Лекции по квантовой электродинамике - часть 9

Лекция 4. Ультрафиолетовые расходимости и регуляризация

38

Интеграл (3) был вычислен при условии d < 2α. Однако правая часть в (3) является аналитической
функцией всех параметров. Поэтому при произвольных комплексных значениях параметров d. α
и c будем считать правую часть уравнения (3) определением интеграла, стоящего в левой части
равенства (3).

При помощи (3) вычисляем интеграл (1):

−i Σ

(1)

= −

iλ

0

µ

4−d

m

d−2

0

2

d+1

π

d/2

Γ



1 −

d
2



.

(4)

Нас интересует значение d = 4 или значения d, близкие к числу 4. Поэтому введём обозначения

d = 4 − ε ,

ln

Λ

µ

=

1
ε

,

ε → +0 .

(5)

Как будет видно из дальнейших вычислений, параметр Λ → ∞ играет роль максимально допу-

стимого импульса в теории — импульса обрезания. Перепишем (4) в новых обозначениях:

−i Σ

(1)

= −

iλ

0

µ

ε

m

2−ε

0

2

(5−ε)

π

(2−ε/2)

Γ



−1 +

ε
2



.

(6)

При помощи формул

Γ(z) =

Γ(z + 1)

z

,

Γ(1) = 1

(7)

находим, что величина (6)

−i Σ

(1)

−−−−→

ε→+0

iλ

0

m

2

0

2

4

π

2

 1

ε



+ const ,

(8)

где const — конечная величина при ε → 0.

Теперь займёмся вычислением однопетлевых диаграмм на рис. 7 (n-петлевой диаграммой на-

зывается такая диаграмма, у которой имеется n нефиксированных импульсов, по которым идёт
интегрирование). Каждая из этих трёх диаграмм представляется интегралом

I =

1
2

λ

2

0

µ

2(4−d)

Z

d

(d)

q

(2π)

d

D

c

(q) D

c

(p − q) .

(9)

Сначала оценим интеграл (9) непосредственно в 4-мерном пространстве-времени. Рассмотрим

этот интеграл в ультрафиолетовой области (q → ∞). Так как внешние импульсы и масса фиксиро-

ваны, то ими можно пренебречь при вычислении расходящейся части. Это можно сделать не всегда,
но в данном случае, когда степень расходимости интеграла не выше логарифмической, внешними
импульсами и массами можно пренебречь: учёт поправок к интегралу (9), пропорциональных m и
p, приводит к сходящимся интегралам.

Сделаем поворот Вика. Тогда расходящаяся часть суммы трёх интегралов в (15 Л3) равна

i M

(2)

div

=

3i λ

2

0

32π

4

Z

E

d

(4)

q

(q

2

)

2

=

3i λ

2

0

16π

2

Λ

Z

µ

d q

q

,

Λ → ∞ .

(10)

Здесь Λ — промежуточный импульс обрезания, µ — нижний предел интегрирования, имеющий
порядок физической массы частицы или внешних импульсов, который называется точкой норми-
ровки.

Мы опять видим, что амплитуды перехода в квантовой теории поля содержат расходящиеся

вклады.

Приведём ещё один пример.
Диаграмма (g) на рис. 3 даёт вклад в амплитуду перехода частицы в эту же частицу, аналогично

диаграмме (f) на рис. 3:

−i Σ

(2)

= −

iλ

2

0

6

Z

d

(4)

q

1

d

(4)

q

2

(2π)

8

D

c

(q

1

) D

c

(q

2

) D

c

(k − q

1

− q

2

) .

(11)

Интеграл (11), так же как и интеграл (1), при d = 4 расходится квадратично.

39

I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

2. Индекс расходимости диаграмм

Вычислим индекс расходимости произвольной диаграммы. Для этого сделаем масштабное пре-

образование всех импульсов в диаграмме, а также массы частицы: k

i

, p

f

, q, m → αk

i

, αp

f

, αq, αm.

При таком преобразовании подынтегральное выражение умножается на α

ω

, где ω и есть индекс

диаграммы. Очевидно, что все внутренние линии дают вклад в число ω, равный (−2 L

in

). Лег-

ко увидеть, что число d-мерных дифференциалов от внутренних независимых импульсов равно
L = [L

in

− (n − 1)], где n — число вершин диаграммы. Действительно, независимых внутренних

импульсов в диаграмме с n вершинами имеется на (n − 1) меньше, чем внутренних линий, так

как в каждой из n вершин имеет место закон сохранения d-импульса. Однако совокупность n
законов сохранения содержит в себе один закон сохранения совокупности внешних входящих и вы-
ходящих d-импульсов. Этим объясняется уменьшение независимых d-импульсов не на n, а на
(n − 1). Поэтому имеем для числа ω

ω = d (L

in

− n + 1) − 2 L

in

.

(12)

Обозначим через L

ex

суммарное число внешних линий. Имеем:

L

ex

+ 2 L

in

= 4 n .

(13)

Действительно, к каждой вершине подходит 4 линии, но каждая внутренняя линия подходит к двум
вершинам. Исключим из (12) число n при помощи равенства (13):

ω =

1
2

(d − 4) L

in

+ d



1 −

L

ex

4



.

