Лекции по квантовой электродинамике - часть 2

Лекция 1. Континуальный интеграл для конечномерных систем

10

2. Хронологические средние

Пусть |Ai — вектор-состояние при t = 0 в представлении Шредингера, |A, ti — зависящее от

времени состояние в представлении Шредингера, а |Ai

∗

— вектор-состояние в представлении Гей-

зенберга, так что

|Ai

∗

= |Ai = e

itH

|A, ti .

Операторы в представлениях Гейзенберга и Шредингера связаны формулой

ˆ

O

∗

(t) = e

itH

ˆ

O e

−itH

.

Пусть t

′′

> t

n

> t

n−1

> . . . > t

1

> t

′

. Вычислим следующий матричный элемент:

∗

hA| Q

∗

(t

n

) Q

∗

(t

n−1

) . . . Q

∗

(t

1

) |Bi

∗

=

= hA, t

′′

| e

−it

′′

H

(e

it

n

H

Q e

−it

n

H

) . . . (e

it

1

H

Q e

−it

1

H

) e

it

′

H

|B, t

′

i =

= hA, t

′′

| e

−i(t

′′

−t

n

)H

Q e

−i(t

n

−t

n−1

)H

Q . . . Q e

−i(t

1

−t

′

)H

|B, t

′

i .

Так как Q = R d q · q|qihq|, то

∗

hA| Q

∗

(t

n

) Q

∗

(t

n−1

) . . . Q

∗

(t

1

) |Bi

∗

=

=

1

N

Z

d q

′′

Z

d q

′

Z

D q Ψ

∗

A

(q

′′

, t

′′

) q(t

1

) . . . q(t

n

)





exp

i

~

t

′′

Z

t

′

L d t





Ψ

B

(q

′

, t

′

) .

(18)

Здесь Ψ (q, t) — волновая функция в представлении Шредингера, зависящая от времени. Введём
операцию хронологического упорядочения ˆ

T . В произведении гейзенберговых операторов под знаком

хронологического упорядочения эти операторы располагаются таким образом, что по мере движе-
ния справа налево временные аргументы операторов монотонно растут. Например, ˆ

T Q

∗

(t

1

) Q

∗

(t

2

) =

Q

∗

(t

2

) Q

∗

(t

1

), если t

2

> t

1

. Мы видим, что среднее от координат, вычисленное при помощи функци-

онального интеграла, автоматически даёт среднее от хронологически упорядоченного произведения
(хронологического произведения) операторов в представлении Гейзенберга. Далее для обозначения
среднего (18) используется стандартная формула (индекс ∗ для обозначения гейзенберговых вели-

чин как правило опускается)

hA| T Q(t

1

) . . . Q(t

n

) |Bi .

Заметим также, что формула (18) по сути остаётся справедливой, если в ней координатные

переменные ˆ

Q

∗

заменены полностью или частично импульсными переменными ˆ

P

∗

. Однако в этом,

более общем, случае вместо (18), например, имеем:

∗

hA| Q

∗

(t

n

) P

∗

(t

n−1

) . . . Q

∗

(t

1

) |Bi

∗

=

=

1

N

Z

d q

′′

Z

d q

′

Z

D q D pΨ

∗

A

(q

′′

, t

′′

) q(t

1

) . . . p(t

n−1

) q(t

n

)





exp

i

~

t

′′

Z

t

′

(p ˙q − H(p, q)) d t





Ψ

B

(q

′

, t

′

) .

Для вывода последней формулы следует учесть, что матричный элемент hq

′′

| ˆ

P U (t

′′

, t

′

)|q

′

i отлича-

ется от (9) введением под интеграл в правой части (9) множителя p

N

. Аналогично устанавливает-

ся тот факт, что любое среднее различных величин, вычисленных при помощи функционального
интеграла, автоматически является средним от соответствующих хронологически упорядоченных
операторов в гейзенберговском представлении.

3. Доопределение операторов при вычислении гауссовых

функциональных интегралов в квантовой механике

Изучим гармонический осциллятор с внешним источником (внешней силой). Действие такой

системы

S =

Z

d t

2

˙q

2

−

ω

2

2

q

2

+ η q



.

(19)

11

I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

Вычислим амплитуду перехода (17). При этом удобно сдвинуть переменную интегрирования следу-
ющим образом:

q(t) = q(t) + δ q(t) ,

q(t) = q

0

(t) +

Z

d t

1

D(t, t

1

) η(t

1

) ,

¨q + ω

2

q = η ,

¨

q

0

+ ω

2

q

0

= 0 ,

q

0

(t

′

) = q

′

,

q

0

(t

′′

) = q

′′

,

δ q(t

′

) = δ q(t

′′

) = 0 .

(20)

Функциональное интегрирование идёт по переменной δ q(t) с нулевыми граничными условиями. Из
(20) следует, что гриновская функция удовлетворяет следующим уравнениям:



d

2

d t

2

+ ω

2



D(t, t

1

) = δ (t − t

1

) ,

D(t

′′

, t

1

) = D(t

′

, t

1

) = 0 .

