Лекции по квантовой электродинамике - часть 15

Лекция 7. Квантование электромагнитного поля

62

Канонические одновременные СП имеют вид (выписаны лишь ненулевые СП):

[E

i

(x), A

j

(y)] = 4 π δ

ij

δ

(3)

(x − y) ,

[π

0

(x), A

0

(y)] = −δ

(3)

(x − y) .

(23)

Мы имеем множество первичных связей (21). Вычислим их СП с гамильтонианом:

[π

0

(x), H] =

1

4 π

∇ E (x) .

(24)

Чтобы связи (21) сохранялись, необходимо наложить множество новых связей:

ϕ (x) ≡ ∇ E (x) = 0 .

(25)

При помощи (23) находим:



A

i

(x),

1

4 π

Z

d

3

y A

0

(y) ∇ E(y)



= ∂

i

A

0

(x) .

(26)

Таким образом, связи (25) генерируют калибровочные преобразования. Нетрудно проверить, что
положительная часть гамильтониана

H =

Z

d

(3)

x

E

2

+ H

2

8 π

(27)

калибровочно инвариантен:

[∇ E(x), H] = 0 .

(28)

Кроме того, все взаимные СП связей (21), (25) обращаются в ноль. Поэтому все связи — первого
рода и поле A

0

играет роль лагранжевого множителя, принимающего произвольные значения и

гамильтониан (22) является полным гамильтонианом.

Равенство (26) показывает, что естественными дополнительными условиями, аналогичными (3),

в рассматриваемом случае являются условия, фиксирующие калибровку:

χ (x) ≡ ∇ A (x) = 0 .

(29)

Вычислим одновременные СП связей (25) и (29). При помощи СП (23) находим:

[ϕ (x), χ (y)] = [∇ E (x), ∇ A (y)] = −4 π ∇

2

δ

(3)

(x − y) .

(30)

Таким образом, det k[ϕ (x), χ (y)]k = const, то есть этот определитель является величиной, не

зависящей от динамических переменных, которая включается в общий нормировочный множитель.
(В более сложных калибровочных теориях, как теория Янга–Миллса, аналог оператора (30) зависит
от полей и соответствующий определитель должен быть явно учтён.)

Обозначим через A

⊥

(x) поперечное векторнозначное поле, удовлетворяющее условию

∇ A

⊥

= 0 .

(31)

В нашем случае система Γ описывается переменными {E, π

0

, A

µ

}, а система Γ

∗

— переменными

{E

⊥

, A

⊥

}. Однако удобнее взять в качестве исходной системы Γ несколько сокращённую систему

с фазовым пространством, точками которого являются поля {E, A}, связями (25) и условиями

(29), фиксирующими калибровку. При таком подходе роль лагранжевых множителей {v

i

} из

предыдущего пункта берёт на себя поле, обозначаемое A

0

.

При квантовании переменные системы Γ

∗

удовлетворяют следующим одновременным КС (срав-

ни с (23)):

[E

⊥ i

(x), A

⊥ j

(y)] = 4 π i

Z

d

(3)

k

(2 π)

3



δ

ij

−

k

i

k

j

k

2



e

i k (x−y)

.

(32)

Последние КС реализуются, если полевые переменные разлагаются согласно (сравни с (34 Л2))

A

⊥

(x) =

X

α=1,2

Z

d

(3)

k

(2 π)

3

s

2 π

|k|



c

k

α

e

⊥

k

α

e

i k x

+ c

†

k

α

e

⊥ ∗

k

α

e

−i k x



,

63

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

E

⊥

(x) = i

X

α=1,2

Z

d

(3)

k

(2 π)

3

p2 π |k|



c

k

α

e

⊥

k

α

e

i k x

− c

†

k

α

e

⊥ ∗

k

α

e

−i k x



,

[c

k

α

, c

†

p

β

] = (2 π)

3

δ

αβ

δ

(3)

(k − p) ,

α, β = 1, 2 ,

k

· e

⊥

k

α

= 0 ,

e

⊥ ∗

k

α

· e

⊥

k

β

= δ

αβ

,

X

α=1,2

e

⊥ i

k

α

e

⊥ ∗ j

k

α

=



δ

ij

−

k

i

k

j

k

2



.

(33)

Если в (27) подставить переменные (33), то мы получим гамильтониан Γ

∗

-системы:

H

∗

0

=

1
2

X

α=1,2

Z

d

(3)

k

(2 π)

3

|k| (c

†

k

α

c

k

α

+ c

k

α

c

†

k

α

) .