(14)

Диаграмма является формально сходящейся, если ω < 0.
Мы рассмотрели расходимости диаграмм f и g на рис. 3 с L

ex

= 2 и однопетлевые диаграммы

на рис. 7 с L

ex

= 4 при d = 4. Согласно (14) при d = 4 диаграммы с двумя внешними лини-

ями расходятся квадратично, однако в них содержатся также и логарифмические расходимости.
Это будет показано ниже. Диаграммы с четырьмя внешними линиями расходятся лишь логариф-
мически, что и было выяснено на примере однопетлевых диаграмм на рис. 7. Подчеркнём, что в
рассматриваемой модели при d = 4 степень расходимости диаграммы зависит не от её числа
петель, а от числа внешних линий. Фактически это свойство является следствием безразмерности
константы связи λ

0

, по которой идёт разложение. Действительно, лишь при d = 4 константа λ

0

безразмерна. При d > 4 её размерность такова, что степень расходимости диаграммы возраста-
ет по мере её усложнения (см. (14)). Такие теории называются неперенормируемыми. При d < 4
теория φ

4

относится к так называемым сверхперенормируемым, поскольку в теории содержится

лишь конечное число расходящихся диаграмм.

3. Диаграмма с четырьмя внешними линиями

Теперь займёмся вычислением интеграла (9) при произвольном комплексном значении парамет-

ра d. Причинные гриновские функции допускают следующее представление:

D

c

(q) = i

∞

Z

0

exp[iα(q

2

− m

2

0

+ iε)] d α .

(15)

Делая поворот Вика и используя (15), переписываем (9) в виде

I = −i

λ

2

0

µ

2(4−d)

2(2π)

d

∞

Z

0

d α

∞

Z

0

d β

Z

E

d

(d)

q exp

−iα(q

2

+ m

2

0

) − iβ[(p − q)

2

+ m

2

0

] − ε(α + β)

 .

Здесь интеграл по q является гауссовым и вычисляется при помощи формулы (13 Л1), где сле-
дует сделать замены N → d, M → −[2(α + β)]

−1

, ξ → 2βp. После вычисления этого интеграла

возвращаемся в пространство Минковского:

I = −

i

2

λ

2

0

µ

2(4−d)

(4πi)

−d/2

∞

Z

0

d α

∞

Z

0

d β

1

(α + β)

d/2

exp

i

αβ

α + β

p

2

− i(α + β)(m

2

0

− iε)



.

(16)

Лекция 4. Ультрафиолетовые расходимости и регуляризация

40

Перепишем интеграл (16) в новых переменных интегрирования α = λt, β = (1 − λ)t, 0 < λ < 1,
0 < t < ∞:

I = −

i

2

λ

2

0

µ

2(4−d)

(4πi)

−d/2

1

Z

0

d λ

∞

Z

0

d t t

(1−d/2)

exp{−t[−iλ(1 − λ)p

2

+ im

2

0

+ ε]} .

(17)

Внутренний интеграл в (17) вычисляется при помощи формулы

∞

Z

0

d t t

z−1

e

−kt

= k

−z

Γ(z) ,

Re k > 0 .

(18)

В нашем случае z = 2 − d/2, k = i[m

2

0

− λ(1 − λ)p

2

] + ε. Поэтому имеем:

I

µ

4−d

=

iλ

2

0

µ

(4−d)

Γ 2 −

d
2

2(4π)

d/2

1

Z

0

d λ [m

2

0

− λ(1 − λ)p

2

]

d/2−2

.

(19)

Разложим (с учётом (7)) правую часть (19) в ряд Лорана вблизи точки d = 4:

I

µ

4−d

=

iλ

2

0

(4π)

2

(4 − d)

+

iλ

2

0

[ψ(1) + ln 4π]

8(2π)

2

−

−

iλ

2

0

8(2π)

2

1

Z

0

d λ ln

m

2

0

− λ(1 − λ)p

2

− iε

µ

2

,

ψ(α) =

d

d α

ln Γ(α) .

(20)

Отсюда мы видим, что расходящаяся часть в i M

(2)

равна

i M

(2)

div

=

3iλ

2

0

16 π

2

1

4 − d

.

(21)

Сравнивая (21) и (10), мы оправдываем соотношение (5):

1

4 − d

=

1
ε

= ln

Λ

µ

.

(22)

Укажем на следующее важное обстоятельство: метод размерностной регуляризации учитывает

лишь логарифмические расходимости. Действительно, если d > 2α, то полагая c = 0 в (3),
получаем:

Z

E

d

d

k

(k

2

)

α

= 0

при d > 2α .

(23)

Равенство (23) означает, что в методе размерностной регуляризации при d > 2α интеграл (23)
определён и он равен нулю. Отсюда следует автоматическое устранение расходимостей степени
выше логарифмической. Это же видно, в частности, из формулы (8).

