Лекции по квантовой электродинамике - часть 7

Лекция 3. Диаграммная техника Фейнмана

30

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

1

k

2

k

3

q

q

q

q

1

q

1

q

1

q

2

q

2

q

2

p

p

p

p

p

p

k

1

+ k

2

+ k

3

k − q

1

− q

2

Рис. 3

1. каждому пропагатору

= −i D

c

(k), где k — d-импульс пропагатора;

k

2. каждой вершине

= −i λ ;

3. каждой внешней линии

= 1

4. потребовать выполнения закона сохранения d-импульса в каждой вершине;
5. проинтегрировать по каждому не зафиксированному законом сохранения импульсу: R d

(d)

p

(2π)

d

;

6. разделить на множитель D

n

— порядок группы симметрии диаграммы;

7. каждый связный вакуумный пузырёк (как "восьмёрка"на рис. 3 b) содержит множитель



R

d

(d)

x



.

31

I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

Все интегрирования интерпретируются как следствие принципа суперпозиции, согласно которо-

му амплитуды суммируются.

Правило

0 имеет значение лишь для тривиальной части амплитуды рассеяния. Важная для

физики частиц амплитуда M (см. (4)) содержится во второй фигурной скобке в (13), а также
во второй фигурной скобке на на рис. 3. Правило

7 имеет значение, как мы увидим, лишь для

амплитуды перехода из вакуума в вакуум.

Укажем порядки групп симметрии D

n

диаграмм на рис. 3:

(b) D

n

= 8 — по две перестановки каждого из концов двух пропагаторов и две перестановки

самих пропагаторов (2 · 2 · 2 = 8);

(c) D

n

= 2 · 8 · 8 = 2

7

;

(d) D

n

= 2 · 2 · 2 · 2 = 2

4

;

(e) D

n

= 2 ·4! — две перестановки вершин и 4! перестановки пропагаторов вакуумного пузырька;

(f) D

n

= 2 — перестановка концов пропагатора;

(g) D

n

= 3! — число перестановок пропагаторов;

(h) D

n

= 2 · 2 = 4;

(i) D

n

= 2 · 2 = 4 — две перестановки пропагаторов в нижней петле и две перестановки концов

пропагатора в верхней петле;

(j) D

n

= 8 · 2 = D

′

n

· 2 = 16 — D

′

n

= 8 для вакуумного пузырька и две перестановки концов

пропагатора.

В случае сомнения при вычислении D

n

следует непосредственно вычислить коэффициент при

диаграмме.

Нетрудно понять происхождение правил Фейнмана. Действительно, каждой вершине сопостав-

ляется множитель R d

(d)

x(−iλ/4!) и в случае n-вершинной диаграммы имеется общий множитель

(1/n!) из ряда Тейлора. Но множитель 1/n! всегда сокращается множителем n! от перестановок
вершин. Кроме того, каждая вершина имеет 4 линии, приходящие из четырёх различных мест.
Перестановки относительно этих мест (что делается автоматически при вычислении (δ/iδη(x))

4

),

дают множитель 4!, сокращающий знаменатель в (−iλ/4!). Поэтому каждой вершине сопоставляет-
ся множитель R d

(d)

x(−iλ). Если же мы имеем, например, вакуумный пузырёк с двумя вершинами

такой, как на рис. 3 e, то из двух исходных множителей 1/4! один остаётся. Не сокращается также
общий множитель (1/2). Но в данном случае как раз D

n

= 2 ·4!. Действительно, при действии диф-

ференциального оператора [(δ/iδη(x))

4

] [(δ/iδη(y))

4

] на величину S

0

(φ

0

; η) та квадратная скобка,

которая действует первая, не даёт множителя 4!.

Легко сообразить, что, например, при вычислении диаграммы на рис. 4

n

Рис. 4.

множитель (1/n!) в дифференциальном операторе (1) не сокращается: каждый множитель


1

4!

R

d x

i



1

i

δ

δ η(x

i

)



4



даёт в амплитуде множитель, соответствующий одной диаграмме-восьмёрке.

Таким образом, в случае диаграммы на рис. 4 порядок группы симметрии D

n

= n! (8)

n

. Аналогич-

но, если мы имеем несвязную вакуумную диаграмму вида

n

m

Рис. 5.

то она равна

Лекция 3. Диаграммная техника Фейнмана

32

n

1

n!

1

m!

m

Рис. 6.

Подчеркнём исключительно важное и нетривиальное свойство диаграмм Фейнмана: общий число-
вой коэффициент в диаграмме не зависит от её порядка.

Поясним физический смысл диаграмм на рис. 3.
Сумма первых пяти диаграмм равна произведению амплитуды перехода | k i → | p i в нулевом

приближении на сумму первых пяти вакуумных пузырьков (начиная от тривиального, равного
единице).

Обозначим через V

i

какой-либо из вакуумных пузырьков:

,

,

,

V

i

∈

Из сказанного видно, что любая диаграмма, не содержащая несвязных вакуумных компонент, умно-
жается на ряд

X

{n

i

}

 

Y

i

1

n

i

!

V

n

i

i

!

= exp

 

X

i

V

i

!

.

(14)

Таким образом, сумма всех диаграмм с заданным числом внешних линий равна сумме всех связ-
ных диаграмм с этими же внешними линиями, умноженной на экспоненту от суммы всех разных
несвязных диаграмм без внешних линий (вакуумных пузырьков). Эта экспонента интерпретируется
как фаза, набегающая при переходе вакуума в вакуум за бесконечное время. Заметим, что каждая

диаграмма V

i

содержит множитель



R

d

(d)

x



. Эта вакуумная фаза не представляет интереса,

поскольку сокращается в физических величинах. Поэтому её не учитывают.

Во второй фигурной скобке на рис. 3 диаграммы (f), (g), (h), (i) дают поправки к амплитуде

распространения одной частицы в вакууме. Все эти поправки могут лишь привести к изменению
(перенормировке) тех параметров частицы, которые могут изменяться непрерывно. Например, это
может быть масса. Эти поправки далее рассматриваются в меру необходимости. Здесь лишь за-
метим, что буквальный учёт диаграмм типа рис. 3 (f) − (i) затруднителен, поскольку, например,

диаграммы (f) и (g) квадратично расходятся, диаграмма (h) содержит множитель

D

c

(k) =

1

−k

2

+ m

2

0

− iε

.

Однако k

2

= m

2

0

, и потому D

c

(k) =

1
0

= ∞. Мы видим, что поправки к внешним линиям, 4-импульсы

которых k

i

удовлетворяют условию k

2

i

= m

2

, где m — наблюдаемая (или физическая) масса, требуют

отдельного рассмотрения. Такое рассмотрение далее проводится в более изящной теории поля —
квантовой электродинамике. В скалярной теории поля квантовые поправки к внешним линиям здесь
не изучаются. (Говорят, что если импульс частицы удовлетворяет условию k

2

i

= m

2

, то её импульс

находится на массовой поверхности; в этой ситуации говорят также, что частица находится на
массовой поверхности.) Таким образом, из двух диаграмм

левая будет учитываться, а правая — нет. Будем говорить, что у диаграммы ноги на массовой

поверхности ампутированы, если её нельзя рассечь на две несвязных диаграммы, разрезая одну

33

I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

внутреннюю линию, и при этом одна из двух диаграмм имеет две внешних линии на массовой
поверхности.

Таким образом, при проведении вычислений по ТВ следует нарисовать все диаграммы процес-

са, имеющие физический смысл, с заданным числом вершим, определяемым степенью необходи-
мой точности вычисления, сопоставить диаграммам аналитические выражения согласно правилам
Фейнмана и вычислить их.

Например, рассмотрим взаимное рассеяние двух начальных частиц с импульсами k

1

и k

2

, в

результате чего при t → ∞ имеем две частицы с импульсами p

1

и p

2

. Этот процесс с точностью

O (λ

2

0

) описывается следующими диаграммами:

k

1

k

1

k

1

k

1

k

2

k

2

k

2

k

2

q

q

q

p

1

p

1

p

1

p

1

p

2

p

2

p

2

p

2

q

+k

2

−p

2

k

1

+k

2

−q

q

+k

2

−p

1

Рис. 7.

Аналитическое выражение этих диаграмм таково:

i M = −iλ

0

+

2

λ

2

0

Z

d

(d)

q

(2π)

d

D

c

(q)



D

c

(k

1

+ k

2

− q) + D

c

(k

2

− p

2

+ q) + D

c

(k

2

− p

1

+ q)



.

(15)

Амплитуду (15) легко также получить непосредственно при помощи выражений (6) и (7).

Диаграммы вида

и т.п. по указанным выше причинам не рассматриваются.

3. Производящий функционал гриновских функций

Если в (63 Л2) не полагать η = 0, то полученный функционал обозначим S(φ

0

; η); он явля-

ется нормальным символом S-матрицы для рассеяния взаимодействующих частиц в присутствии
источника η(x). Рассмотрим также функционал

Z(η) = exp

−i

Z

V

 1

i

δ

δη(z)



d z



· exp

2

Z

η(x) D

c

(x − y) η(y) d x d y



,

(16)

имеющий смысл амплитуды перехода из вакуума в вакуум в присутствии внешнего источника.
Коэффициентные функции G

n

(x

1

, . . . , x

n

) в разложении функционала (16) в ряд по η(x)

Z(η) =

X

n

1

n!

Z

G

n

(x

1

, . . . , x

n

) η(x

1

) . . . η(x

n

) d x

1

. . . d x

n

(17)

определяют функции Грина, то есть вакуумные средние от хронологических произведений гейзен-
берговых операторов поля (см. конец лекции 1). Поэтому функционал (16) называется производя-
щим функционалом.

Функционал Z(η) содержит в себе больше информации, чем функционал S(φ

0

) (63 Л2): зная

Z(η), можно восстановить S(φ

0

). Чтобы получить явные формулы, введём расширенный функ-

ционал S(φ), заменив в (63 Л2) поле φ

0

(x) произвольной функцией четырёх переменных φ(x).