Лекции по квантовой электродинамике - часть 1

Предисловие

6

Предисловие

Предлагаемый семестровый курс лекций регулярно читается автором студентам старших курсов

Московского физико-технического института, изучающих теоретическую физику под руководством
специалистов из Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН. Этот курс самодостаточен
и весьма компактен. Изложение ведётся при помощи аппарата функционального интегрирования,
применяется размерностный метод ультрафиолетовой регуляризации. Все вычисления проводятся
весьма подробно и до конца. Курс начинается с квантования скалярного поля и заканчивается вы-
числением однопетлевых поправок, лэмбовского сдвига уровней и квантовых аномалий. Основной
текст существенно дополняется упражнениями и задачами, приведенными в конце каждой лекции.
Большинство задач достаточно просты, но часть из них, отмеченных звездочкой, потребуют при ре-
шении ощутимых усилий по причине либо технических трудностей, либо необходимости достаточно
ясного понимания идеологии предмета и овладения его аппаратом. Для полноценного и минималь-
ного изучения квантовой электродинамики представляется необходимым самостоятельное решение
большинства приведенных задач.

Конечно, предлагаемый курс лекций является лишь введением в круг проблем, изучаемых ре-

лятивистской квантовой теорией поля. Для углубленного овладения этой наукой необходимо систе-
матическое и длительное изучение так называемых "толстых"учебников, немалый список которых
недавно пополнился выдающейся книгой С. Вайнберга "Квантовая теория поля".

Я благодарен М.Ю. Лашкевичу, любезно предоставившему мне конспект своих лекций по кван-

товой электродинамике, читавшихся им ранее студентам МФТИ тех же специальностей. Я позаим-
ствовал из лекций Лашкевича общую структуру, а также несколько задач.

2005 г.

7

I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

Часть I

ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

Лекция 1

КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ ДЛЯ КОНЕЧНОМЕРНЫХ

СИСТЕМ

1. Одномерный случай

Пусть H(p, q) — функция Гамильтона некой одномерной системы. Классические скобки Пуассона

(СП) имеют вид

{q, q} = 0 , {p, p} = 0 , {q, p} = 1 .

Каноническая процедура квантования заключается в сопоставлении переменным q, p эрмитовых
операторов Q, P , причём скобкам Пуассона ставятся в соответствие перестановочные соотношения:

{q, p} = 1

−→

[Q, P ] = i (~ = 1) .

В сложных случаях возникает проблема упорядочения операторов в гамильтониане. Решим её сле-
дующим образом. Пусть в представлении Шредингера |qi является собственным вектором операто-

ра координаты Q:

Q |qi = q |qi , hq

′

|qi = δ(q − q

′

)

(1)

Так как для вещественного s имеем [Q, e

isP

] = −s e

isP

, то

e

isP

|qi = |q − si .

(2)

Рассмотрим унитарный оператор

u(s, t) = exp (iP s + iQt) = u

†

(−s, −t) ,

(3)

где s и t — вещественные числа. Воспользуемся формулой Хаусдорфа

e

A+B

= e

−(1/2)[A, B]

e

A

e

B

,

которая справедлива, если [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0. Полагая A = itQ, B = isP , находим:

u(s, t) = e

(i/2)st

e

itQ

e

isP

,

(4)

а также

hq

′′

|u(s, t)|q

′

i = exp



i

q

′′

+ q

′

2

t



δ(q

′′

− q

′

+ s) .

(5)

Пусть

H(s, t) =

Z

H(p, q) e

−isp−itq

d p d q = H

∗

(−s, −t)

— Фурье–образ гамильтониана. Согласно Вейлю проблема упорядочения операторов в гамильтони-
ане решается при помощи формулы

ˆ

H(P, Q) =

1

(2π)

2

Z

H(s, t) u(s, t) d s d t = ˆ

H

†

(P, Q)

(6)

При помощи формул (1) – (6) получаем:

hq

′′

| ˆ

H|q

′

i =

Z

H



p,

q

′

+ q

′′

2



e

ip(q

′′

−q

′

)

d p

2π

.

Если (t

′′

− t

′

) → 0, то оператор эволюции U(t

′′

, t

′

) ≡ exp[−i(t

′′

− t

′

) ˆ

H] ≈ 1 − i(t

′′

− t

′

) ˆ

H. Поэтому

hq

′′

|e

−i(t

′′

−t

′

) ˆ

H

|q

′

i =

Z

1 − i(t

′′

− t

′

) H



p,

q

′

+ q

′′

2



exp(ip(q

′′

− q

′

))

d p

2π

=

Лекция 1. Континуальный интеграл для конечномерных систем

8

=

Z

exp

ip(q

′′

− q

′

) − i(t

′′

− t

′

) H



p,

q

′

+ q

′′

2



d p

2π

.

(7)

Если интервал (t

′′

−t

′

) конечен, то его разбивают на N равных частей так, чтобы ∆ t = t

i+1

−t

i

=

t

′′

−t

′

N

→ 0. Пусть t

′

= t

0

< t

1

< . . . < t

N

= t

′′

и q(t

i

) = q

i

, p(t

i

) = p

i

. Имеем:

U (t

′′

, t

′

) = U (t

N

, t

N−1

) U (t

N−1

, t

N−2

) . . . U (t

1

, t

0

) .

(8)

Вычислим матричные элементы произведения (8) при помощи формулы (7):

hq

′′

|U(t

′′

, t

′

)|q

′

i =

Z

exp {i[p

N

(q

N

− q

N−1

) + . . . + p

1

(q

1

− q

0

)]−

−i∆t



H



p

N

,

q

N

+ q

N−1

2



+ . . . + H



p

1

,

q

1

+ q

0

2



·

d p

N

2π

·

d p

N−1

d q

N−1

2π

. . . ·

d p

1

d q

1

2π

.

