содержание .. 1 2 3 4 ..

Лекции по квантовой электродинамике - часть 3

Лекция 1. Континуальный интеграл для конечномерных систем

Задачи

1. Доказать теорему Вика в следующих редакциях:

а) Хронологически упорядоченное вакуумное среднее в теории с квадратичным действием от n

гейзенберговских координат равно сумме произведений всех спариваний (парных средних);

б) Среднее по вакууму от произведения любого числа бозонных лестничных операторов (рож-

дения и уничтожения) a

†

, a равно сумме произведений всех возможных попарных средних (или

свёрток) этих операторов. При этом в каждой свёртке множители должны стоять в той же после-
довательности, что и в первоначальном произведении.

2. a) Пусть H (p, q) — оператор Гамильтона. Представить квантовую статистическую сумму

Z(β) = tr e

−β H

в виде функционального интеграла.

б) Вычислить статистическую сумму гармонического осциллятора (с точностью до множителя,

зависящего лишь от температуры) в присутствии внешнего источника. Используя эту статистиче-
скую сумму найти парный хронологический коррелятор переменной q(τ ) в представлении Мацуба-
ры

Указание: Действовать аналогично тому, как действовали при получении формулы (25), но в

мнимом времени τ . Учесть, что в данном случае гриновская функция D

(τ

, τ

) периодична:

(0, τ

) = D

(β, τ

)

Вычислить эту гриновскую функцию в виде ряда Фурье и отсуммировать этот ряд.

Согласно определению, оператор в представлении Мацубары имеет вид (ср. с представлением Гейзенберга)

O(τ ) = (exp τ H) ˆ

O (exp −τ H), где τ — мнимое время. Парный хронологический коррелятор в представлении Ма-

цубары определяется как

h ˆ

(τ

) ˆ

(τ

)i ≡

tr(exp −βH) ˆ

(τ

) ˆ

(τ

)

tr(exp −βH)

I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

Лекция 2

ГОЛОМОРФНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОНТИНУАЛЬНОГО

ИНТЕГРАЛА, S-МАТРИЦА И СКАЛЯРНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ

1. Операторы рождения и уничтожения

Далее полагаем ~ = c = 1.
Действие осциллятора (19 Л1) в случае нулевого источника приводит к следующему гамильто-

ниану:

H(p, q) =

1
2

(1)

Введём комплексные взаимно сопряжённые переменные a, a

∗

q =

r 1

2ω

(a + a

∗

) ,

p = −i

r ω

(a − a

∗

) .

(2)

В квантовой теории формулы (2) сохраняются для операторов и коммутационные соотношения

[Q, Q] = [P, P ] = 0 ,

[Q, P ] = i

(3)

[a, a] = [a

†

, a

†

] = 0 ,

[a, a

†

] = 1

(4)

эквивалентны.

Перестановочные соотношения (4) имеют представление в пространстве аналитических и, более

того, голоморфных функций f(a

∗

) со скалярным произведением

i =

∗

))

∗

) e

−a

∗

d a

∗

d a

2πi

(5)

Пояснение. Можно считать, что

a = x + i y ,

(a)

∗

= a

∗

= x − i y ,

∗

a = x

+ y

Тогда

∂a

∗

∂x

∂a

∗

∂y

∂a
∂x

∂a
∂y

1 −i
1

= 2 i

Поэтому

d a

∗

d a

2πi

d x d y

ρ d ρ d ϕ

(6)

где (ρ, ϕ) — полярные координаты в плоскости (x, y).

Произведение (5) положительно определено. Действительно, произвольная голоморфная функ-

ция f(a

∗

) является линейной комбинацией одночленов ψ

∗

) = (a

∗

)

√

n!, n ≥ 0. Имеем:

hψ

|ψ

i =

√

n! m!

∗

)

−a

∗

d a

∗

d a

2πi

√

n! m!

∞

m+n+1

−ρ

d ρ

2π

i(n−m)ϕ

d ϕ

n,m

∞

(ρ

)

−ρ

2ρ d ρ = δ

n,m

(7)

Поэтому множество функций {ψ

}, n = 0, 1, . . . образует полный ортонормированный базис (ОНБ).

По определению, операторы a

†

и a действуют согласно правилу

†

f (a

∗

) = a

∗

f (a

∗

) ,

a f (a

∗

) =

d a

∗

f (a

∗

) .

(8)

Лекция 2. Голоморфное представление континуального интеграла . . .

Заметим, что

d a

∗

1
2

∂

∂x

+ i

∂

∂y

d a

1
2

∂

∂x

− i

∂

∂y

, −→

d a

∗

= 1 ,

d a

∗

a = 0 .

