Лекции по квантовой электродинамике - часть 13

Лекция 6. Ренормализационная группа

54

Тогда вклад (12) изображается следующей диаграммой:

Рис.10

Второй порядок относительно φ

2

ˆ

φ

2

даёт вклад, соответствующий двум диаграммам:

+

2

Рис.11

Первое слагаемое на рис. 11 равно (1/2) (величина (12))

2

, причём множитель (1/2) — комбина-

торного происхождения. Если учесть все степени величины (12), возникающие во всех порядках, то
окажется, что все эти слагаемые соберутся в экспоненту. Аналогичное утверждение справедливо в
отношении любой связной диаграммы. Поэтому имеем следующий результат:

L

ef f

=

1
2

(∂

µ

φ)

2

+

m

2

2

φ

2

+

λ

4!

φ

4

+ (сумма связных диаграмм) .

(14)

Вычислим вторую диаграмму на рис. 11. При помощи теоремы Вика находим:

λ

2

16

Z

d

(d)

x

1

d

(d)

x

2

φ

2

(x

1

)






Z

bΛ<|k|<Λ

d

(d)

k

(2 π)

d

e

i k (x

1

−x

2

)

k

2






2

φ

2

(x

2

) .

(15)

Введём новые переменные

x

1

= x +

y
2

,

x

2

= x −

y
2

,

(16)

в которых (15) принимает вид

λ

2

16

Z

d

(d)

x d

(d)

y φ

2



x +

y
2








Z

bΛ<|k|<Λ

d

(d)

k

(2 π)

d

e

i k y

k

2






2

φ

2



x −

y
2



.

(17)

Рассмотрим предельный случай, когда импульсы, переносимые полем φ, исчезающе малы по срав-
нению с (b Λ). Тогда (17) переходит в

−

∆λ

4!

Z

d

(d)

x φ

4

,

(18)

∆λ = −4!

λ

2

16

Z

bΛ<|k|<Λ

d

(d)

k

(2 π)

d

1

(k

2

)

2

= −

3 λ

2

Λ

d−4

(1 − b

d−4

)

(4 π)

d/2

Γ (d/2) (d − 4)

−−→

d→4

−

3 λ

2

16 π

2

ln

1

b

.

(19)

Описанная диаграммная теория возмущений генерирует не только вклады в L

ef f

, пропорци-

ональные φ

2

и φ

4

, но и вклады высших степеней φ, а также вклады от производных поля φ.

Например, в (17) содержится слагаемое, пропорциональное

Z

d

(d)

x φ

2

(∂

µ

φ)

2

.

(20)

55

I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

Вклад, пропорциональный (

λ

Λ

)

2

R

d

(d)

x φ

6

, получается из диаграммы

Вообще говоря, вильсоновская процедура генерирует все возможные взаимодействия поля φ и их
производных.

При помощи формулы (6) легко увидеть, что поправки с точностью O (λ) дают при d = 4:

L

ef f

=

1
2

(∂

µ

φ)

2

+

( ˜

m)

2

2

φ

2

+

˜

λ

4!

φ

4

,

˜

m

2

= m

2

+

λ (1 − b

2

) Λ

2

32 π

2

,

˜

λ = λ −

3 λ

2

16 π

2

ln

1

b

.

(21)

(Последнее равенство в (21) сравни с (24 Л4).)

Для более детального сравнения нового интеграла (7) с исходным интегралом (4) изменим в (7)

масштаб расстояний и импульсов по следующему правилу:

x

′

= b x ,

k

′

=

k

b

,

|k

′

| < Λ .

(22)

Теперь импульсы в (7) изменяются в тех же пределах, что и в (4). Имеем (сравни с (29 Л5)):

Z

d

(d)

x L

ef f

=

=

Z

d

(d)

x

 1

2

(1 + ∆ Z)(∂

µ

φ)

2

+

1
2

(m

2

+ ∆m

2

) φ

2

+

1

4!

(λ + ∆λ) φ

4

+ ∆B (∂

µ

φ)

4

+ ∆C φ

6

+ . . .



=

=

Z

d

(d)

x

′

b

−d

 1

2

(1 + ∆ Z) b

2

(∂

′

µ

φ)

2

+

1
2

(m

2

+ ∆m

2

) φ

2

+

1

4!

(λ + ∆λ) φ

4

+

+∆B b

4

(∂

′

µ

φ)

4

+ ∆C φ

6

+ . . .

 .

(23)

Чтобы в новом функциональном интеграле пропагатор сохранил прежний вид (9), изменим масштаб
поля φ по правилу

φ

′

=

b

2−d

(1 + ∆Z)



1/2

φ ,

(24)

после чего эффективное действие приобретает первоначальную форму

Z

d

(d)

x L

ef f

=

Z

d

(d)

x

′

 1

2

(∂

′

µ

φ

′

)

2

+

1
2

m

′2

φ

′2

+

1

4!

