Лекции по квантовой электродинамике - часть 11

Лекция 5. Общая схема перенормировок

46

Одночастичные состояния вносят в спектральную плотность вклад в виде изолированных δ-

функций:

ρ(M

2

) = 2 π Z δ (M

2

− m

2

) + (ничего другого вплоть до M

2

&

(2 m)

2

) ,

(13)

где

Z = |h 0 |φ (0) | k = 0 i|

2

.

(14)

Константа Z называется константой перенормировки поля φ. Величина m есть физически
наблюдаемая масса элементарных возбуждений поля φ, а m

0

в (53 Л2) является затравочной или

"голой"массой, причём m 6= m

0

. Непосредственно наблюдаемой является физическая масса m, а

не затравочная масса.

С помощью (11) и (13) находим во взаимодействующей теории фурье-образ хронологического

парного среднего, являющегося аналогом величины (1) в свободной теории:

Z

d x e

ikx

h 0 | T φ(x)φ(0) | 0 i =

∞

Z

0

d M

2

2π

ρ (M

2

)

i

k

2

− M

2

+ i ε

=

=

i Z

k

2

− m

2

+ i ε

+

∞

Z

∼4m

2

d M

2

2π

ρ (M

2

)

i

k

2

− M

2

+ i ε

.

(15)

Аналитическая структура этой функции в комплексной k

2

-плоскости показана на рис. 9.

изолированный

полюс

полюса

связанных

состояний

разрез

m

2

K

2

(2m)

2

Рис. 9.

Первое слагаемое в (15) соответствует изолированному полюсу при k

2

= m

2

, а второе — разрезу,

начинающемуся в точке 4 m

2

. Если существуют двухчастичные связанные состояния, то в (15)

возникают дополнительные полюса.

Сравнивая (1) и (15) мы видим, что взаимодействующее поле, в отличие от свободного, рождает

из вакуума не только одночастичное, но и многочастичные состояния. Кроме того, в первом по-
люсном слагаемом содержится константа перенормировки поля (14), то есть вероятность того, что
φ (0) родит данное одночастичное состояние из вакуума.

Проводя вычисления, аналогичные приведенным выше, легко получаем также:

h 0 | [φ(x), φ(y)] | 0 i =

∞

Z

0

d M

2

2π

ρ(M

2

)

Z

d

(d−1)

k

(2 π)

d−1

e

−i k (x−y)

− e

i k (x−y)

2 k

0






k

0

=

√

M

2

+k

2

=

=

∞

Z

0

d M

2

2π

ρ(M

2

)

 1

i

D (x − y; M)



.

(16)

Здесь x

0

6= y

0

и введена перестановочная функция Паули–Йордана

D (x; M ) ≡ i

Z

d

(d−1)

k

(2 π)

d−1

e

−i k x

− e

i k x

2 k

0






k

0

=

√

M

2

+k

2

= i

Z

d

(d)

k

(2 π)

d−1

θ (k

0

) δ (k

2

− M

2

) e

−i k x

− e

i k x

 ,

47

I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

которая Лоренц-инвариантна, равна нулю вне светового конуса

1

и удовлетворяет однородному урав-

нению Клейна–Гордона

(∂

µ

∂

µ

+ M

2

) D (x; M ) = 0 ,

а также соотношению

∂

∂x

0

D (x; M )




x

0

=0

= δ

(3)

(x) .

Поэтому из (16) находим, что

h 0 | [φ(x), ˙φ(y)] | 0 i




x

0

=y

0

=

∞

Z

0

d M

2

2π

ρ(M

2

) [i δ

(3)

(x − y)] .

С другой стороны, левая часть этого равенства по определению равна [i δ

(3)

(x − y)], и потому

∞

Z

0

d M

2

2π

ρ(M

2

) = 1 −→ 0 < Z < 1 .

(17)

Последние неравенства получаются при учёте представления (13).

2. Перенормировки

Теперь опишем индуктивную процедуру, при помощи которой из расходящихся диаграмм вы-

деляются различные физические величины, остающиеся конечными в пределе Λ → ∞. Будем

пользоваться размерностной регуляризацией, которая выделяет лишь логарифмические расходи-
мости. Кроме того, вакуумные пузырьки, как ненаблюдаемые поправки, мы не рассматриваем.
Таким образом, расходящимися являются лишь два типа диаграмм:

p

p

∼ [αm

2

0

+ β (p

2

− m

2

)] ln Λ + конечные слагаемые

∼ (γ) ln Λ + конечные слагаемые

Здесь α, β, γ — безразмерные ряды по λ. Мы не предполагаем, что импульсы внешних концов

диаграмм лежат на массовой поверхности. Очевидно, степень расходимости диаграмм не зависит
от значений внешних импульсов.