(9)

Согласно определениям скалярного произведения (5) и операторов a

†

, a (8) эти операторы взаимно

сопряжены. Действительно,

∗

−a

∗

= −

d a

−a

∗

d a

f (a

∗

) = 0 ,

и потому

| a

†

i =

∗

))

∗

) e

−a

∗

d a

∗

d a

2πi

= −

∗

))

∗

)

d a

−a

∗

d a

∗

d a

2πi

d a

∗

))

∗

)

−a

∗

d a

∗

d a

2πi

d a

∗

)

∗

) e

−a

∗

d a

∗

d a

2πi

[a f

∗

)]

∗

) e

−a

∗

d a

∗

d a

2πi

= ha f

i .

2. Операторы общего вида

В голоморфном представлении операторы общего вида описываются при помощи ядра. Пусть

A — некий оператор и

m n

= hψ

|A|ψ

(10)

— матрица этого оператора относительно введенного выше ОНБ. Ядром оператора A называется
следующая функция:

A(a

∗

, a) =

n,m

n m

∗

)

√

≡

n,m

n m

|ψ

ihψ

| .

(11)

Основываясь на условии полноты P

|ψ

ihψ

| = 1, получаем следующие очевидные формулы:

(A f )(a

∗

) =

A(a

∗

, α) f (α

∗

) e

−α

∗

d α

∗

d α

2πi

)(a

∗

, a) =

∗

, α) A

(α

∗

, a) e

−α

∗

d α

∗

d α

2πi

(12)

Теперь представим оператор A в виде нормально упорядоченного ряда относительно операторов

рождения и уничтожения: A = P

n,m

†

)

. Функция операторов рождения и уничтожения

называется нормально упорядоченной, если в этой функции все операторы рождения расположены
левее всех операторов уничтожения. Сопоставим оператору A функцию

K(a

∗

, a) =

n,m

∗

)

(a)

которая называется нормальным символом этого оператора.

Докажем, что

A(a

∗

, a) = e

∗

K(a

∗

, a) .

(13)

Достаточно проверить (13) в частном случае A = (a

†

)

. Имеем:

√

n! m!

h0|a

†

)

†

)

|0i .

Это выражение отлично от нуля лишь при m ≥ l и n ≥ k и m − l = n − k. Обозначим

θ (m ≥ l) =

1 , если m ≥ l
0 , если m < l .

I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

При m ≥ l

†

)

|0i = m(m − 1) . . . (m − l + 1) (a

†

)

m−l

|0i .

Поэтому

n m

= δ

m−l,n−k

θ (m ≥ l) θ (n ≥ k)

pm · (m − 1) . . . (m − l + 1) · n · (n − 1) . . . (n − k + 1)

p(m − l)! (n − k)!

×h0| a

n−k

†

)

m−l

|0i =

pm · (m − 1) . . . (m − l + 1) ·

pn · (n − 1) . . . (n − k + 1) · θ (m ≥ l) θ (n ≥ k) · δ

m−l,n−k

Теперь имеем:

A (a

∗

, a) =

m,n≥0

∗

)

√

m≥l

n≥k

m−l,n−k

∗

)

p(n − k)! (m − l)!

n≥0

∗

)

k+n

l+n

= (a

∗

)

∗

= e

∗

K (a

∗

, a) .

Тем самым формула (13) доказана.

3. Функциональный интеграл в голоморфном

представлении

Пусть функция h (a

∗

, a) является нормальным символом оператора Гамильтона H (a

†

, a). Тогда

ядро оператора эволюции

U = exp (−i ∆t H) ,

∆t → 0

согласно сказанному выше представляется как

U (a

∗

, a; ∆t) = exp {a

∗

a − i h (a

∗

, a) ∆t} .

(14)

Для произвольного интервала времени t

′′

− t

′

= N ∆t:

U (a

∗

, a; t

′′

, t

′

) =

exp

∗

N−1

− a

∗

N−1

+ . . . − a

∗

+ a

∗

]−

−i ∆t [h(a

∗

, a

N−1

) + . . . + h(a

∗

, a

)]}

N−1

k=1

d a

∗

d a

2π i

Мы обозначили a

= a, a

∗

= a

∗

Теперь перейдём к пределу N → ∞, ∆t → 0:

U (a

∗

, a; t

′′

, t

′

) =

∗

′′

) a(t

′′

)

exp







′′

′

d t [−a

∗

˙a − i h (a

∗

, a)]







d a

∗

d a

2πi

(15)

Граничные условия таковы:

∗

′′

) = a

∗

a(t

′

) = a ,

(16)

причём по переменным a(t

′′

) и a

∗

′

) идёт интегрирование. С учётом того что

−

1
2

′′

′

d t a

∗

˙a =

1
2

′′

′

d t ˙a

∗

a −

1
2

∗

′′

) a(t

′′

) +

1
2

∗

′

) a(t

′

)

имеем для ядра оператора эволюции:

U (a

∗

, a; t

′′

, t

′

) =

exp

∗

′′

) a(t

′′

) + a

∗

′

) a(t

′

)]

содержание .. 1 2 3 4 ..