(9)

Перейдём к пределу N → ∞, ∆t → 0. Число переменных интегрирования стремится к беско-

нечности и считается, что в пределе интегрирование происходит по p(t), q(t) при всех t

′

< t < t

′′

.

При этом

q(t

′

) = q

′

,

q(t

′′

) = q

′′

.

(10)

Тогда показатель экспоненты стремится к

S (t

′′

, t

′

) =

t

′′

Z

t

′

{p(t) ˙q(t) − H(p(t), q(t))} d t ,

(11)

причём все пути в (11) имеют граничные условия (10). Мера в континуальном (или функциональ-
ном) интеграле (9) записывается в виде

d p

′′

2π

Y

t

d p(t) d q(t)

2π

.

При t

′′

→ +∞ можно опустить интеграл по d p

′′

. Тогда

hq

′′

|U(t

′′

, t

′

)|q

′

i =

Z

exp







i

~

t

′′

Z

t

′

(p ˙q − H(p, q)) d t







Y

t

d p(t) d q(t)

2π~

.

(12)

Здесь восстановлена правильная размерность.

Замечание. На первый взгляд формула (12) решает проблему упорядочения операторов в га-

мильтониане. Однако это не так, поскольку функциональный интеграл (12) не определён во внут-
ренних терминах. Он нуждается в доопределении.

Обобщение полученных формул на случай системы со многими степенями свободы очевидно.

Пусть q = {q

α

}, p = {p

α

}, α = 1, 2, . . . и набор переменных {p

α

, q

α

} образует совокупность канони-

ческих переменных. Если обозначить

p ˙q =

X

α

p

α

˙q

α

,

Y

t

d p(t) d q(t)

2π~

=

Y

t

Y

α

d p

α

(t) d q

α

(t)

2π~

,

то амплитуда перехода для такой системы записывается в виде (12).

Мы неоднократно будем использовать следующую формулу для гауссовского интеграла:

Z

exp

2

p

t

M

−1

p + iξ

t

p



d p = (2πi)

N/2

(det M)

1/2

exp

−

i

2

ξ

t

Mξ



.

(13)

Здесь p = (p

1

, . . . , p

N

), M — невырожденная матрица N × N и d p = d p

1

. . . d p

N

. Везде верхний

индекс t означает транспонирование, так что ξ

t

p =

P

N
α=1

ξ

α

p

α

. Существует простое правило для

вычисления гауссовых интегралов: гауссов интеграл равен (с точностью до числового множителя,
который обычно включается в общую нормировочную константу) подынтегральному выражению,

9

I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

вычисленному в точке экстремума показателя экспоненты, делённому на корень из определителя
матрицы квадратичной формы в экспоненте.

Действительно, вычислим n-мерный интеграл

U (η) =

Z

d

n

x exp



−

1
2

x

t

A x + η

t

x



,

A

t

= A .

При помощи подстановки

x = ˜

x + A

−1

η ,

d

n

x = d

n

˜

x

этот интеграл переписывается как

U (η) = exp

 1

2

η

t

A

−1

η

 Z

d

n

˜

x exp



−

1
2

˜

x

t

A ˜

x



=

1

N

(det A)

−1/2

exp

 1

2

η

t

A

−1

η



.

Здесь N — некий числовой множитель, не зависящий ни от переменной η, ни от матрицы A. С другой
стороны, экстремум показателя экспоненты находится в точке x

0

= A

−1

η, и значение показателя

экспоненты в этой точке равно



−

1
2

x

t

0

A x

0

+ η

t

x

0



=

1
2

η

t

A

−1

η .

При помощи формулы (13) определим значение гауссова функционального интеграла:

Z

exp

2

Z

d

(n)

x d

(n)

y p(x) M

−1

(x, y) p(y) + i

Z

d

(n)

x ξ(x) p(x)



·

Y

x

d p(x) =

= const (det M)

1/2

· exp

−

i

2

Z

d

(n)

x d

(n)

y ξ(x)M(x, y) ξ(y)



.

(14)

Здесь M и M

−1

— взаимно обратные линейные операторы, действующие на интегрируемые функ-

ции в n-мерном пространстве и константа в (14) не зависит ни от поля ξ(x), ни от оператора
M. Неопределённость, которая может возникнуть при вычислении величин det M и M

−1

, обычно

устраняется, исходя из требований конкретной задачи.

Предположим, что лагранжиан имеет вид

L =

1
2

˙q

t

M ˙q + l

t

˙q − V (q) ,

(15)

где M и l не зависят от ˙q. Тогда p = M ˙q + l и соответствующее действие, записанное в форме (11),

имеет вид

S =

t

′′

Z

t

′

d t

−

1
2

(p − l)

t

M

−1

(p − l) + (p − l)

t

˙q + l

t

˙q − V (q)



.

(16)

Интеграл по p(t) в (12) вычисляется как гауссов:

hq

′′

|U(t

′′

, t

′

)|q

′

i =

1

N

Z





exp

i

~

t

′′

Z

t

′

L d t





Y

t

(det M(t))

1/2

d q(t) .

Здесь L — лагранжиан (15), а N — нормировочная константа, не зависящая от q

′

, q

′′

. Пусть det M(t)

не зависит от q(t). Тогда Q

t

det M(t) можно включить в константу N. В этом случае

hq

′′

|U(t

′′

, t

′

)|q

′

i =

1

N

Z





exp

i

~

t

′′

Z

t

′

L d t





Dq ,

Dq =

Y

t

d q(t) .

(17)

Представление амплитуды перехода в форме (17) называется функциональным интегралом

Фейнмана.