(34)

Фотонный вакуум определяется условиями

c

k

α

| 0 i = 0 .

(35)

Однофотонное состояние с импульсом k и поляризацией α в релятивистской нормировке пред-
ставляется как (сравни с (38 Л2))

| k, α i =

p2 |k| c

†

k

α

| 0 i .

(36)

Двух- и т.д. фотонные состояния строятся из вакуумного очевидным образом при помощи операто-
ров рождения c

†

k

α

. Приведём гамильтониан (34) к нормальному виду (далее индекс

∗

, отмечающую

принадлежность к Γ

∗

-системе, не выписываем):

H

0

=

X

α=1,2

Z

d

(3)

k

(2 π)

3

|k| c

†

k

α

c

k

α

+ E

0

,

(37)

E

0

= V

Z

d

(3)

k

(2 π)

3

|k| .

(38)

Здесь V — объём пространства. Величина (38) является энергией нулевых колебаний или энергией
вакуума. Также как и в скалярной теории, в электродинамике она положительна и её плотность
бесконечна. Существуют экспериментальные методы "тестирования"энергии вакуума (эффект Ка-
зимира, см. задачу к этой лекции).

Как известно, плотность импульса электромагнитного поля равна (см. Приложение C) (1/4 π) [E, H].

Поэтому оператор импульса электромагнитного поля (сравни с (42 Л2))

P

=

1

4 π

Z

d

(3)

x [E, H] =

X

α=1,2

Z

d

(3)

k

(2 π)

3

k

c

†

k

α

c

k

α

.

Из данных определений следует, что (энергия вакуума вычеркнута из гамильтониана)

H | 0 i = P | 0 i = 0 ,

H | k, α i = |k| | k, α i ,

P

| k, α i = k | k, α i .

Таким образом, фотон является безмассовой частицей, распространяющейся со скоростью света.

Теперь при помощи формул из предыдущего пункта и лекции 2 мы можем, минуя детальные

вычисления, выписать нормальный символ S-матрицы в фотодинамике в терминах переменных
исходной Γ-системы (сравни с (52 Л2)):

S (c

∗

, c) =

1

N

Z

exp

i

Z

d

(4)

x



−

1

4 π

(E ˙

A

− A

0

∇ E) −

E

2

+ H

2

8 π



×

×

Y

x

3

Y

i=1

δ (∇ A(x)) d E

i

(x) d A

i

(x) d A

0

(x) .

(39)

Лекция 7. Квантование электромагнитного поля

64

Граничные условия в интеграле (39) таковы:

A

⊥

(x)

−−−−→

t→±∞

A

⊥

out

in

(x) ,

A

⊥

out

in

(x) =

X

α=1,2

Z

d

(3)

k

(2 π)

3

s

2 π

|k|



c

k

α out

in

e

⊥

k

α

e

−i k x

+ c

∗

k

α out

in

e

⊥ ∗

k

α

e

i k x



,

c

k

α in

= c

k

α

,

c

∗

k

α out

= c

∗

k

α

,

k x = k

0

x

0

− k x ,

k

0

= |k| .

(40)

Обратим внимание на то, что граничные условия (40) имеют место лишь для физических степеней
свободы, описываемых поперечной частью поля A

⊥

(x) (31). Проинтегрируем в (39) по импульсным

переменным E (x) и введём в теорию внешний источник. Это интегрирование проводится однознач-
но при помощи правила вычисления гауссовых интегралов, поскольку проблема граничных условий
при этом интегрировании отсутствует. С учётом (16)-(18) получаем:

S

J

(c

∗

, c) =

1

N

Z

exp

i

Z

d

(4)

x



−

1

16 π

F

µν

F

µν

+ J

µ

A

µ



Y

x

δ (∂

i

A

i

(x)) D A

µ

,

D A

µ

≡

Y

x

Y

µ

d A

µ

(x) .

(41)

Интеграл (41) вычисляется с граничными условиями (40).

Из континуального интеграла (41) видно, что интегрирование идёт не по всем полям, а лишь по

поперечным физическим полям A

⊥

.

Для вычисления пропагатора электромагнитного поля преобразуем интеграл (41) следующим

образом:

S

J

(c

∗

, c) =

1

N

Z

exp

i

Z

d

(4)

x



−

1

16 π

(∂

µ

A

ν

− ∂

ν

A

µ

)

2

+ J

µ

A

µ

+ λ ∂

i

A

i



Y

x

d λ(x) D A

µ

.

