Лекции по квантовой электродинамике - часть 12

Лекция 5. Общая схема перенормировок

50

k

1

k

2

k

3

k

4

r







ампутированная

= −i λ




при

s=4 m

2

, t=u=0

.

(30 b)

Описываемая процедура перенормировки называется перенормировкой на ходу.

Продемонстрируем эту процедуру перенормировки при вычислении i M

(2)

. Согласно (20 Л4),

(31 Л4) и (34 Л4) без учёта контрчленов в (29)

i ˜

M

(2)

(s, t, u) = const −i

λ

2

32 π

2

1

Z

0

d x

ln

m

2

− x(1 − x) s − i ε

µ

2

+ ln

m

2

− x(1 − x) t − i ε

µ

2

+

+ ln

m

2

− x(1 − x) u − i ε

µ

2



.

(31)

Здесь const — расходящаяся константа, не зависящая от переменных Мандельстама. Для выпол-
нения условия нормировки (30 b) следует провести одно вычитание:

i M

(2)

(s, t, u) = i [ ˜

M

(2)

(s, t, u) − ˜

M

(2)

(4 m

2

, 0, 0)] =

= −i

λ

2

32 π

2

1

Z

0

d x

ln

m

2

− x(1 − x) s − i ε

m

2

[1 − 4 x (1 − x) − i ε]

+ ln

m

2

− x(1 − x) t − i ε

m

2

+ ln

m

2

− x(1 − x) u − i ε

m

2



.

(32)

3. Условие унитарности

Согласно (2 Л3), S-матрица представляется как S = 1 + i T . Из условия унитарности S

†

S = 1

следуют важные соотношения для амплитуд. Имеем:

(T − T

†

) = i T

†

T .

(33)

Пусть бра-вектор h f | — конечное, а кет-вектор | i i — начальное состояние. Поместим равенство

(33) в обкладки h f | . . . | i i и между операторами T

†

и T в правой части (33) вставим единичный

оператор в форме (7). Кроме того, перейдём к амплитуде M

f i

согласно (4 Л3). Таким образом

получим:

M

f i

− M

∗

i f

= (2 π)

4

i

X

λ

Z

d

(3)

k

(2 π)

3

2 E

k

(λ)

δ

(4)

(P

f

− k) M

∗

λ

k

f

M

λ

k

i

.

(34)

Множитель δ

(4)

(P

f

− P

i

) в обеих частях равенства (34) сокращается.

Равенство (34) полезно переписать также в виде

M

f i

− M

∗

i f

= (2 π)

4

i

X

n

X

s

1

D

n

Y

α=1

 

Z

d

(3)

k

α

(2 π)

3

2 ω

(α)

k

α

!

δ

(4)

 

P

f

−

n

X

α=1

k

α

!

M

∗

λ

k

f

M

λ

k

i

,

(34

′

)

где n — число частиц в состоянии | λ

k

i, k

α

— 4-импульс, ω

(α)

k

α

= k

0

α

— частота частицы с номером α,

P

s

— сумма по спинам промежуточных частиц и D — множитель, учитывающий тождественность

частиц. Например, если промежуточное состояние содержит всего две тождественные частицы, то
D = 2.

Рассмотрим важный частный случай, когда промежуточное состояние является одночастичным

с массой M. Тогда суммирование P

λ

в (34) ограничивается суммой по спинам промежуточной

частицы P

s

, E

k

(λ) =

√

k

2

+ M

2

и

d

3

k

2 E

k

(λ)

= θ (k

0

) δ (k

µ

k

µ

− M

2

) d

4

k .

(35)

51

I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

Подставляя (35) в (34) и интегрируя по d

4

k, находим:

M

f i

− M

∗

if

= 2πi δ(p

2

− M

2

)

X

s

M

∗

(ps)f

M

(ps)i

,

(36)

где | ps i — состояние частицы с массой M, спином s и импульсом p = P

i

= P

f

.

Предположим, что теория T - и P -инвариантна. Тогда M

if

= M

f

′

i

′

, где штрихованные состоя-

ния могут отличаться от соответствующих нештрихованных не более чем ориентацией спина. Если
начальное и конечное состояния усреднены по спину, то M

if

= M

f i

, и равенство (36) означает:

Im M

f i

= π δ(p

2

− M

2

)

X

s

M

∗

(ps)f

M

(ps)i

.