Рассмотрим сначала n-точечную корреляционную функцию

G (x

1

, . . . , x

n

) = h 0 | T φ (x

1

) . . . φ (x

n

) | 0 i .

(19)

Любая диаграмма, дающая вклад в коррелятор (19), содержит расходящиеся поддиаграммы ука-
занных двух типов. Для устранения расходимостей действуют последовательно. этот процесс на-
чинается с однопетлевых диаграмм. Так, согласно (8 Л4) в Σ

(1)

имеется расходящаяся часть. Она

устраняется путём введения в затравочную массу соответствующей добавки:

m

2

0

= m

2

+ δ

m

,

δ

m

+ Σ

(1)

= 0 .

(20)

Здесь m

2

0

— квадрат затравочной массы в однопетлевом приближении. Легче всего это установить

следующим образом.

1

Действительно, если x

µ

x

µ

<

0, то существует система отсчета, в которой x

µ

= (0, x

i

). В этой системе отсче-

та обращение в нуль функции Паули–Йордана очевидно. Этот результат имеет большое значение, так как отсюда
вытекает причинность релятивистской квантовой теории поля (см. конец Лекции 3).

Лекция 5. Общая схема перенормировок

48

Назовём диаграмму сильно связной, если её нельзя разделить на две отдельные диаграммы

путём разрезания всего лишь одной внутренней линии. Обозначим через

C C

C C

k

k = −i P(k

2

)

(21)

сумму всех сильно связных вставок в двухточечную корреляционную функцию (13) или сумму всех
сильно связных диаграмм с двумя внешними линиями и ампутированными ногами. Тогда полная
функция (13) определяется геометрической прогрессией

k

C C

C C

=

+

+

+

C C

C C

+

. . .

=

=

i

k

2

− m

2

0

− Σ (k

2

)

.

(22)

В первом порядке по λ величина Σ задаётся согласно (6 Л4). Поэтому с учётом (20) в этом
приближении

=

i

k

2

− m

2

+ i ε

,

(23)

и полюс корреляционной функции (13) находится при k

2

= m

2

, то есть там, где и должен быть.

Устранение логарифмической расходимости в однопетлевом приближении из четырёхточечного

коррелятора было проведено в предыдущей лекции (см. (24 Л4)).

Предположим, что во всех s-петлевых диаграммах при описанном способе действий устранены

ультрафиолетовые расходимости. Покажем, что действуя так же, можно устранить расходимости в
(s+1)-петлевых диаграммах. Действительно, по предположению в любой (s+1)-петлевой диаграмме
все s-петлевые поддиаграммы уже конечны. Поэтому (s+1)-петлевые диаграммы с двумя и четырь-
мя внешними линиями расходятся лишь в той области интегрирования, где все (s + 1) промежу-
точных импульсов стремятся к бесконечности. Эти новые расходимости можно устранить и сделать
диаграммы конечными путём соответствующего подбора величин δ

(s+1)

m

(λ), λ

(s+1)
0

(λ) и констан-

ты перенормировки поля Z

(s+1)

(λ), являющихся полиномами относительно физической константы

связи λ. Очевидно, что δ

(s+1)

m

(λ) (λ

(s+1)
0

(λ), Z

(s+1)

(λ)) отличается от δ

(s)

m

(λ) (λ

(s)
0

(λ), Z

(s)

(λ))

лишь более высокими степенями константы λ, чем степень полинома δ

(s)

m

(λ) (λ

(s)
0

(λ), Z

(s)

(λ)). Дей-

ствительно, диаграммы с четырьмя внешними концами расходятся лишь логарифмически и притом
(s + 1)-петлевые расходимости набегают в области, где все импульсы интегрирования стремятся к
бесконечности. Поэтому расходящиеся части таких диаграмм являются числами, не зависящими
от внешних импульсов и их можно поглотить за счёт подбора λ

(s+1)
0

(λ). Аналогично (см. первую

диаграмму в (18)), для устранения (s + 1)-петлевых расходимостей диаграмм с двумя внешними
концами достаточно подобрать соответствующим образом константы m

2

0

(λ) и Z(λ) в нужном по-

рядке по физической константе связи, причём второе слагаемое в первой диаграмме в (18) вносит
вклад в константу перенормировки поля. Оказывается, что n-точечный коррелятор полей (19) равен
Z

n/2

× (конечная часть) (см. ниже). Таким образом устраняются расходимости во всех (s + 1)-

петлевых диаграммах.