λ

′

φ

′4

+ B

′

(∂

′

µ

φ

′

)

4

+ C

′

φ

′6

+ . . .



(25)

с новыми параметрами

m

′2

= (m

2

+ ∆m

2

)(1 + ∆Z)

−1

b

−2

,

λ

′

= (λ + ∆λ)(1 + ∆Z)

−2

b

d−4

,

B

′

= (B + ∆B)(1 + ∆Z)

−2

b

d

,

C

′

= (C + ∆C)(1 + ∆Z)

−3

b

2d−6

,

(26)

и т.д. Заметим, что в исходном лагранжиане B = C = 0, но если бы эти константы отличались от
нуля, то мы имели бы формулы (26).

Теперь повторим ещё и ещё раз описанную процедуру интегрирования по коротковолновым

флуктуациям с последующими масштабными преобразованиями (22)-(26). Получаемые таким об-
разом преобразования лагранжиана называются преобразованиями под действием ренормализаци-
онной группы (сокращённо — ренормгруппы). Это не есть группа в математическом смысле, по-
скольку при усреднении по коротковолновым флуктуациям теряется информация, эта процедура
необратима.

Рассмотрим сначала с этой точки зрения простейший пример свободной теории, когда в затра-

вочном лагранжиане m

2

= λ = B = C = . . . = 0 и все возмущения исчезают. Тогда на всех этапах

описанной рекурсионной процедуры Вильсона эффективный лагранжиан остаётся свободным. По-
этому говорят, что свободный лагранжиан

L

0

=

1
2

(∂

µ

φ)

2

(27)

Лекция 6. Ренормализационная группа

56

является фиксированной точкой преобразований ренормгруппы.

Если мы находимся в непосредственной близости фиксированной точки, то можно отбросить в

итерационных формулах ∆m

2

, ∆λ, и т.д. Тогда при помощи (26) получаем:

m

′2

= m

2

b

−2

,

λ

′

= λ b

d−4

,

B

′

= B b

d

,

C

′

= C b

2d−6

,

(28)

и т.д. Так как b < 1, то параметры, которые умножаются на отрицательные степени b, растут, и
наоборот. Если лагранжиан содержит растущие коэффициенты, они уводят его от точки L

0

.

Отдельные слагаемые в квадратной скобке в (25) называются локальными операторами. Опе-

раторы, коэффициенты которых растут (вымирают) при рекурсионной процедуре, называются су-
щественными (несущественными). Если коэффициент оператора умножается на b

0

(например,

оператор φ

4

при d = 4), мы называем его маргинальным. Для выяснения того, растёт ли или

уменьшается его коэффициент, требуется вычисление высших поправок.

Из (26) и (28) видно, что массовый оператор φ

2

является существенным, а два последних слага-

емых в (25) при d = 4 являются несущественными операторами. Этим и объясняется, что теория
φ

4

является перенормируемой при d = 4, так как фактически и при вильсоновской процедуре

перенормировок эта теория восстанавливает свой исходный вид. Это же утверждение справедливо
в отношении любой перенормируемой теории.

Так как в порядке O (λ) ∆Z = 0, то при помощи (26) и (21) находим, что с точностью O (λ

2

)

при d = 4

λ

′

= λ −

3 λ

2

16 π

2

ln

1

b

.

(29)

Отсюда видно, что коэффициент при маргинальном операторе φ

4

уменьшается, то есть константа

связи уменьшается по логарифмическому закону. Соотношение (29) является аналогом соотноше-
ния (24 Л4), разница лишь в том, что в (29) и (24 Л4) представлены взаимно обратные функции.
Из сказанного следует, что при d = 4 теория φ

4

в результате вильсоновской процедуры перенор-

мировок стремится к свободной теории. Эта картина справедлива, конечно, лишь до тех пор, пока
массовый оператор не становится преобладающим.

2. Уравнение Каллана–Симанчика

На языке Вильсона перенормируемая квантовая теория поля с произвольно большим обрезани-

ем отвечает эффективной теории, испытавшей большое число ренормгрупповых операций Вильсо-
на и которая проэволюционировала до большой величины массового параметра. Такая траектория
должна пройти произвольно близко от фиксированной точки. В результате этой эволюции несуще-
ственные операторы в первоначальном лагранжиане вымирают и остаются только существенные и
маргинальные операторы. Коэффициенты при оставшихся операторах находятся во взаимно одно-
значном соответствии с наблюдаемыми параметрами, а информация об эволюции несущественных
операторов утрачивается полностью в перенормируемой теории поля. Информацию же об эволю-
ции параметров при существенных и маргинальных операторах можно восстановить, изучая их
зависимость от нормировочного масштаба.