(37)

Отсюда следует, что при p

2

→ M

2

M

f i

→ −

P

s

M

∗

(ps)f

M

(ps)i

p

2

− M

2

+ iε

.

(38)

В этом случае говорят, что при переходе из состояния | i i в состояние | f i процесс идёт через

промежуточную виртуальную частицу с массой M.

Задачи

1. Вычислить в безмассовой теории φ

4

при d → 4 оператор собственной энергии −i Σ(k

2

) (21) в

двухпетлевом приближении.

Указание. В безмассовом случае (m

2

= 0) вместо условий нормировки (30) при k

2

= 0, которые

оказываются бессмысленными, используют следующие нормировочные условия:

Σ (k

2

)






k

2

=0

= 0 (отсутствие массы) ,

d

d k

2

Σ (k

2

)






k

2

=−M

2

= 0 .

Применить параметризацию Фейнмана.

2. Вычислить при помощи условия унитарности мнимую часть амплитуды рассеяния 2 → 2 при
s > 4 m

2

в однопетлевом приближении.

Лекция 6. Ренормализационная группа

52

Лекция 6

РЕНОРМАЛИЗАЦИОННАЯ ГРУППА

1. Вильсоновский подход к теории перенормировок

Вильсоновский метод основан на описании теории поля с помощью функционального интегра-

ла, в котором степени свободы квантового поля являются переменными интегрирования. При этом
подходе происходит разделение переменных интегрирования на длинноволновые и коротковолно-
вые. Предполагается, что длинноволновые флуктуации описывают реальные физические процессы,
а учёт коротковолновых флуктуаций (то есть интегрирование по коротковолновым степеням сво-
боды) даёт эффективное действие для описания длинноволновой физики.

Такая идеология возникла из понятия перенормируемости в квантовой теории поля. Мы видели,

что суть перенормируемой квантовой теории в том, что в ней на процессы с энергией ∼ M степени

свободы с энергией ∼ Λ ≫ M влияют лишь косвенно: через перенормировку констант теории. В

канонической квантовой теории поля импульс обрезания Λ является конечным лишь в промежу-
точных вычислениях и в конце вычислений он устремляется к бесконечности. Вильсоновский анализ
основан на противоположной точке зрения, согласно которой любая квантовая теория на фунда-
ментальном уровне определена с обрезанием Λ, которое имеет некоторое физическое значение. В
приложениях к статистической механике этот масштаб импульсов равен обратному межатомному
расстоянию. В КЭД и других фундаментальных квантовых теориях поля обрезание может быть
связано с фундаментальной зернистостью пространства-времени, природа которой, по-видимому,
может быть изучена лишь вместе с построением квантовой теории гравитации. Во всяком случае
этот элементарный масштаб очень далёк от масштабов, экспериментально достижимых в настоящее
время.

Продемонстрируем вильсоновский подход на примере теории φ

4

в евклидовом d-мерном про-

странстве, поскольку в пространстве Минковского ограниченное значение квадрата d-импульса не
означает ограниченности его компонент, если d-импульс изотропен, что внесло бы дополнительные
усложнения.

Разложим вещественное скалярное поле в интеграл Фурье:

φ (x) =

Z

d

(d)

k

(2 π)

d

φ (k) e

i k x

.

(1)

Равенство

Z

d

(d)

x φ

1

(x) φ

2

(x) =

Z

d

(d)

k

(2 π)

d

φ

∗

1

(k) φ

2

(k)

(2)

показывает, что преобразование Фурье является унитарным в пространстве полей с метрикой (2).
Поэтому функциональные меры Q

x

d φ (x) и Q

k

d φ (k) можно считать равными. Это даёт

возможность определения регуляризованной функциональной меры:

[D φ]

Λ

=

Y

|k|<Λ

d φ (k) .

(3)

Регуляризованная статистическая сумма скалярного поля (сравни с (34 Л1)) представляется инте-
гралом

Z =

Z

[D φ]

Λ

exp

−

Z

d

(d)

x

 1

2

(∂

µ

φ)

2

+

m

2

2

φ

2

+

λ

4!

φ

4



.

(4)

Здесь мы положили внешний источник равным нулю. В (4) m и λ являются голыми параметрами
или параметрами на масштабе Λ.

