′

−t

′

)

(21)

Вследствие унитарности оператора (21) нормировочный множитель 1/N равен единице. Если f (a

∗

)

— произвольная функция, то

f )(a

∗

) =

exp

∗

α e

−iωt

f(α

∗

) e

−α

∗

d α

∗

d α

2πi

= f a

∗

−iωt

(22)

(Проверить эту формулу для f (a

∗

) = (a

∗

)

I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

Функция (21) является ядром оператора e

−itH

, где H

— гамильтониан свободного осцилля-

тора.

Замечание. Здесь мы выбросили "нулевую"энергию из гамильтониана. В противном случае

имели бы

∗

, a; t) = exp

∗

a e

−iωt

−

ωt

Пусть A — оператор с ядром A (a

∗

, a). Нам понадобится обобщение формулы (22), то есть ядро

оператора e

′′

A e

−it

′

(−t

′′

) A U

′

)](a

∗

, a) = A

∗

iωt

′′

, a e

−iωt

′

(23)

4. Определение S-матрицы

Пусть H — гамильтониан теории, H

— свободный гамильтониан и U (t

′′

, t

′

) — оператор эволюции

взаимодействующей теории. S-матрица определяется при помощи следующей формулы:

S = lim e

′′

U (t

′′

, t

′

) e

−it

′

′′

→ +∞ , t

′

→ −∞ .

(24)

Обкладки e

′′

. . . e

−it

′

в (24) приводят к исключению свободного движения, которое не пред-

ставляет интереса. Действительно, если H = H

, то S-матрица (24) равна единичному оператору.

Вычислим S-матрицу гармонического осциллятора при наличии внешнего источника. Соглас-

но определению (24) и формуле (23) теперь граничные условия (16) должны быть заменены на
следующие:

∗

′′

) = a

∗

iωt

′′

a (t

′

) = a e

−iωt

′

(25)

Легко находим решения уравнений (19) с граничными условиями (25):

∗

(t) = e

i ωt





∗

+ i

′′

d s

−i ωs

∗

(s)

√

2 ω





a (t) = e

−i ωt





a + i

′

d s

i ωs

η (s)

√

2 ω





(26)

Подставим решение (26) в показатель экспоненты в (15) и раздвинем пределы интегрирования (t

′

→

−∞, t

′′

→ +∞). Таким образом мы получим ядро S-матрицы для гармонического осциллятора в

присутствии внешнего источника:

∗

, a) =

exp







∗

a +

√

2ω

+∞

−∞

d t [η

∗

(t) a e

−iωt

+ a

∗

iωt

η (t)]+

+∞

−∞

d t

−∞

d s η

∗

(t) i

−i ω (t−s)

2 ω

η (s)







(27)

При помощи (23 Л1) выражение (27) переписывается как

∗

, a) =

exp







∗

a +

√

2ω

+∞

−∞

d t [η

∗

(t) a e

−iωt

+ a

∗

iωt

η (t)]+

+∞

−∞

+∞

−∞

d t d s η

∗

(t) D

(t − s) η (s)







(28)

Подчеркнём, что в (28) используется именно причинная гриновская функция, так как уже в

определении S-матрицы (24) сделано предположение, что при |t| → ∞ взаимодействие выключается

адиабатически и система описывается свободным гамильтонианом H

В дальнейшем нам понадобится формула (26), записанная в несколько изменённом виде:

q (t) ≡

√

2 ω

[a (t) + a

∗

(t)] =

√

2 ω

[a e

−i ω t

+ a

∗

i ω t

] +

′′

′

d s D

(t − s) η (s) .

(26

′

)

Лекция 2. Голоморфное представление континуального интеграла . . .

5. S-матрица в скалярной теории поля

Рассмотрим скалярную теорию поля в d-мерном пространстве-времени. В свободном случае в

присутствии внешнего источника действие такой теории имеет вид

S =

(d)

(∂

φ)

−

1
2

− V (φ) + η φ

(29)

Отсюда получаем лагранжиан:

L =

(d−1)

−

1
2

(∇ φ)

−

1
2

− V (φ) + η φ

(30)

где ˙φ = ∂ φ (t, x)/∂t. Варьируя лагранжиан (30) относительно поля ˙φ находим обобщённый импульс
поля φ:

L =

(d−1)

x π δ ˙

φ −→ π = ˙φ

(31)

Теперь путём канонической процедуры получаем гамильтониан теории:

H =

(d−1)

x π ˙

φ − L −→ H =

(d−1)

1
2

(∇φ)

1
2

+ V (φ) − η φ

(32)

Выпишем лишь ненулевые одновременные коммутационные соотношения (КС):

[φ (t, x), π (t, y)] = i δ

(d−1)

(x − y) .

