Лекции по квантовой электродинамике - часть 5

Лекция 2. Голоморфное представление континуального интеграла . . .

22

а также

h p

1

, p

2

, . . . , p

n

|k

1

, k

2

, . . . , k

n

i =

n

Y

i=1

2 ω

k

i

(2 π)

d−1



X

все перестановки

p

i

δ

(d−1)

(k

1

− p

i

1

) . . . δ

(d−1)

(k

n

− p

i

n

) .

(45)

Естественно, существуют также состояния вида (a

†

k

)

n

|0i (n частиц в одном состоянии), однако

в теории S-матрицы эти состояния интереса не представляют.

Пространство состояний, построенное описанным способом, называется фоковским простран-

ством состояний.

Пусть

η

k

(t) =

Z

d

(d−1)

x η (t, x) e

−i k x

= η

∗

−k

.

(46)

Для гамильтониана (32) имеем:

H =

Z

d

(d−1)

k

(2 π)

d−1

ω

k

a

†

k

(t) a

k

(t) −

1

√

2 ω

k

(η

∗

k

(t) a

k

(t) + η

k

(t) a

†

k

(t))



.

(47)

Отсюда видно, что в данном случае гамильтониан является суммой гамильтонианов вида (17) и
потому ядро S-матрицы системы (29) получается непосредственно из ядра S-матрицы (27). Первое
слагаемое в экспоненте в (27) переходит в

Z

d

(d−1)

k

(2 π)

d−1

a

∗

k

a

k

,

второе — в

i

Z

d

(d)

x η (x) φ

0

(x) ,

φ

0

(x) =

Z

d

(d−1)

k

(2 π)

d−1

1

√

2 ω

k

(a

∗

k

e

i k x

+ a

k

e

−i k x

) ,

k x = k

0

x

0

− k x , k

0

= ω

k

,

(48)

а третье — в

i

+∞

Z

−∞

d t

t

Z

−∞

d s

Z

d

(d−1)

k

(2 π)

d−1

η

∗

k

(t)



i

e

−i ω

k

(t−s)

2 ω

k



η

k

(s) =

i

2

Z Z

d

(d)

x d

(d)

y η (x) D

c

(x − y) η (y) ,

где

D

c

(x) = i

Z

d

(d−1)

k

(2 π)

d−1

e

i k x−i ω

k

|x

0

|

2 ω

k

=

Z

d

(d)

k

(2 π)

d

e

−i k x

−k

2

+ m

2

− iε

,

(∂

µ

∂

µ

+ m

2

) D

c

(x) = δ

(d)

(x) .

(49)

Из правой части равенства (49) очевидны лоренц-инвариантность причинной гриновской функции
D

c

(x) и то, что везде Im ω

k

= −ε , ε → +0. Для ядра S-матрицы имеем:

S (a

∗

, a) =

1

N

exp

(

Z

d

(d−1)

k

(2 π)

d−1

a

∗

k

a

k

+ i

Z

d

(d)

x η (x) φ

0

(x)+

+

i

2

Z Z

d

(d)

x d

(d)

y η (x) D

c

(x − y) η (y)



.

(50)

Теперь перейдём от ядра к нормальному символу S-матрицы:

S (a

∗

, a) =

1

N

exp

i

Z

d

(d)

x η (x) φ

0

(x) +

i

2

Z Z

d

(d)

x d

(d)

y η (x) D

c

(x − y) η (y)



≡ S

0

(φ

0

; η) .

(51)

Поле (48) удовлетворяет свободному уравнению

(∂

µ

∂

µ

+ m

2

) φ

0

= 0 ,

23

I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

которое называется уравнением Клейна–Гордона–Фока.

Укажем, что нормальный символ S-матрицы представляется также как функциональный инте-

грал

S (a

∗

, a) =

1

N

′

Z

exp

i

Z

d t [d

(d−1)

x π ˙

φ − H]



D π D φ =

1

N

Z

exp (i S) D φ ,

D π ≡

Y

x

d π(x) ,

D φ ≡

Y

x

d φ(x) ,

φ (x)

−−−−→

t→±∞

φ

out

in

(x) ,

φ

out

in

(x) =

Z

d

(d−1)

k

(2 π)

d−1

1

√

2 ω

k



a

k out

in

e

−i k x

+ a

∗
k out

in

e

i k x



,

a

k

in

= a

k

,

a

∗

k

out

= a

∗

k

,

k x = k

0

x

0

− k x ,

k

0

= ω

k

.

(52)

Действие S в (52) может быть как свободным действием (29), так и включающим взаимодействие

(см. ниже (54)).