Замечание. Если бы оказалось, что в теории φ

4

имеются расходящиеся диаграммы, напри-

мер, с шестью внешними линиями, то такие расходимости было бы невозможно устранить путём
переопределения массы и константы связи. Для устранения таких расходимостей потребовалось
бы введение в теорию членов нового типа, пропорциональных φ

6

. Это означало бы, что теория

неперенормируема.

Можно показать, что имеет место соотношение

n

Y

i=1

Z

d

4

x

i

e

i p

i

x

i

m

Y

j=1

Z

d

4

y

j

e

−i k

j

y

j

h 0 |φ (x

1

) . . . φ (x

n

) φ (y

1

) . . . φ (y

m

) |0 i ∼

49

I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

∼

 

n

Y

i=1

i

√

Z

p

2

i

− m

2

+ i ε

!





m

Y

j=1

i

√

Z

k

2

j

− m

2

+ i ε





h p

1

. . . p

n

| S |k

1

. . . k

m

i

(24)

Здесь в обоих частях равенства k

0

j

, p

0

i

→ ω

k

, ω

p

(ω

k

=

√

m

2

+ k

2

), Z — константа перенормировки

поля. Знак ∼ в (24) означает, что обе части равенства ведут себя одинаково вблизи полюсов.

Формула (24) называется редукционной формулой Лемана–Симанчика–Циммермана.

Описанную процедуру перенормировки можно технически упростить и работать непосредствен-

но с перенормированными физическими величинами. Начнём рассуждение с записи затравочного
лагранжиана:

L =

1
2

(∂

µ

φ)

2

−

1
2

m

2

0

φ

2

−

λ

0

4!

φ

4

.

(25)

Устраним множитель Z в значении вычета в полюсе хронологического парного среднего поля φ
(см. (17)). Для этого введём перенормированное поле φ

r

согласно равенству

φ =

√

Z φ

r

.

(26)

Корреляторы, построенные из полей φ

r

, содержат столько дополнительных (по сравнению с анало-

гичными корреляторами полей φ) множителей Z

−1/2

, сколько полей стоит под знаком коррелятора.

Теперь лагранжиан (25) принимает вид

L =

1
2

Z (∂

µ

φ

r

)

2

−

1
2

m

2

0

Z φ

2

r

−

λ

0

4!

Z

2

φ

4

r

.

(27)

Определим константы

δ

Z

= Z − 1 ,

δ

m

= m

2

0

Z − m

2

,

δ

λ

= λ

0

Z

2

− λ ,

(28)

где m и λ — физические константы. При помощи введенных констант лагранжиан переписывается
следующим образом:

L =

 1

2

(∂

µ

φ

r

)

2

−

1
2

m

2

φ

2

r

−

λ

4!

φ

4

r



+

 1

2

δ

Z

(∂

µ

φ

r

)

2

−

1
2

δ

m

φ

2

r

−

δ

λ

4!

φ

4

r



.

(29)

Первая квадратная скобка в правой части (29) теперь выглядит как стандартный лагранжиан в
теории φ

4

, но записанный через перенормированные величины и поля. Слагаемые во второй квад-

ратной скобке называются контрчленами, они поглощают расходимости в ТВ. Всё что было сделано
— это проведено разбиение затравочного действия (25) так, чтобы было удобно проводить дальней-
шие вычисления. Мы имеем следующие условия перенормировки

r

≡

Z

d x e

ikx

h0|T φ

r

(x) φ

r

(0)|0i =

i

k

2

− m

2

− Σ(k

2

)

=

=

i

k

2

− m

2

+ i ε

+ (слагаемые, регулярные при k

2

= m

2

) .

Последнее равенство означает, что

Σ (k

2

)




k

2

=m

2

= 0 ,

d

d k

2

Σ (k

2

)






k

2

=m

2

= 0 .

(30 a)

Индекс r на диаграммах указывает на то, что эти величины — перенормированные. Однако этот
факт далее как правило не отмечается, что не ведёт к недоразумениям. Условия (30 a) означают,
что на каждом следующем шаге индуктивной вычислительной процедуры следует сделать замену
(провести вычитание)

Σ (k

2

) −→ Σ (k

2

) − Σ (m

2

) − (k

2

− m

2

)



d

d k

2

Σ (k

2

)




k

2

=m

2



.

Имеет место также условие, фиксирующее константу связи: