Лекции по квантовой электродинамике - часть 14

Лекция 6. Ренормализационная группа

58

Будем считать, что m — некий масштаб порядка физической массы. Тогда следует считать, что
µ ≫ m, так что на масштабах ∼ µ теория фактически безмассовая и уравнения (34)–(37) справед-

ливы. Тогда уравнение (38) показывает, что эффективная константа связи растёт при возрастании
импульса согласно формуле (38). При этом λ (m) — константа связи при импульсах, стремящихся
к нулю.

Мы видим, что квантовая теория поля приводит к новому понятию: бегущей константе связи.

При этом в теории φ

4

при d = 4 бегущая (эффективная) константа связи уменьшается, если нас

интересуют всё меньшие и меньшие энергии взаимодействия (вплоть до масштаба физической мас-
сы частиц). Мы увидим, что константа взаимодействия в электродинамике (электрический заряд)
также уменьшается при понижении энергии взаимодействия. Такие теории называются нульзаряд-
ными и в них β-функции положительны. Однако существуют такие теории (например, теория
Янга–Миллса и построенная на её основе теория сильного взаимодействия — квантовая хромоди-
намика), в которых эффективная константа связи растёт при уменьшении энергии взаимодейству-
ющих частиц. Такие теории называются асимптотически свободными, β-функции в этих теориях
отрицательны.

β-функция в уравнениях (33), (34) называется функцией Гелл-мана и Лоу.
Напоследок сделаем следующую оценку. Рассмотрим двухточечный коррелятор при высоких

энергиях, когда можно пренебречь массой. Согласно сказанному выше имеем:

G (k) ∼

Z (k

2

)

k

2

.

(39)

Но при помощи (34) находим, что

Z (k

2

) ∼

 k

2

m

2



γ

,

(40)

если γ (k

2

) изменяется медленно. Комбинируя (39) и (40), получаем:

G (k) ∼

1

(m

2

)

γ

(k

2

)

1−γ

,

(41)

откуда

G (x) ∼

Z

d

(d)

k e

i k x

G (k) ∼

1

|x|

d−2+2γ

.

(42)

Таким образом, функции γ ответственны за появление аномальных размерностей полей.

Задачи

1. Показать, что при d < 4 в теории φ

4

имеется фиксированная точка ренормгруппы с ненулевой

константой связи λ

0

и найти это значение константы связи в однопетлевом приближении.

Ответ:

λ

0

=

(4 − d) (4 π)

d/2

Γ(D/2)

3

(Λ b)

4−d

2. Используя уравнение Каллана–Симанчика, вычислить в безмассовой теории φ

4

при d = 4

функцию γ(λ) в наинизшем приближении.

3. Вычислить β-функцию в первом неисчезающем порядке в теории с лагранжианом (см. задачу
3 к лекции 3)

L =

1
2

n

X

i=1

∂

µ

φ

i

∂

µ

φ

i

−

λ

4

 

n

X

i=1

(φ

i

)

2

!

2

.

59

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Часть II

КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Лекция 7

КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

1. Континуальный интеграл для вырожденных систем

Рассмотрим многомерную динамическую систему, гамильтониан которой зависит от n пар

канонически сопряжённых переменных {p

α

, q

α

} и в которой имеется m < n связей первого

рода ϕ

i

(p, q), а связи второго рода отсутствуют. Связи первого рода — это такие связи между

динамическими переменными

ϕ

i

(p, q) = 0 ,

i = 1, . . . , m ,

(1)

что

[ϕ

i

, ϕ

j

] = c

k

ij

ϕ

k

,

[ϕ

i

, H] = b

j
i

ϕ

j

.

(2)

В этом пункте [. . . , . . .] обозначает классическую скобку Пуассона (СП), а H, как и везде —

гамильтониан. При вычислении всех СП связи игнорируются. В рассматриваемом случае полный
гамильтониан системы H

T

= H +

P

m
i=1

v

i

ϕ

i

зависит от m произвольных функций времени v

i

.

Действительно, уравнения Гамильтона для связей

d ϕ

i

d t

= [ϕ

i

, H

T

] = 0 (mod ϕ

j

)

показывают, что при любых значениях множителей Лагранжа {v

i

} равенства (1) совместны с

динамикой системы.

Рассмотрим динамическое изменение какой либо величины F (p, q) за бесконечно малый проме-

жуток времени δt в двух случаях, отличающихся значениями коэффициентов v

i

, и найдём разность

этих изменений. Так как динамическое изменение δF = [F, H

T

]δt, то искомая разность изменений

величины F в этих двух случаях

∆δF = [F, ϕ

i

]∆v

i

· δt .