В справедливости представления (52) нетрудно убедиться следующим образом. В случае свобод-

ной теории с внешним источником, описывающейся действием (29), интеграл (52) как гауссов вы-
числяется точно. В этом случае действие в экспоненте функционального интеграла экстремально
при условии (∂

µ

∂

µ

+ m

2

) φ = η. Решение последнего уравнения с необходимыми граничными усло-

виями типа (25) есть (сравни с одномерным случаем (26

′

))

φ (x) = φ

0

(x) +

Z

d

(d)

y D

c

(x − y) η (y) .

(53)

Подстановка (53) в экспоненту функционального интеграла приводит к выражению (51)

1

. Очевид-

но, полученный результат не случаен, поскольку, согласно лекции 1, амплитуда перехода вообще,
и S-матрица в частности, представляется в виде функционального интеграла (52). Поэтому един-
ственный остающийся вопрос при вычислении нормального символа S-матрицы — это вопрос о
граничных условиях динамического поля при |t| → ∞. Важность голоморфного представления

функционального интеграла заключается именно в том, что это представление даёт ответ на во-
прос, каковы должны быть граничные условия при вычислении нормального символа S-матрицы:
положительно частотные волны в φ

in

и отрицательно частотные волны в φ

out

совпадают с

соответствующими волнами в φ

0

(48). Здесь уместно ещё раз подчеркнуть, что такие гранич-

ные условия и сама теория S-матрицы существуют лишь при справедливости предположения об
адиабатическом выключении взаимодействия при |t| → ∞.

6. S-матрица в теории поля со взаимодействием

Рассмотрим теорию скалярного поля с самодействием, описывающуюся действием

S =

Z

d

(d)

x

2

(∂

µ

φ)

2

−

1
2

m

2

0

φ

2

− V (φ) + η φ



.

(54)

Наибольший интерес для нас представляет случай

V (φ) =

1

4 !

λ

0

φ

4

(55)

Размерность полей и констант определяется исходя из того, что действие имеет размерность

постоянной Планка, а в случае ~ = 1 — безразмерно. Например, из безразмерности действия (54)
имеем:

[m] = см

−1

,

[φ] = см

(1−d/2)

,

[λ] = см

d−4

.

Теперь континуальный интеграл не может быть вычислен точно, но существует вычислитель-

ная техника, основанная на теории возмущений (ТВ). Идея заключается в разложении S-матрицы
по потенциалу взаимодействия



R

d

(d)

x V (φ)



. Тогда в нулевом приближении мы имеем точный

1

Следует обратить внимание на следующую тонкость, возникающую при проведении этого простого вычисления:

неопределенность интеграла

R

d

(d)

x φ

0

(x)(∂

µ

∂

µ

+ m

2

)

R

d

(d)

y D

c

(x − y)η(y) решается в пользу равенства нулю этого

интеграла. Действительно, поле φ

0

принадлежит ядру оператора (∂

µ

∂

µ

+ m

2

). Поэтому оператор (∂

µ

∂

µ

+ m

2

)D

c

является проектором, обращающим в нуль упомянутое ядро.

Лекция 2. Голоморфное представление континуального интеграла . . .

24

результат (51), а при разложении по



R

d

(d)

x V (φ)



возникают интегралы от гауссовых средних

вида h0|T φ

1

. . . φ

n

|0i, где φ

i

= φ (x

i

).

Замечание. Рассмотрим интеграл

I (λ) =

+∞

Z

−∞

d x exp



−

1
2

x

2

− λ x

4



,

который точно не вычисляется. Очевидно также, что функция I (λ) при λ = 0 не аналитична, она
имеет особенность. Тем не менее при λ ≪ 1 имеет смысл разложение

I (λ) =

√

2 π − λ

Z

d x x

4

e

−(1/2) x

2

+ . . . .

(56)

Это разложение имеет смысл лишь до тех пор пока следующий член разложения меньше предыду-
щего. Интегралы вида

I

n

=

Z

d x x

n

e

−(1/2) x

2

(57)

вычисляются при помощи формул

x

n

e

−(1/2) x

2

=

d

n

d η

n

e

−(1/2) x

2

+η x






η=0

,

(58)

Z

d x e

−(1/2) x

2

+η x

=

√

2 π e

(1/2) η

2

,

(59)

I

n

=

Z

d x

d

n

d η

n

e

−(1/2) x

2

+η x

 





η=0

=



d

n

d η

n

Z

d x e

−(1/2) x

2

+η x

 





η=0

=

=

√

2 π



d

n

d η

n

e

(1/2) η

2

 





η=0

,

так что

I (λ) =

√

2 π (1 − 3 λ + . . . )

Если Φ (x) — произвольная функция, то

Φ (x) =



Φ

 1

i

d

d η



e

i η x

 





η=0

.

