Лекции по квантовой электродинамике - часть 10

Лекция 4. Ультрафиолетовые расходимости и регуляризация

42

Легко проверить, что

s + t + u = m

2

1

+ m

2

2

+ m

2

3

+ m

2

4

.

(28)

Теперь рассмотрим самый простой случай m

1

= m

2

= m

3

= m

4

= m и реакцию

1 + 2 −→ 3 + 4 ,

(29)

для которой переменные мандельстама принимают значения в следующих областях:

s ≥ 4m

2

,

t ≤ 0, u ≤ 0 .

(30)

О реакции (29) говорят, что это — s-канальная реакция. Амплитуда реакции в t-канале

1 + 3 −→ 2 + 4

(31)

получается аналитическим продолжением амплитуды в s-канале в область переменных

t ≥ 4m

2

,

s ≤ 0 , u ≤ 0 .

(32)

Это возможно, так как в теории S-матрицы амплитуды являются аналитическими функциями
инвариантных переменных.

Введём обозначение

i M

(2)

(s) =

1
2

λ

2

0

Z

d

d

q

(2π)

d

D

c

(q) D

c

(k

1

+ k

2

− q) .

(33)

Тогда амплитуда в (15 Л3) представляется симметричным образом:

i M

(2)

= i

h

M

(2)

(s) + M

(2)

(t) + M

(2)

(u)

i

.

(34)

Укажем ещё один удобный способ параметризации петлевых интегралов, отличный от парамет-

ризации (14)-(15).

Очевидно имеем:

1

AB

=

1

Z

0

d x

[xA + (1 − x)B]

2

=

Z

x, y≥0

d x d y δ(x + y − 1)

(xA + yB)

2

.

(35)

Дифференцируя (35) по B, получаем

1

AB

n−1

=

Z

x, y≥0

d x d y δ(x + y − 1)

(n − 1)y

n−2

[xA + yB]

n

.

(36)

Задачи

1. Доказать по индукции, что

1

A

1

A

2

. . . A

n

=

Z

x

i

≥ 0

d x

1

. . . d x

n

δ

 

n

X

i=1

x

i

− 1

!

(n − 1)!

(x

1

A

1

+ . . . + x

n

A

n

)

n

.

(37)

Переменные {x

i

} в этом интеграле называются фейнмановскими параметрами.

Указание. Использовать равенства (35) и (36).

2. Вычислить s-канальную однопетлевую диаграмму

k

1

k

2

p

1

p

2

43

I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

при помощи параметризации Фейнмана. Указать, при каких значениях s эта диаграмма веще-
ственна.

Ответ:

i M =

i λ

2

0

µ

4−d

Γ(2 − d/2)

2 (4π)

d/2

1

Z

0

d x [m

2

− x(1 − x)s − i ε]

d/2−2

;

M вещественна при s ≤ 4 m

2

.

3. Эффект Казимира.

Рассмотреть свободное безмассовое скалярное поле φ(x) на отрезке длины L с граничными

условиями φ(0) = φ(a) = φ(a + l) = φ(L) = 0, где a ∼ (1/2)L, l ≪ L (см. рисунок).

0

a

a

+ l

L

Вычислить силу (−∂E

0

/∂l), где E

0

— энергия нулевых колебаний вакуума.

Замечание. Рассмотренная ситуация даёт одномерную модель взаимодействия двух близко

расположенных параллельных проводящих пластин, устанавливающих соответствующие гранич-
ные условия для электромагнитного поля.

Указание. Для решения задачи необходимо пройти следующие этапы:

а) На отрезке [a, a + l] проквантовать скалярное поле с лагранжианом

L =

1
2

l

Z

0

d x ( ˙φ

2

− (φ

′

)

2

)

и граничными условиями φ(0) = φ(l).

б) Выразить гамильтониан через бозонные операторы рождения и уничтожения и вычислить

энергию вакуума E

0

.

в) Регуляризовать энергию вакуума двумя методами:
(i)

E

0 (reg)

=

X

n

ω

n

2

e

−ε ω

n

/2

,

ε → +0 .

(ii) При помощи дзета-функции Римана

ζ (s) =

∞

X

n=1

1

n

s

,

формально полагая

∞

X

n=1

n = ζ (−1) = −

1

12

.

Сравнить оба метода.

г) Вычислить регуляризованную энергию системы E

0 (reg)

, определённой на рис. 1, и вычислить

силу

f = −

∂ E

0 (reg)

∂ l

.

Лекция 5. Общая схема перенормировок

44

Лекция 5

ОБЩАЯ СХЕМА ПЕРЕНОРМИРОВОК

1. Спектральное представление Челлена-Лемана двухточечной функции

Согласно (27 Л3) фурье-образ вакуумного среднего h 0 | T φ(x)φ(0) | 0 i для свободного кванто-

ванного поля φ имеет вид

Z

d x e

ikx

h 0 | T φ(x)φ(0) | 0 i =

i

k

2

− m

2

0

+ iε

= −i D

c

(k) .

(1)

Теперь попробуем вычислить это же среднее во взаимодействующей теории. Мы будем опи-

раться только на общие принципы теории относительности и квантовой механики; при этом вид
взаимодействия, специфика ряда ТВ и другие детали не существенны. Предполагается лишь, что
в теории имеются частицы с определённой массой (и, возможно, другими квантовыми числами),
динамика которых лоренц-инвариантна и описывается согласно законам квантовой механики. По-
этому результаты, полученные в этой лекции, справедливы для очень широкого класса квантовых
теорий поля. Предполагается также, что ультрафиолетовые расходимости устранены путем введе-
ния комплексной размерности пространства-времени. Заметим, что эта регуляризация сохраняет
как трансляционную, так и Лоренцеву инвариантности.