Величины (F + δF ) и (F + δF + ∆δF ) являются физически эквивалентными, а сама разность ∆δF
называется калибровочным преобразованием величины F . Калибровочно инвариантной называется
такая величина, которая удовлетворяет условиям [F, ϕ

i

] = 0. В такого рода теориях эксперимен-

тально могут наблюдаться лишь калибровочно инвариантные величины.

Обозначим через Γ

2n

фазовое 2n-мерное пространство с координатами {p

α

, q

α

}.

На классическом уровне рассматриваемая обобщённая гамильтонова система эквивалентна обыч-

ной гамильтоновой системе с (n − m) степенями свободы. Фазовое пространство Γ

∗ 2(n−m)

по-

следней системы реализуем следующим образом. Рассмотрим m дополнительных условий

χ

j

(p, q) = 0 ,

(3)

фиксирующих калибровку, для которых выполняются требования

det k[ϕ

i

, χ

j

]k 6= 0 ,

[χ

i

, χ

j

] = 0 .

(4)

Фиксация калибровки означает определённый выбор набора функций {v

i

} (см. ниже (11)). Под-

пространство в Γ

2n

, определяемое равенствами

χ

i

(p, q) = 0 ,

ϕ

i

(p, q) = 0 ,

i = 1, . . . , m ,

(5)

является пространством Γ

∗ 2(n−m)

. Вследствие (4) можно выбрать в Γ

2n

канонические переменные

так, чтобы первые m координатных переменных q

1

, . . . , q

m

совпали с величинами χ

1

, . . . , χ

m

:

q = {χ

1

, . . . , χ

m

, q

∗

} .

(6)

Лекция 7. Квантование электромагнитного поля

60

Здесь q

∗

— остальные (n − m) координатных переменных. Записывая лагранжиан в переменных

(6), находим соответствующие канонически сопряжённые импульсные переменные. Обозначим их
через

p = {p

1

, . . . , p

m

, p

∗

} .

(7)

В новых переменных условия (4) принимают вид

det

∂ ϕ

i

∂p

j

6= 0 .

(8)

Отсюда следует, что уравнения связей (1) можно разрешить относительно p

i

с i = 1, . . . , m. Эти

решения обозначим p

i

(p

∗

, q

∗

). В результате подпространство Γ

∗ 2(n−m)

задаётся уравнениями

χ

i

≡ q

i

= 0 ,

p

i

= p

i

(p

∗

, q

∗

) ,

i = 1, . . . , m .

(9)

Переменные {p

∗

, q

∗

} являются каноническими, и гамильтонианом системы является функция

H

∗

(p

∗

, q

∗

) ≡ H(p, q)




ϕ=0, χ=0

.

(10)

Обозначим исходную систему с гамильтонианом H

T

и фазовым пространством Γ

2n

и новую

систему с гамильтонианом H

∗

и фазовым пространством Γ

∗ 2(n−m)

через Γ и Γ

∗

, соответственно.

Системы Γ и Γ

∗

эквивалентны и эквивалентность означает следующее.

Выберем в H

T

лагранжевы множители v

i

так, чтобы выполнялись равенства

˙q

j

= [χ

j

, H

T

] =

∂ H

∂ p

j

+

X

i

v

i

∂ ϕ

i

∂ p

j

= 0 ,

j = 1, . . . , m .

(11)

Вследствие (4) эта задача имеет однозначное решение. При этом уравнения Гамильтона ˙g = [g, H

T

]

и связей (1), (9) совпадают с уравнениями Гамильтона для системы Γ

∗

.

Докажем этот факт в координатах (6). При помощи равенств (11) получаем следующие соотно-

шения:

m

X

i=1



v

i

∂ ϕ

i

∂ q

∗

−

∂ H
∂ p

i

∂ p

i

∂ q

∗



=

m

X

i=1

v

i





∂ ϕ

i

∂ q

∗

+

m

X

j=1

∂ ϕ

i

∂ p

j

∂ p

j

∂ q

∗





= 0 ,

m

X

i=1



v

i

∂ ϕ

i

∂ p

∗

−

∂ H
∂ p

i

∂ p

i

∂ p

∗



=

m

X

i=1

v

i





∂ ϕ

i

∂ p

∗

+

m

X

j=1

∂ ϕ

i

∂ p

j

∂ p

j

∂ p

∗





= 0 .