Разделим в (4) переменные интегрирования на две группы. Пусть 0 < b < 1 и

ˆ

φ (k) =

φ (k), для b Λ ≤ |k| < Λ

0, для |k| < b Λ,

53

I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

φ (k) =

0, для b Λ ≤ |k| < Λ

φ (k), для |k| < b Λ .

(5)

Тогда в (4) следует заменить φ (k) на (φ (k) + ˆ

φ (k)):

Z =

Z

[D φ]

b Λ

Z

D ˆ

φ exp

−

Z

d

(d)

x

 1

2

(∂

µ

φ + ∂

µ

ˆ

φ)

2

+

m

2

2

(φ + ˆ

φ)

2

+

λ

4!

(φ + ˆ

φ)

4



=

=

Z

[D φ]

b Λ

e

−

R

L(φ)

Z

D ˆ

φ exp

−

Z

d

(d)

x

 1

2

(∂

µ

ˆ

φ)

2

+

m

2

2

( ˆ

φ)

2

+

+λ

 1

6

φ

3

ˆ

φ +

1
4

φ

2

ˆ

φ

2

+

1
6

φ ˆ

φ

3

+

1

4!

ˆ

φ

4



.

(6)

В (6) лагранжиан L(φ) зависит лишь от поля φ и он имеет тот же вид, что и в (4). Квадратичные
слагаемые вида φ ˆ

φ исчезают в (6) вследствие равенства (2) и определения полей φ и ˆ

φ согласно

(5).

Проинтегрируем (6) по полю ˆ

φ:

Z =

Z

[D φ]

b Λ

exp

−

Z

d

(d)

x L

ef f

(φ)



.

(7)

Здесь L

ef f

(φ) содержит только те фурье-компоненты φ (k), для которых |k| < b Λ. Если вычислять

интеграл по ˆ

φ при помощи ТВ, разлагая по константе λ, то окажется, что L

ef f

(φ) отличается

от L (φ) на поправки, пропорциональные степеням λ и φ и их производным. Эти поправочные
члены компенсируют отсутствующие фурье-компоненты ˆ

φ.

Поправки в L

ef f

могут быть представлены в диаграммной форме. Все слагаемые в (6), про-

порциональные степеням λ, рассматриваются как возмущение. Поскольку предполагается, что
m

2

≪ Λ

2

, то слагаемое (1/2)m

2

ˆ

φ

2

также считается возмущением. Тогда слагаемое старшего по-

рядка в последней экспоненте в (6) имеет вид

Z

ˆ

L

0

=

1
2

Z

b Λ<|k|<Λ

d

(d)

k

(2π)

d

ˆ

φ

∗

(k) k

2

ˆ

φ(k) .

(8)

Это слагаемое приводит к пропагатору

h ˆ

φ (k) ˆ

φ (p) i =

R D ˆ

φ e

−

R

ˆ

L

0

ˆ

φ (k) ˆ

φ (p)

R D ˆ

φ e

−

R

ˆ

L

0

=

1

k

2

(2 π)

d

δ

(d)

(k + p) θ (k) ,

θ (k) =

1, если b Λ < |k| < Λ
0, если |k| < b Λ .

(9)

Оставшиеся в (6) ˆ

φ-слагаемые рассматриваются как возмущения и их учёт осуществляется путём

разложения и использования теоремы Вика (см. конец лекции 1). При этом правильная нормировка
достигается, когда интеграл по полю ˆ

φ в (6) заменяется на

1 + поправки .

(10)

Разложим сначала (6) относительно φ

2

ˆ

φ

2

и учтём, что

h ˆ

φ(x) ˆ

φ(y)i =

Z

b Λ<|k|<Λ

d

(d)

k

(2π)

d

e

i k (x−y)

k

2

.

(11)

При помощи (11) легко находим эту поправку:

−

λ

4

Z

d

(d)

x φ

2

h ˆ

φ

2

i = −

1
2

δ m

2

Z

d

(d)

x φ

2

,

(12)

δ m

2

=

λ

2

Z

b Λ<|k|<Λ

d

(d)

k

(2π)

d

1

k

2

=

λ Λ

d−2

(4 π)

d/2

Γ (d/2)

1 − b

d−2

d − 2

.

(13)

Представим пропагатор (9) двойной линией. Поля φ представим как одинарные внешние линии.