содержание .. 4 5 6 7 ..

Лекции по квантовой электродинамике - часть 6

Лекция 2. Голоморфное представление континуального интеграла . . .

сохраняется и перепишите его в терминах операторов рождения и уничтожения и вычислите заряд
частиц каждого типа.

3. a) Доказать, что величина

+ k

(d−1)

(k − p)

лоренц-инвариантна.

б) Доказать, что мера

(d−1)

√

+ k

лоренц-инвариантна.

4. a) Пусть H (a

†

, a) — оператор Гамильтона. Представить квантовую статистическую сумму

Z(β) = tr e

−β H

в виде функционального интеграла в голоморфном представлении.

б) Вычислить статистическую сумму гармонического осциллятора (с точностью до множителя,

зависящего лишь от температуры) в голоморфном представлении в присутствии внешнего источ-
ника. Используя эту статистическую сумму, найти хронологический коррелятор h ˆ

†

(τ

)a(τ

)i в

представлении Мацубары. При помощи полученной формулы найти также статистические средние

tr e

−β H

†

/ tr e

−β H

и tr e

−β H

a a

†

/ tr e

−β H

I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

Лекция 3

ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ФЕЙНМАНА

1. Разложение по константе связи

Рассмотрим очень интересный случай, когда потенциал самодействия задаётся согласно (55 Л2)

и разложим первую экспоненту в (63 Л2) в ряд по потенциалу V . Члены этого ряда содержат про-
изведения четырёхкратных дифференцирований по η (x

) с последующим интегрированием по x

Кратное применение операторов δ/δ η (x

) к S

(φ

; η) (см. (51 Л2)) и последующее обращение в

нуль поля η приводит к появлению в S-матрице множителей φ

) и D

− x

), причём послед-

няя функция соответствует дифференциальному оператору второго порядка (−i) δ

/δ η (x

) δ η (x

Изобразим графически каждый член этого разложения. Эти графики называются диаграммами
Фейнмана. Члену разложения n-ого порядка, содержащему дифференциальный оператор

(−i)

d x

. . . d x

δ η (x

)

. . . V

δ η (x

)

(1)

сопоставляется диаграмма, состоящая из n вершин в точках x

, i = 1, . . . , n, находящихся под

n-кратным интегралом по пространству-времени. В рассматриваемом случае (55 Л2) из каждой
вершины выходит 4 линии (в теории с потенциалом λφ

из каждой вершины выходит s линий).

Эти линии могут либо замыкаться, соединяя пару вершин (такие линии называются внутренни-
ми), либо выходить из диаграммы, соответствуя полю φ

) (такие линии — внешние). Каждой

внутренней линии, соединяющей точки x

и x

, сопоставляется функция D

−x

). Каждой внеш-

ней линии, выходящей из точки x

, сопоставляется поле φ

). По всем точкам {x

} производится

пространственно-временное интегрирование. Полное выражение для S (φ

) (63 Л2) получается сум-

мированием по всем диаграммам.

Приступим к конкретным вычислениям. Представим S-матрицу в виде

S = 1 + i T .

(2)

Пусть начальное и конечное состояния имеют вид (43 Л2); обозначим через | i i и | f i начальное и

конечное состояния, соответственно:

| i i = |k

, k

, . . .i ,

| f i = |p

, p

, . . .i .

(3)

Вследствие общей трансляционной инвариантности теории справедлива формула

i T

f i

≡ hp

, p

, . . . | i T | k

, k

, . . .i = (2 π)

(d)

− P

) i M

f i

(4)

Здесь P

= k

+ k

+ . . . — суммарный начальный и P

= p

+ p

+ . . . — суммарный конечный

4-импульсы. Введенная при помощи равенства (4) величина M

f i

называется амплитудой рассеяния.

Информация о взаимодействии содержится в операторе T в (2) и в амплитуде M

f i

, через которую

выражаются сечения рассеяния, вероятности распадов частиц, и т.п. (в зависимости от постановки
задачи). Из общих принципов квантовой механики следует, что эти величины квадратичны по M

f i

Вычислим S-матрицу (64 Л2) с точностью до второго порядка по λ

и четвёртого по φ

. Будем

пользоваться формулами (51 Л2) и

δ η (x

)

(φ

; η) = :

) +

d y D

− y) η (y)

(φ

; η) : ≡ : [x

] S

(φ

; η) : ,

(5 a)

δ η (x

)

] = −i D

− x

) .