Обозначим через P

µ

оператор d-импульса теории, так что P

0

= H — гамильтониан теории,

а P

i

, i = 1, . . . , (d − 1) — компоненты импульса (см. Приложение C). В свободной скалярной

теории оператор P

µ

представляется согласно (32 Л2) и (42 Л2). Согласно самому определению

d-импульса для любого локального поля φ(x) имеем:

φ(x) = e

i Px

φ(0) e

−i Px

.

(2)

По определению основного состояния

P

µ

| 0 i = 0 .

(3)

Согласно алгебре Пуанкаре (см. Ю. Швингер, "Частицы, источники, поля", Т.1) все компоненты d-
импульса взаимно коммутируют. Поэтому можно считать, что каждое состояние имеет определённое
значение d-импульса. Обозначим через | λ

k

i какое либо из таких состояний, так что

H | λ

k

i = E

k

(λ) | λ

k

i ,

P

| λ

k

i = k | λ

k

i .

(4)

Вследствие Лоренц-инвариантности

E

k

(λ) =

q

m

2

λ

+ k

2

> 0 ,

(5)

где m

λ

— энергия состояния в той системе отсчёта, в которой суммарный пространственный им-

пульс равен нулю. Неравенство в (5) означает, что энергия вакуума является наименьшей энергией
в теории, которая согласно (3) равна нулю. Мы часто будем выделять из совокупности состояний
{| λ

k

i} одночастичные состояния {| k i}. Тогда | λ

k

i обозначает многочастичное состояние. Состо-

яние | k i имеет импульс k и энергию ω

k

=

√

m

2

+ k

2

. Подчеркнём, что в случае одночастичного

состояния импульс k полностью определяет энергию состояния, в то время как энергия неодно-
частичного состояния | λ

k

i не определяется параметром k. Предположим, что все возбуждённые

состояния принадлежат линейной оболочке одно-, двух- и т.д. частичных состояний, то есть состоя-
ния с определённым числом частиц образуют базис пространства состояний. Если в теории имеется
всего один сорт частиц с массой m, то для n-частичного состояния

m

2

λ

≥ (n m)

2

,

(6)

причём m

2

λ

— непрерывный параметр. Мы предполагаем также, что состояния | λ

k

i нормированы

лоренц-инвариантным образом (см. (43 Л2), (45 Л2)), так что разложение единичного оператора
имеет вид

1

= | 0 i h 0 | +

X

λ

Z

d

(d−1)

k

(2π)

d−1

1

2 E

k

(λ)

| λ

k

i h λ

k

| ,

(7)

45

I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

где суммирование идёт по всем многочастичным состояниям с нулевым суммарным импульсом
| λ

0

i. Справедливость формулы (7) очевидна, если заметить, что в одночастичном секторе, согласно

(38 Л2), (39 Л2)

1

=

Z

d

(d−1)

k

(2π)

d−1

1

2 ω

k

| k i h k | .

(8)

Будем считать, что x

0

> y

0

и вставим разложение единицы (7) между полями в среднее

h 0 | φ(x)φ(y) | 0 i. Пренебрежём постоянной величиной h 0 | φ(x)| 0 i h 0 | φ(y) | 0 i, которая в большин-

стве случаев равна нулю. Таким образом получаем:

h 0 | φ(x)φ(y) | 0 i =

X

λ

Z

d

(d−1)

k

(2π)

d−1

1

2 E

k

(λ)

h 0 | φ(x) | λ

k

i h λ

k

| φ(y) | 0 i ,

(9)

Преобразуем матричные элементы в (9) при помощи формул (2)-(4):

h 0 | φ(x)| λ

k

i = h 0 | e

iPx

φ(0)e

−iPx

| λ

k

i = h 0 | φ(0)| λ

k

i e

−ikx






k

0

=E

k

(λ)

=

= h 0 | φ(0)| λ

0

i e

−ikx






k

0

=E

k

(λ)

.

(10)

Последнее равенство является следствием следующих соотношений:

| λ

k

i = U | λ

0

i ,

U

−1

φ(0) U = φ(0) ,

h 0 | U

−1

= h 0 | ,

где унитарный оператор U генерирует соответствующее преобразование Лоренца. Такие операторы
называются бустами. Подставим (10) в (9):

h 0 | φ(x)φ(y) | 0 i =

X

λ

Z

d

(d−1)

k

(2π)

d−1

1

2 E

k

(λ)

e

−ik(x−y)

|h 0 | φ(0) | λ

0

i|

2






k

0

=E

k

(λ)

.

Так как x

0

> y

0

, то можно воспользоваться формулой (23 Л1). Таким образом получаем:

h 0 | φ(x)φ(y) | 0 i =

X

λ

Z

d

(d)

k

(2π)

d

i e

−ik(x−y)

k

2

− m

2

λ

+ iε

|h 0 | φ(0) | λ

0

i|

2

.

В случае x

0

< y

0

имеет место аналогичная формула. Обе формулы объединяются в следующем

выражении:

h 0 | T φ(x)φ(y) | 0 i =

∞

Z

0

d M

2

2π

ρ(M

2

)[−iD

c

(x − y; M

2

)] ,

D

c

(x; M

2

) =

Z

d

(d)

k

(2π)

d

e

−ikx

−k

2

+ M

2

− iε

,

(11)

где ρ(M

2

) — положительная спектральная плотность

ρ(M

2

) =

X

λ

(2π) δ(M

2

− m

2

λ

) |h 0 | φ(0) | λ

0

i|

2

.

(12)

График спектральной плотности ρ(M

2

) для типичной теории поля показан на рис. 8.

ρ

(M

2

)

одночас-

тичные

состояния

связанные
состояния

двухчастичные
состояния

m

2

(2m)

2

(M )

2

Рис. 8.