Для конкретности рассмотрим теорию φ

4

в четырёхмерном пространстве Минковского, изу-

ченную нами, и ограничимся случаем m

2

= 0. Поскольку физический размерностный оператор

отсутствует, то для проведения программы перенормировок необходимо ввести размерностный па-
раметр µ

2

> 0. Поскольку условия перенормировки (30 Л5) приводят к сингулярностям при m

2

→ 0

(см. (32 Л5)), то наложим эти же условия перенормировки, но при пространственноподобных зна-
чениях импульсов p

2

= −µ

2

:

Σ (k

2

)




k

2

=0

= 0 ,

d

d k

2

Σ (k

2

)






k

2

=−µ

2

= 0 ,

k

1

k

2

k

3

k

4










ампутированная
(k

1

+ k

2

)

2

= (k

1

+ k

3

)

2

= (k

1

+ k

4

)

2

= −µ

2

= −i λ

(30)

57

I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

Заметим, что в (30) импульсы k

a

не предполагаются находящимися на массовой поверхности

и потому условия (30) совместны. Таким образом, теория определена на масштабе µ

2

.

Обозначим через φ

0

(x) и φ (x) — затравочное и перенормированное поля, соответственно, и

пусть G

(n)
0

(x

1

, . . . , x

n

) — связная корреляционная функция (хронологическое среднее) неперенор-

мированных полей, определяемая согласно (19 Л5), а

G

(n)

(x

1

, . . . , x

n

) = h0|T φ (x

1

) . . . φ (x

n

)|0i

(31)

— связный коррелятор перенормированных полей (для удобства мы сменили обозначения, сделав
замены φ → φ

0

, φ

r

→ φ). Так как согласно (26 Л5) φ

0

=

√

Z φ, то

Z

n/2

G

(n)

(x

1

, . . . , x

n

; µ, λ(µ)) = G

(n)
0

(x

1

, . . . , x

n

) .

(32)

Обозначение G

(n)

(x

1

, . . . , x

n

; µ, λ(µ)) подчёркивает, что этот коррелятор зависит от точки нор-

мировки µ и перенормированной константы связи λ(µ).

Теперь изменим точку нормировки µ → µ

′

, константу связи λ и константу перенормировки Z,

но оставим неизменными импульс обрезания Λ, а также затравочные константы. Это означает, что
мы продвинулись вдоль траектории ренормгруппы. Ясно, что при этом "голые"(неперенормированные)
гриновские функции (32) остаются неизменными, поскольку они зависят лишь от затравочных па-
раметров и импульса обрезания Λ. Поэтому производная по параметру µ от обоих частей равенства
(32) равна нулю:



µ

∂

∂ µ

+ β (λ)

∂

∂ λ

+ n γ (λ)



G

(n)

({x

i

}; µ, λ) = 0 .

(33)

Здесь

β (λ) ≡ µ

∂ λ
∂ µ

,

γ (λ) ≡

1

2 Z

µ

∂

∂ µ

Z .

(34)

Функции β (λ) и γ (λ) — одни и те же для всех корреляторов в теории и они не могут зависеть от
импульса обрезания, поскольку перенормированные корреляторы не зависят от обрезания. Следо-
вательно, по размерным соображениям, они не могут зависеть и от µ. Поэтому функции (34) могут
зависеть лишь от перенормированной константы связи λ.

Уравнение (33) называется уравнением Каллана–Симанчика.
Вычислим функцию β в наинизшем неисчезающем приближении при d = 4. Так как Z =

1 + O (λ

2

), то с точностью O (λ

2

) перенормированный четырёхточечный коррелятор в импульсном

представлении (см. рис. 7 и (20 Л4)) равен

G

(4)

(k

1

, . . . , k

4

) =



−i λ −

i λ

2

32 π

2



ln

−s − iε

µ

2

+ ln

−t − iε

µ

2

+ ln

−u − iε

µ

2



4

Y

i=1

i

k

2

i

.

(35)

Так как γ = O(λ

2

), то в порядке O(λ

2

) функция γ выпадает из уравнения Каллана–Симанчика.

Поэтому, подставляя (35) в (33), получаем:

β (λ) =

3 λ

2

16 π

2

+ O(λ

3

) .

(36)

3. Эволюция бегущей константы связи

Сопоставим уравнения (34) и (34):

d λ

d ln µ

= β (λ) =

3 λ

2

16 π

2

.

(37)

Здесь первое равенство является точным по определению, а второе — приближённое. Проинтегри-
руем явно второе равенство в (37):

λ (µ) =

λ (m)

1 −

3 λ (m)

16 π

2

ln

µ

m

.

(38)