(5 b)

В первом порядке по λ

находим (нормировочную константу 1/N можно опускать, так как она

всегда сокращается в окончательном результате):

−i

d x :

δ η (x)

(φ

; η) :

η=0

= −i

d x : {−3 D

(0)−6 i D

(0) φ

(x)+φ

(x)} : . (6)

Лекция 3. Диаграммная техника Фейнмана

Во втором порядке следует вычислить величину

−

1
2

d x

δ η (x

)

δ η (x

)

(φ

; η) :

η=0

= −

1
2

d x

δ η (x

)

: {−3 D

(0) − 6 i D

(0) [x

]

+ [x

]

} S

(φ

; η) :

η=0

Далее целесообразно использовать формулу кратного дифференцирования

(f g)

′′′′

= f

′′′′

g + 4 f

′′′

′

+ 6 f

′′

+ 4 f

′

′′′

+ f g

′′′′

подразумевая под f — фигурную скобку в последнем равенстве, а под g — оператор S

(φ

; η). Таким

образом находим искомую величину:

1
2

d x

: {−[9 D

(0) + 72 D

(0) D

− x

) + 24 D

− x

)]−

−i D

− x

) [96 D

− x

) + 144 D

(0)] φ

) φ

)−

−i D

(0) [72 D

− x

) + 18 D

(0)] (φ

) + φ

)) + [72 D

− x

) + 36 D

(0)] φ

) φ

+48 D

(0) D

− x

) [φ

) φ

) + φ

) φ

)] + 3 D

(0) [φ

) + φ

)]} :

(7)

При помощи теоремы Вика (см. задачу 1 к лекции 1), а также разложения для φ

(64 Л2) и

определения векторов состояния (43 Л2) находим следующие значения для элементов S-матрицы
в случае перехода одночастичного состояния |ki в одночастичное состояние |pi (заметим, что все

частоты ω

, содержащиеся в формулах, определяющих вектора-состояния (см. (38 Л2) и 43 Л2)),

и в лоренц-инвариантной мере (40 Л2), взаимно сокращаются):

В нулевом приближении по λ

hp| S |ki = 2 ω

(2π)

d−1

(d−1)

(k − p)

(8)

(нет взаимодействия).

В первом порядке по λ

2 ω

(2π)

d−1

(d−1)

(k − p)

(d)

i λ

(0)

+ (2π)

(d)

(k − p)

−

(0)

(9)

Во втором порядке по λ

2 ω

(2π)

d−1

(d−1)

(k − p)

(d)

−

(0) −

(0) D

− x

) −

· 3

− x

)

−

−i

(d)

− x

) e

i p x

−i k x

− i

(d)

(0) D

− x

) e

i p x

−i k x

−

−i

(d)

(0) D

− x

) e

i (p−k) x

− i

(d)

(0) e

i (p−k) x

(10)

Согласно (49 Л2)

(x) =

(d)

(2π)

(k) e

−i k x

(k) =

−k

+ m

− i ε

ε → +0 .

(11)

В частности,

(0) =

(d)

(2π)

(k) .

(11

′

)

Преобразуем некоторые интегралы при помощи (11):

(d)

− x

) =

(d)

(2π)

(k) ,

(12 a)

I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

(d)

− x

) =

(d)

(2π)

(d)

(2π)

(d)

(2π)

) D

+ k

) ,

(12 b)

(d)

− x

) e

ipx

−ikx

= (2π)

(d)

(k − p)

(d)

(2π)

(d)

(2π)

) D

(k − k

− k

) ,

(12 c)

(d)

− x

) e

ipx

−ikx

= (2π)

(d)

(k − p) D

(k) ,

(12 d)

(d)

i(p−k)x

− x

) = (2π)

(d)

(k − p)

(d)

(2π)

(k) D

(−k) ,

(12 e)

Теперь при помощи выписанных формул вычислим вклад в амплитуду перехода | k i → | p i, со-

держащийся в сумме членов (8)-(10), с точностью O(λ

2 ω

(2π)

d−1

(d−1)

(k − p)







1 +

iλ

(d)

(2π)

(q)

x−

−λ





(d)

(2π)

(q)

(d)

(2π)

(k)

(d)

(2π)

(q) D

(−q) +

(d)

(2π)

(d)

(2π)

(d)

(2π)

) D

+ k

)

+ (2π)

(d)

(k − p)

(

−

(d)

(2π)

(q) − iλ

1
6

(d)

(2π)

(d)

(2π)

) D

(k − q

− q

1
4

(d)

(2π)

(q)

(k) +

1
4

(d)

(2π)

(r)

(d)

(2π)

(q) D

(−q)+

d x

(d)

(2π)

(q)











(13)

2. Диаграммы Фейнмана и правила Фейнмана

Аналитическому выражению (13) соответствует следующая сумма диаграмм Фейнмана (см.

Рис. 3; диаграммы выписаны в том же порядке, в котором расположены слагаемые в (13))

На этом этапе уместно сформулировать правила Фейнмана применительно к рассматриваемой

модели. Согласно правилам Фейнмана каждой диаграмме однозначно соответствует аналитическое
выражение. Каждая диаграмма состоит из вершин и линий, соединяющих эти вершины (внутренние
линии), отрезков, лишь один конец которых заканчивается (или начинается) в вершине (внешние
линии) и отдельных отрезков (свободные линии). Каждая линия имеет направление. Внутренним
и внешним линиям приписывается D-импульс, а свободным линиям — два D-импульса (по одному
каждому концу), причём изменение направления линий влечёт изменение знака соответствующих
D-импульсов. Внутренние линии называются пропагаторами.

Сформулируем правила Фейнмана для вычисления амплитуды перехода i M, сопоставляющие

диаграммам аналитические выражения:

0. каждому свободному отрезку (см. рис. 3 a)

= (2π)

d−1

(d−1)

(k − p), где k и p — d-импульсы концов отрезка;

содержание .. 4 5 6 7 ..