(21)

Условия (21) однозначно определяют гриновскую функцию (T = t

′′

− t

′

):

D(t

1

, t

2

) = D

c

(t

1

− t

2

) −

1

sin ω T

[D

c

(t

′′

− t

2

) sin ( ω (t

1

− t

′

)) + D

c

(t

′

− t

2

) sin ( ω (t

′′

− t

1

))] ,

(22)

D

c

(t) =

Z

d k

2π

·

e

−ikt

−k

2

+ ω

2

− iε

=

i

2 ω

e

−i ω|t|

,

ε → +0 .

(23)

Функция (23) называется причинной гриновской функцией. Она удовлетворяет первому из уравне-
ний (21). Легко находится решение для q

0

:

q

0

(t) =

q

′′

sin ω T

sin (ω (t − t

′

)) +

q

′

sin ω T

sin (ω (t

′′

− t)) .

Перепишем действие (19) при помощи введенных функций:

S = S

0

+

t

′′

Z

t

′

d t

 1

2

δ ˙q

2

−

ω

2

2

δ q

2



,

S

0

=

ω

2 sin ωT

[(q

′2

+ q

′′2

) cos ωT − 2q

′

q

′′

] + S(η) ,

S(η) =

t

′′

Z

t

′

d t η(t) q

0

(t) +

1
2

Z

d t

1

d t

2

η(t

1

) D(t

1

, t

2

) η(t

2

) .

(24)

Поскольку S

0

не зависит от δq и δ q(t

′

) = δ q(t

′′

) = 0, то функциональное интегрирование в (17)

приводит лишь к появлению множителя, зависящего от T , но не от q

′

, q

′′

, η. Этот временной

множитель не будет использоваться, однако приведём точный ответ:

hq

′′

|U(t

′′

, t

′

)|q

′

i =

r

ω

2π i ~ sin ωT

exp

 i

~ S

0



=

=

(

∞

X

n=0

[exp(−i(n + 1/2)ωT )] ψ

n

(q

′′

) ψ

∗

n

(q

′

)

)

exp

 i

~ S

(η)



,

(25)

где {ψ

n

(q)} — полный ортонормированный набор собственных функций гамильтониана свободного

осциллятора.

До сих пор в этом пункте рассматривался гармонический осциллятор, или свободная (без взаимо-

действия) теория. Теория со взаимодействием отличается от свободной теории тем, что лагранжиан
такой теории не является квадратичной формой (возможно, неоднородной) относительно канони-
ческих переменных. Например, в случае осциллятора дополнительное слагаемое вида λq

4

делает

теорию взаимодействующей. Далее мы увидим, что такого вида слагаемое даёт взаимодействие
между элементарными возбуждениями в скалярной теории поля. Как правило, в квантовой тео-
рии поля принимается гипотеза, что а) при t → ±∞ взаимодействие адиабатически выключается

и теория превращается в свободную и б) основное состояние при t → +∞ отличается от основного

Лекция 1. Континуальный интеграл для конечномерных систем

12

состояния при t → −∞ не более чем фазовым множителем. Это — очень сильная гипотеза. В техни-

ческом отношении эта гипотеза реализуется автоматически, если считать, что в случае осциллятора
частота ω содержит бесконечно малую отрицательную мнимую часть. Иными словами, для этого
необходимо во всех формулах сделать замену

ω → (1 − iε) ω ,

ε → +0 .

(26)

Действительно, в результате такой замены после выключения взаимодействия все слагаемые в вол-
новой функции, отличные от основного состояния свободной теории, "вымирают"(то есть стремятся
к нулю) относительно основного состояния при t

′′

= T /2 → ∞ вследствие содержания ими допол-

нительного множителя exp(−εnt

′′

), n > 0. Кроме того, в рамках этой гипотезы нелинейности (или

взаимодействие) учитываются при помощи теории возмущений (ТВ). В следующих лекциях будет
показано, что в ТВ-разложении участвуют причинные гриновские функции D

c

(t

i

−t

j

), где t

i

, t

j

, и

т.д. — временные аргументы операторов взаимодействия. Так как D

c

(t

i

−t

j

) → 0 при |t

i

−t

j

| → ∞,

то всё взаимодействие "скучивается"по времени в неком ограниченном временном интервале, т.е.
при |t| → ∞ взаимодействие выключается.

При замене (26) знаменатель в подынтегральном выражении в (23) может быть взят просто

как (−k

2

+ ω

2

) и D

c

(±T/2) → 0 при T → ∞. Поэтому согласно (22) при T → ∞ гриновская

функция D (t

1

, t

2

) → D

c

(t

1

− t

2

) и в S(η) вместо D (t

1

, t

2

) следует использовать причинную (или

фейнмановскую) гриновскую функцию D

c

(t

1

− t

2

).