(12)

Последние равенства в (12) вытекают из того, что имеются тождества

ϕ

i

(p (p

∗

, q

∗

), p

∗

, q

∗

) ≡ 0 ,

i = 1, . . . , m .

Из (12) следует, что уравнения

˙p

∗

= −

 ∂ H

∂q

∗

+ v

i

∂ ϕ

i

∂ q

∗



и

˙p

∗

= −

∂ H

∗

∂q

∗

= −

 ∂ H

∂ q

∗

+

∂ H
∂ p

i

∂ p

i

∂ q

∗



совпадают (соответствующие уравнения для переменных q

∗

не выписываются). Таким образом

утверждение об эквивалентности систем Γ и Γ

∗

доказано.

Система Γ может быть проквантована в переменных {p

∗

, q

∗

}, в которых она является невы-

рожденной. В этих переменных квантовый оператор эволюции задаётся континуальным интегралом
(см. (12 Л1))

hq

∗ ′′

|U

∗

(t

′′

, t

′

)|q

∗ ′

i =

Z

exp







i

t

′′

Z

t

′

(p

∗

˙q

∗

− H

∗

(p

∗

, q

∗

)) d t







Y

t

d p

∗

(t) d q

∗

(t)

2π

.

(13)

61

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Чаще всего (как в электродинамике и многих других калибровочных теориях) нецелесообразно раз-
решать связи явно. Напротив, оператор эволюции полезно представить непосредственно в терминах
переменных обобщённой системы Γ. Покажем, что континуальный интеграл

Z

exp







i

t

′′

Z

t

′

[p ˙q − (H (p, q) + v

i

ϕ

i

(p, q))] d t







Y

t

Y

i

δ(χ

i

) det k[ϕ

k

, χ

j

]k

Y

α

d p

α

(t) d q

α

(t)

2π

d v

i

(t)

2 π

(14)

совпадает с интегралом (13). Для этого проинтегрируем (14) по лагранжеву множителю v, в ре-
зультате чего он принимает вид

Z

exp







i

t

′′

Z

t

′

[p ˙q − H (p, q)] d t







Y

t

Y

i

δ(χ

i

) δ(ϕ

i

) det k[ϕ

k

, χ

j

]k

Y

α

d p

α

(t) d q

α

(t)

2π

.

(15)

Мера в интеграле (15) инвариантна относительно канонических преобразований переменных инте-
грирования. Будем считать, что он вычисляется в переменных (6), (7), в которых

Y

t

Y

i

δ(χ

i

) δ(ϕ

i

) det k[ϕ

k

, χ

j

]k =

Y

t

Y

i

δ(q

i

) δ(ϕ

i

) det

∂ϕ

k

∂p

j

=

Y

t

Y

i

δ(q

i

) δ[p

i

− p

i

(p

∗

, q

∗

)] .

Теперь очевидно, что после интегрирования по переменным {p

i

, q

i

} с i = 1, . . . , m интеграл (15)

сводится к (13).

Заметим, что выражение в круглой скобке в экспоненте в (14) является полным гамильтонианом

H

T

.

2. Электромагнитное поле как динамическая система

Свободное электромагнитное поле описывается действием

S = −

1

16 π

Z

d

(4)

x F

µν

F

µν

,

F

µν

= ∂

µ

A

ν

− ∂

ν

A

µ

.

(16)

Электрическое и магнитное поля равны соответственно

E

i

= F

i0

= −∂

i

A

0

− ˙

A

i

,

H

i

= −

1
2

ε

ijk

F

jk

.

(17)

Выпишем лагранжиан системы:

L =

1

8 π

Z

d

(3)

x (F

io

)

2

−

1

16 π

Z

d

(3)

x F

2

ij

.

(18)

Проварьируем лагранжиан (18) относительно ˙

A

µ

:

δ

˙

A

L = −

1

4 π

Z

d

(3)

x F

io

δ ˙

A

i

= −

1

4 π

Z

d

(3)

x E

i

δ ˙

A

i

.

(19)

Отсюда видно, что если поле A

µ

рассматривается как совокупность координатных переменных,

то соответствующие импульсные переменные π

µ

равны

π

i

(x) = −

1

4 π

E

i

(x) ,

(20)

π

0

(x) = 0 .

(21)

При помощи формул (17)-(21) находим гамильтониан:

H

T

≡

Z

d

(3)

x π

i

˙

A

i

− L =

Z

d

(3)

x

2

+ H

2

8 π

−

1

4 π

A

0

∇ E



.

(22)