содержание .. 6 7 8 9 ..

Лекции по квантовой электродинамике - часть 8

Лекция 3. Диаграммная техника Фейнмана

Коэффициентные расширенные функции ˜

(см. (64 Л2)) суть вариационные производные (под

расширенными функциями мы понимаем коэффициентные функции для S(φ)):

, . . . , x

) =

δφ(x

)

. . .

δφ(x

)

S(φ)

φ=0

= exp

−i

δη(z)

d z

η(x

) . . . η(x

) · exp

η(x) D

(x − y) η(y) d x d y

(18)

Пусть

η(x) =

d y D

(x − y) η(y) → η(x) = (∂

∂

+ m

) ˜

η(x) ,

δ ˜

η(x)

= (∂

∂

+ m

)

δη(x)

(19)

Очевидно

δ ˜

η(x)

Z(η) = exp

−i

δη(z)

d z

η(x) exp

η(y) D(y − z) η(z) d y d z

δ ˜

η(x

)

δ ˜

η(x

)

Z(η) = exp

−i

δη(z)

d z

η(x

) η(x

) +

(∂

∂

+ m

)

(d)

− x

)

exp

η(y) D

(y − z) η(z) d y d z

(20)

и т.д. Очевидно, применение оператора

δ ˜

η(x

)

. . .

δ ˜

η(x

)

к функционалу (16) даёт функционал того же вида, что в правой части (20), где квадратная скобка
заменяется на величину

[η(x

) . . . η(x

) + κ(x

, . . . , x

)] ,

причём

) . . . φ

) κ(x

, . . . , x

) d x

. . . d x

= 0 .

(21)

Теперь при помощи (18)-(21) находим:

d x

. . . d x

) . . . φ

)

(

δφ(x

)

. . .

δφ(x

)

S(φ)

φ=0

−

δ ˜

η(x

)

. . .

δ ˜

η(x

)

Z(η)

= 0 .

(22)

Таким образом, для вычисления нормального символа S-матрицы нужно вычислить вариационные
производные

δη(x

)

. . .

δη(x

)

Z(η)

η=0

(23)

т.е. функции Грина G

, . . . , x

), подействовать на эти функции дифференциальным оператором

i=1

∂

+ m

(24)

умножить результат на произведение

) ,

проинтегрировать по всем x

и просуммировать по n.

I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

4. О физической интерпретации пропагаторов и проблема

причинности в квантовой теории поля

Пусть в нерелятивистской квантовой механике |xi и |ki обозначают нормированные собствен-

ные состояния операторов координаты и импульса частицы, соответственно, с собственными значе-
ниями операторов, указанными в обозначениях этих состояний. Тогда, как известно, hx | ki = e

i k x

Аналогичная формула в квантовой теории поля получается при помощи формул (38 Л2) и (64 Л2):

h 0| φ

(x) | k i|

= e

i k x

(25)

Из этой формулы мы делаем вывод, что состояние

|xi ≡ φ

(x) | 0 i|

(d−1)

(2 π)

d−1

−i k x

2 ω

| k i

(26)

есть состояние в свободной релятивистской квантовой теории поля, в котором частица полностью
локализована в точке x в момент времени x

= 0.

Рассмотрим хронологическое среднее от гейзенберговского поля (64 Л2):

h 0 | T φ

(x) φ

(y) | 0 i = −i D

(x − y) .

(27)

Равенство (27) легко проверяется непосредственно. Так как величина (27) зависит лишь от раз-
ностей координат, то при x

> y

её можно интерпретировать как амплитуду, описывающую

распространение частицы, локализованной в точке y в момент времени y

, в точку x за про-

межуток времени (x

− y

). Действительно, величина (27) может быть представлена также как

h x | e

−i (x

−y

) H

| y i (см. лекцию 1). Если же x

< y

, то точки x и y меняются местами. Эта

интерпретация пропагатора (27) находится в полном соответствии с правилами Фейнмана.

Нетрудно убедиться, что

−iD

(x − y)|

(3)

(2π)

i k(x − y)

√

+ k

6= 0 ,

−iD

(x − y)|

∼ e

−m| x − y |

если m | x − y | ≫ 1.

(28)

Не следует ли из (28) вывод, что в построенной нами релятивистской квантовой теории поля на-
рушен принцип причинности? Действительно, на первый взгляд из (28) следует, что частица, рож-
дённая в одной точке пространства, мгновенно распространяется до других точек пространства.
Однако, при правильной интерпретации принципа причинности в релятивистской квантовой тео-
рии поля, каких либо противоречий не возникает. Действительно, в нашем случае необходимым
требованием является условие

[ φ

(x), φ

(y) ] = 0

если

(x − y)

< 0 .

(29)

Равенство (29) означает, что если точки x и y разделены пространственноподобным интервалом,
то никакие измерения в этих точках не скоррелированы между собою. Иными словами, в реляти-
вистской квантовой теории поля информация не передаётся со скоростью, превышающей скорость
света.

Оценка (28) интерпретируется следующим образом. Имеет место принцип неопределенности

∆t · ∆ε ≥ ~, где ∆t — время измерения энергии и ∆ε — неопределенность измеренной энергии,

заключенной в тестируемом участке пространства размера r (для наглядности здесь восстановлена
правильная размерность). Если тестируемая частица с массой m покоится, то по смыслу введен-
ных величин mc

≥ ∆ε, откуда ∆t ≥ ~/mc

и размер тестируемой области r ∼ c∆t ≥ ~/mc. Из

приведенных оценок следует вывод, что в релятивистской квантовой теории частица с массой m
не может быть локализована в объеме пространства с размером меньше чем ~/mc. Величина ~/mc
называется комптоновской длиной волны соответствующей частицы.

Для гейзенберговских полей во взаимодействующей теории равенство (29) также имеет место

и при этом оно является весьма содержательным, определяя аналитические свойства различных

Равенство (29) доказывается в более общем случае взаимодействующих полей в Лекции 5.

Лекция 3. Диаграммная техника Фейнмана

корреляторов (см., например, В.Н. Грибов, "Квантовая электродинамика").

Задачи

1. Вычислить среднее число частиц и среднюю энергию свободной теории Клейна-Гордона при
t → ∞, рождённых внешним источником. Считать, что при t → −∞ система находится в основном

состоянии.

Указание. Решить сначала эту задачу в случае одномерного осциллятора.

2. Рассмотреть скалярную теорию, описываемую лагранжианом

L =

1
2

(∂

Φ)

−

1
2

(∂

φ)

−

1
2

− κ Φ φ

Последнее слагаемое описывает взаимодействие, позволяющее Φ-частице распадаться на две φ-
частицы, если m

> 2 m. Вычислить время жизни Φ-частицы в наинизшем порядке.

Указание. Воспользоваться формулой (А9) из Приложения.

3. Рассмотрим линейную сигма–модель, описывающуюся гамильтонианом

H =

(π

)

1
2

(∇φ

)

+ V (φ

)

i=1

(φ

)

V (φ

) =

(φ

)

Развить диаграммную технику для этой модели. Показать, что она совпадает с диаграммной тех-
никой скалярной теории, если в неё внесены следующие поправки:

а) пропагатор

= −i δ

(k)

б) вершина

= −2iλ (δ

+ δ

)

Везде i, j, . . . — сорта частиц. Таким образом начальное и конечное состояния несут наборы этих

индексов.

4. Доказать прямым вычислением формулу (29).

I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

Лекция 4

УЛЬТРАФИОЛЕТОВЫЕ РАСХОДИМОСТИ И РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

1. Размерностная регуляризация расходимостей

Попробуем вычислить простейшую диаграмму (f) на рис. 3:

Соответствующий вклад в iM, обозначаемый −iΣ, равен

−i Σ

(1)

= −

4−d

(d)

(2π)

−(k

)

+ k

− iε

Здесь µ — константа, имеющая размерность массы, так что λ

— безразмерная константа.

При интегрировании по k

сделаем поворот Вика (см. рис. 1, 2 в лекции 1) k

= i k

−i Σ

(1)

= −

i λ

4−d

(d)

(2π)

+ m

(1)

Обозначение R

(d)

k указывает на то, что интегрирование идёт по d-мерному евклидову про-

странству, в котором k

= (k

)

+ . . . + (k

)

. Интеграл (1) при d ≥ 2 расходится, при d < 2 —

сходится. Мы видим, что сходимость диаграмм Фейнмана существенно зависит от размерности d
пространства-времени. С другой стороны, большинство симметрий теории поля не зависят от
d. Важнейшими из таких симметрий являются лоренц- и калибровочная инвариантности. Поэто-
му возникла идея (Ж. ’т Хоофт, М. Вельтман) вычислять диаграммы Фейнмана при произвольной
комплексной размерности пространства, устремляя в конце вычислений параметр d к нужному
значению.

Для дальнейших вычислений нам понадобятся следующие формулы и интегралы.
Пусть V

(d)

= S

(d)

— объём шара радиуса R в d-мерном евклидовом пространстве. Вычислим

(d)

— объём единичного шара в d-мерном пространстве. Имеем:

d/2

(d)

x e

−(x

+...+x

2
d

)

∞

−R

d V

(d)

= d S

(d)

∞

−R

d−1

d R =

d
2

(d)

∞

−t

d/2−1

d t = S

(d)

Таким образом

(d)

d/2

d
2

d/2

d
2

+ 1

(2)

Везде Γ (z) — гамма-функция. При c > 0 и α > d/2 имеем:

(d)

+ c)

= d S

(d)

∞

d−1

d k

+ c)

(d)

∞

d/2−1

d t

(t + c)

(d)

d/2−α

d
2

Γ α −

d
2

Γ (α)

Теперь при помощи (2) получаем:

(d)

+ c)

= π

d/2

d/2−α

Γ α −

d
2

Γ (α)

(3)

содержание .. 6 7 8 9 ..