Это равенство позволяет свести вычисление негауссова интеграла к следующей формуле:

Z

d x exp

i

 1

2

x

2

− V (x)



=

=



exp

−i V

 1

i

d

d η

 Z

d x exp

i

 1

2

x

2

+ η x

 





η=0

.

(60)

Интеграл в правой части (60) гауссов и потому легко вычисляется. После этого мы можем развить
ТВ, разлагая правую часть (60) относительно V и пользуясь теоремой Вика.

В теории поля действуем аналогично. Имеем:

φ (x

1

) . . . φ (x

n

) =

1

i

δ

δ η (x

1

)

. . .

1

i

δ

δ η (x

n

)

exp

i

Z

φ (x) η (x) d x

 





η=0

.

Для любого функционала Φ {φ (x)}

Φ {φ (x)} = Φ

i

δ

δ η (x)



exp

i

Z

φ (x) η (x) d x

 





η=0

,

(61)

25

I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

и, в частности,

exp

−i

Z

V (φ) d x



= exp

−i

Z

V

 1

i

δ

δ η (x)



d x



exp

i

Z

φ (x) η (x) d x

 





η=0

.

(62)

Теперь, прямолинейно обобщая одномерную формулу (60) на случай теории поля и пользуясь фор-
мулой (51) для значения гауссова интеграла в задаче об S-матрице, выпишем нормальный символ
S-матрицы в скалярной теории поля со взаимодействием:

S (a

∗

, a) = S (φ

0

) =

1

N

exp

−i

Z

V

 1

i

δ

δ η (x)



d x



×

× exp

i

Z

d x η (x) φ

0

(x) +

i

2

Z Z

d x d y η (x) D

c

(x − y) η (y)

 





η=0

.

(63)

Здесь и далее D

c

(x) задаётся согласно (49),

Разложим функционал (63) по φ

0

и перейдём от нормального символа оператора S-матрицы к

самому оператору S-матрицы:

S (φ

0

) =

X

n

1

n!

Z

S

n

(x

1

, . . . , x

n

) : φ

0

(x

1

) . . . φ

0

(x

n

) : d x

1

. . . d x

n

,

φ

0

(x) =

Z

d

(d−1)

k

(2 π)

d−1

1

√

2 ω

k

(a

k

e

−i k x

+ a

†

k

e

i k x

) ,

k

0

= ω

k

.

(64)

Функции S

n

(x

1

, . . . , x

n

) являются коэффициентами при степенях поля φ

0

(x) в разложении

функционала (63) по степеням этого поля и они называются коэффициентными функциями S-
матрицы, а S (φ

0

) — производящим функционалом для функций S

n

. Поле φ

0

в (64) являет-

ся свободным квантованным полем в представлении Гейзенберга. Согласно определению, разме-
щение любого оператора, являющегося функцией операторов рождения и уничтожения, между
двумя двоеточиями означает приведение оператора к нормальному виду, причём в процессе это-
го приведения все операторы рождения и уничтожения считаются коммутативными. Например,
: a

†

a := a

†

a, : a a

†

:= a

†

a, : a

m

(a

†

)

n

:= (a

†

)

n

a

m

, : a a

†

a := a

†

a

2

, и т.д.

Задачи

1. Проверить в скалярной теории поля, что уравнения Гейзенберга i ˙

O = [O, H] совпадают по фор-

ме с лагранжевыми уравнениями.

2. Рассмотрите теорию комплексного скалярного поля с действием

S =

Z

d

4

x (∂

µ

φ

∗

∂

µ

φ − m

2

φ

∗

φ) .

Изучите эту теорию, рассматривая в качестве базисных динамических переменных φ (x) и φ

∗

(x), а

не вещественную и мнимую части поля φ (x).

a) Выписать канонически сопряжённые импульсы к φ (x) и φ

∗

(x) и канонические коммутацион-

ные соотношения. Показать, что гамильтониан

H =

Z

d x (π

∗

π + ∇φ

∗

∇φ + m

2

φ

∗

φ) .

Выписать уравнение Гейзенберга для φ (x) и показать, что оно совпадает с уравнением Клейна–
Гордона–Фока.

б) Диагонализуйте гамильтониан, вводя операторы рождения и уничтожения. Покажите, что

теория содержит два типа частиц с массой m.

в) Докажите, что заряд

Q =

Z

d

3

x

i

2

(φ

∗

π

∗

− π φ)