Замечание. Если отсутствует требование симметрии теории относительно операции инверсии

времени, то вместо причинной гриновской функции (23) можно использовать какую либо иную
гриновскую функцию. Например, это могла бы быть запаздывающая гриновская функция

D

ret

(t) =

θ(t)

ω

e

−εt

sin ωt ,

которая получается при помощи интеграла (23), если оба полюса подынтегрального выражения
смещены вниз от вещественной оси на бесконечно малую величину ε > 0 (в то время как в слу-
чае причинной гриновской функции левый полюс находится выше, а правый — ниже вещественной
оси (см. рис. 1)). Действительно, в случае T → ∞ функция D

ret

(t, t

1

) удовлетворяет граничным

условиям (21) и потому в этом пределе, так же как и функция D

c

(t, t

1

), может использовать-

ся вместо D(t, t

1

). Однако в теориях, обратимых по времени, эта возможность исключается, т.к.

D

ret

(−t) 6= D

ret

(t).

4. Теорема Вика

В результате замены (26) в пределе t

′′

= −t

′

= T /2 → ∞ в сумме (25) "выживает"лишь основное

состояние. Выпишем в этом случае амплитуду перехода из основного состояния в основное состояние
за бесконечное время в присутствии источника η(t), отличного от нуля лишь при конечных t:

Z{η} =

1

N

exp

i

2 ~

Z

d t

1

d t

2

η(t

1

)D

c

(t

1

− t

2

)η(t

2

)



.

(27)

Слагаемое в S(η), пропорциональное q

0

, вымирает в рассматриваемом случае. Это следует из того,

что Im ω = −ε → −0, ε T → ∞. Согласно (17), (18) и (21)

h0|T q(t

1

) . . . q(t

n

)|0i =

 ~

i



n

1

Z

δ

n

Z

δη(t

1

) . . . δη(t

n

)






η=0

.

(28)

Например, при n = 2

h0|T q(t

1

) q(t

2

)|0i =

 ~

i



D

c

(t

1

− t

2

) =

~

2 ω

e

−iω|t

1

−t

2

|

.

(29)

При t

1

= t

2

получаем известный результат: h0| q

2

|0i = ~/2 ω. Очевидно, при нечётном n коррелятор

(28) равен нулю. Введём обозначение

G

1,2

= h0|T q(t

1

) q(t

2

)|0i .

(30)

13

I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

Из формулы (28) находим при n = 4:

h0|T q(t

1

) q(t

2

) q(t

3

) q(t

4

)|0i = G

1,2

G

3,4

+ G

1,3

G

2,4

+ G

1,4

G

2,3

.

(31)

Теперь нетрудно сообразить, что справедлива

Теорема Вика. Хронологически упорядоченное среднее относительно основного состояния от

n гейзенберговых координат (или полей, играющих роль координатных переменных) с
квадратичным действием равно сумме произведений всех хронологически упорядоченных парных
средних (спариваний).

5. Поворот Вика

На рис. 1 изображена комплексная плоскость переменной k, по которой идёт интегрирование в

(23) вдоль вещественной оси; обход полюсов указан на рисунке.

K

K

Рис. 1

Рис. 2

Очевидно, обход полюсов допускает "гладкий"поворот контура интегрирования согласно прави-

лу

k −→ e

iϕ

k ,

t −→ e

−iϕ

τ ,

0 ≤ ϕ ≤ π .

При ϕ = 0 имеем исходный контур, а при ϕ = π/2 интеграл идёт по мнимой оси так, как показано
на рис. 2.

При этом t = −iτ, где переменная τ — вещественная, называемая "мнимым временем". Описан-

ный поворот контура интегрирования называется поворотом Вика. При виковом повороте

hq

′′

|e

−itH

|q

′

i =

X

n

e

−itE

n

Ψ

n

(q

′′

) Ψ

∗

n

(q

′

) −→

X

n

e

−τE

n

Ψ

n

(q

′′

) Ψ

∗

n

(q

′

) = hq

′′

|e

−τH

|q

′

i ∼

∼

Z

D q exp







−

1
~

τ

Z

0

d τ

′

"

1
2



d q

d τ

′



2

+

ω

2

2

q

2

− ηq

#







,

q(0) = q

′

,

q(τ ) = q

′′

.

(32)

Имеем:

D

c

(t) = i D

E

(τ ) ,

D

E

(τ ) =

Z

d k

2π

e

−ikτ

k

2

+ ω

2

=

1

2ω

e

−ω |τ|

,



−

d

2

d τ

2

+ ω

2



D

E

(τ ) = δ(τ ) .

(33)

При достаточно большом мнимом времени τ правая часть в (32) переходит в (сравни с (27))

Z

E

{η} ∼

Z

D q exp







−

1
~

+∞

Z

−∞

d τ

"

1
2



d q

d τ



2

+

ω

2

2

q

2

− ηq

#







∼

∼

1

N

exp







1

2~

+∞

Z

−∞

d τ

1

d τ

2

η(τ

1

) D

E

(τ

1

− τ

2

)η(τ

2

)







.

(34)

Величина (34) называется (классической) статистической суммой, а правая часть равенства (32) —
квантовой матрицей плотности.