4. Устранение расходимостей

Предположим, что в теории возмущений, описываемой рядом диаграмм Фейнмана, содержатся

расходимости в диаграммах с ограниченным числом внешних линий. Таким примером является
рассматриваемая теория φ

4

при d = 4. Более того, в этой теории расходятся лишь диаграммы с

двумя и четырьмя внешними линиями, а действие содержит слагаемые, пропорциональные φ

2

и φ

4

.

В такой ситуации для устранения расходимостей вводится промежуточная регуляризация, смысл
которой заключается в обрезании петлевых интегралов по нефиксированным импульсам неким па-
раметром Λ, стремящимся к бесконечности, Это обрезание проводится таким образом, чтобы была
сохранена Лоренц-инвариантность, а также, по возможности, все прочие симметрии, имеющиеся в
теории. Размерностная регуляризация является наиболее используемым методом такой регуляри-
зации. Оказывается, что в некоторых случаях (как в теории φ

4

при d = 4) исходные параметры

41

I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

теории (затравочные константы) можно выбрать такими функциями параметра обрезания Λ, что
при Λ → ∞ все расходимости в теории сокращаются. В рассматриваемой нами скалярной теории

поля способ действий таков: если в неком порядке теории возмущений расходимости уже устране-
ны, то в следующем порядке ТВ расходятся диаграммы с двумя и с четырьмя внешними линиями.
В первом случае расходимость устраняется переделкой (перенормировкой) затравочной массы, а во
втором случае — перенормировкой затравочной константы связи. При этом может оказаться, что
затравочные константы не имеют конечного предела при устремлении промежуточного импуль-
са обрезания к бесконечности. Но в процедуре перенормировки наблюдаемые (или физические,
или перенормированные) величины (массы частиц, константы взаимодействия физических частиц,
амплитуды перехода) должны стремиться к определённому пределу при устремлении промежуточ-
ного импульса обрезания к бесконечности. Затравочные константы теории разлагаются в ряд по
перенормированным константам, причём коэффициенты в этом разложении являются функциями
параметра обрезания.

Теории, допускающие подобную процедуру перенормировки, называются перенормируемыми

теориями.

Продемонстрируем сказанное на примере перенормировки констант в теории φ

4

в четырёхмер-

ном пространстве-времени. Мы увидим, что эта теория является перенормируемой. Пусть затра-
вочная константа связи λ

0

, входящая в исходное (затравочное) действие, разлагается в ряд по

физической константе связи λ. Далее мы увидим, что физическая константа связи может быть
определена через значение амплитуды перехода двух частиц в две частицы при некоторых значе-
ниях импульсов частиц. Пусть во втором порядке

λ

0

= λ +

3λ

2

16π

2

ln

Λ

µ

,

λ

2

0

= λ

2

+ O(λ

3

) .

(24)

Тогда согласно (10) и (24) в сумме диаграмм на рис. 7 расходимости сокращаются по крайней мере с
точностью O(λ

3

) и амплитуда 2 → 2 является конечным выражением, зависящим от физической

безразмерной константы λ.

5. Инвариантные переменные Мандельстама

В заключение лекции дадим определение удобных лоренц-инвариантных переменных, при по-

мощи которых удобнее всего описывать амплитуды перехода двух частиц в две частицы.

Прежде всего заметим, что построенная ТВ явно лоренц-инвариантна. Это значит, что все ам-

плитуды перехода как функции внешних 4-импульсов являются лоренц-инвариантами, то есть они
зависят лишь от лоренц-инвариантов, построенных из внешних 4-импульсов. Это замечание остаётся
в силе для диаграмм Фейнмана, внешние импульсы которых не находятся на массовой поверхности.

Пусть в реакции участвует всего 4 частицы с массами m

1

, m

2

, m

3

, m

4

, причём при t → −∞

имелось 2 частицы и при t → +∞ имеется также 2 частицы. Обобщённый закон сохранения

4-импульса запишем в виде

k

1

+ k

2

+ k

3

+ k

4

= 0 .

(25)

При этом предполагается, что, если, например, идёт реакция 1 + 2 → 3 + 4, то

k

0

1

> 0 , k

0

2

> 0 , k

0

3

< 0 , k

0

4

< 0 ,

(26)

и т.д.

Из четырёх 4-импульсов, находящихся на массовой поверхности и удовлетворяющих уравнению

(25), можно составить всего 2 независимых инвариантных переменных. Действительно, в силу (25)
всего три импульса независимы, например, k

1

, k

2

, k

3

. Из них можно составить всего 6 инвариантов:

k

2

1

= m

2

1

, k

2

2

= m

2

2

, k

2

3

= m

2

3

, k

1

k

2

, k

1

k

3

, k

2

k

3

. Лишь последние 3 из них являются переменными.

Кроме того, так как (k

1

+ k

2

+ k

3

)

2

= k

2

4

= m

2

4

, то независимых переменных остаётся 2.

Удобно ввести три лоренц-инвариантных переменных Мандельстама:

s = (k

1

+ k

2

)

2

= (k

3

+ k

4

)

2

,

t = (k

1

+ k

3

)

2

= (k

2

+ k

4

)

2

,

u = (k

1

+ k

4

)

2

= (k

2

+ k

3

)

2

.

(27)