(33)

Как правило, реализация КС (33) осуществляется согласно следующей схеме:

φ (t, x) =

(d−1)

(2 π)

d−1

√

2 ω

(t) e

i k x

+ a

†

(t) e

−i k x

π (t, x) = −i

(d−1)

(2 π)

d−1

r ω

(t) e

i k x

− a

†

(t) e

−i k x

(t), a

(t)] = [a

†

(t), a

†

(t)] = 0 ,

(t), a

†

(t)] = (2 π)

d−1

(d−1)

(k − p) .

(34)

Разложение (34) является естественным в случае свободной теории, когда V (φ) = 0. Действительно,
если

+ m

(35)

то гамильтониан (32) распадается на сумму гамильтонианов гармонических осцилляторов (мы здесь
полагаем η = 0):

1
2

(d−1)

(2 π)

d−1

†

+ a

†

) =

(d−1)

(2 π)

d−1

†

+ δ

(d−1)

(0)

(d−1)

где (2π)

d−1

(d−1)

(0) =

(d−1)

x = V — объём пространства. Второе слагаемое в правой части

последнего равенства является энергией нулевых колебаний осцилляторов. Хотя плотность этой
энергии бесконечна, она как правило не играет роли и потому в обычной квантовой теории поля
вычёркивается. Энергия нулевых колебаний (или энергия вакуума) является серьёзной проблемой
в квантовой теории гравитации, однако эта тема лежит за рамками нашего курса лекций. Отметим
лишь, что рассматриваемый далее эффект Казимира существует вследствие реальности энергии
вакуума.

Сделаем замечание о нормировке, используемой в этих лекциях. Везде интегрирование в ко-

ординатном пространстве осуществляется по правилу R d

(d)

x, в то время как интегрирование в

импульсном пространстве — по правилу R d

(d)

k/(2π)

. Это правило согласовано с правилами ком-

мутации (33) и (34). Иными словами, единичный оператор в линейном пространстве функций в
координатном представлении есть δ

(d)

(x − y), а в импульсном представлении — (2π)

(d)

(k − p).

I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

Основное состояние или вакуум в теории (32)-(35) обозначается |0i и определяется условиями

|0i = 0 ,

h0|0i = 1 .

(36)

Очевидно,

|0i = 0 .

(37)

Возбуждённые состояния строятся при помощи операторов рождения a

†

. Например, одночастичное

состояние имеет вид

|ki =

√

2 ω

†

|0i .

(38)

Вследствие (34) и (36) скалярное произведение двух одночастичных состояний

hk | p i = 2 ω

(2 π)

d−1

(d−1)

(k − p) .

(39)

Можно показать (см. задачи), что правая часть (39) лоренц-инвариантна. Нормировка состояний
(38) оправдывается именно лоренц-инвариантностью скалярных произведений одночастичных со-
стояний. Заметим также, что лоренц-инвариантная мера в пространстве одночастичных состояний
равна

(d−1)

2 ω

(2 π)

d−1

(40)

Мера (40) согласована со скалярным произведением (39), то есть

(d−1)

2 ω

(2 π)

d−1

| k i hk | = 1 ,

(41)

где единица в правой части равенства (40) обозначает единичный оператор в пространстве одноча-
стичных состояний.

Энергия состояния (38) легко вычисляется при помощи равенства (37) и КС (34):

| k i = ω

| k i .

Оператор импульса в скалярной теории поля имеет вид (см. Приложение C)

= −

(d−1)

x π(x) ∇ φ (x) ,

(42)

что оправдывается значениями следующих коммутаторов:

[φ (x), P] = −i ∇ φ (x) ,

[π (x), P] = −i ∇ π (x) ,

и так далее. Подставляя разложение (34) в (42), получаем:

(d−1)

(2 π)

d−1

†

Легко найти, что

| 0 i = 0 ,

| k i = k | k i .

Таким образом, состояние | k i имеет определённый импульс k.

Пусть {k

}, i = 1, . . . , n — такой набор импульсов, что попарно k

6= k

. Тогда многочастичное

состояние представляется в виде

, k

, . . . , k

i =

i=1

(

p2 ω

†

) |0i .

(43)

Имеем:

, k

, . . . , k

i =

i=1

, k

, . . . , k

i ,

, k

, . . . , k

i =

i=1

, k

, . . . , k

i ,

(44)

содержание .. 1 2 3 4 5 ..