(42)

Гауссов интеграл вычисляется нахождением экстремума показателя экспоненты в (42) относительно
переменных {λ, A

µ

}. Этот экстремум находится при помощи системы уравнений

∂

i

A

i

= 0 ,

∆ A

0

= 4 π J

0

,

∂

µ

∂

µ

A

i

+ ∂

i

˙

A

0

= 4 π (∂

i

λ − J

i

) .

(43)

Естественно считать, что источник удовлетворяет условию поперечности:

∂

i

J

i

= 0 .

(44)

Вычисляя дивергенцию последнего из уравнений (43) и учитывая первые два, находим:

∆ λ = ∂

0

J

0

.

(45)

В результате система уравнений (43)-(44) сводится к уравнению (45), а также уравнениям

∆ A

0

= 4 π J

0

,

∂

µ

∂

µ

A

⊥

= −4 π J

⊥

.

(46)

Теперь аналогично (53 Л2) мы можем представить электромагнитное поле, для которого действие
в (42) экстремально:

A

µ

(x) = A

µ
0

(x) +

Z

d

(4)

y D

µν

C

(x − y) J

ν

(y) ,

A

0

0

= 0 ,

A

0

(x) =

X

α=1,2

Z

d

(3)

k

(2 π)

3

s

2 π

|k|

c

k

α

e

⊥

k

α

e

−i k x

+ c

∗

k

α

e

⊥ ∗

k

α

e

i k x

 ,

k

0

= |k|

(47)

D

ij

C

(x) = −4 π

Z

d

(4)

k

(2 π)

4

e

−i k x

k

2

+ i ε



δ

ij

−

k

i

k

j

k

2



,

D

0i

C

= 0 ,

D

00

C

(x) = −4 π

Z

d

(4)

k

(2 π)

4

e

−i k x

k

2

.

(48)

Явное выражение для D

µν

C

(x) показывает, что распространяются во времени только трёхмерно

поперечные составляющие поля A

µ

.

Преимуществом изложенного подхода является очевидная унитарность полученного выражения

для S-матрицы, поскольку формула для S-матрицы была получена путём перехода к невырожден-
ной динамической системе. Недостатком диаграммной техники, развитой при помощи пропагатора
(48), является отсутствие явной релятивистской инвариантности.

65

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

3. Ковариантные правила квантования и трюк Фаддеева–

Попова

Чтобы восстановить явную релятивистскую инвариантность, поступим следующим образом.

Обозначим через a (x) некое скалярное поле и через A

ω

µ

— калибровочно преобразованное элек-

тромагнитное поле:

A

ω

µ

= A

µ

+ ∂

µ

ω .

(49)

Определим величину ∆

L

при помощи равенства

∆

L

Z

Y

x

δ [∂

µ

A

ω

µ

− a (x)] d ω (x) = 1 .

(50)

Очевидно, ∆

L

не зависит от полей A

µ

и a (x): ∆

L

= det ∂

2

. Теперь вставим левую часть (50) в

интеграл (41), что не изменит его значения:

S

J

(c

∗

, c) =

1

N

Z

exp

i

Z

d

(4)

x



−

1

16 π

F

µν

F

µν

+ J

µ

A

µ



×

×

Y

x

δ (∂

i

A

i

(x))∆

L

δ [∂

µ

A

ω

µ

− a (x)] d ω (x) D A

µ

.

(51)

Теперь в интеграле (51) сделаем калибровочное преобразование, обратное к (49), и учтём, что мера
D A

µ

и плотность действия F

2

µν

при этом не изменяются, являясь калибровочными инвариантами.

В результате интеграл (51) принимает вид

S

J

(c

∗

, c) =

1

N

Z

exp

i

Z

d

(4)

x



−

1

16 π

F

µν

F

µν

+ J

µ

A

µ

− J

µ

∂

µ

ω



×

×

Y

x

δ (∂

i

A

ω

−1

i

(x))∆

L

δ [∂

µ

A

µ

− a (x)] d ω (x) D A

µ

.

За слагаемым вида J

µ

∂

µ

ω в экспоненте нет смысла следить потому что асимптотическое поле

(47) определено с точностью до слагаемого ∂

µ

ω, где поле ω, так же как и в рассматриваемых

функциональных интегралах — произвольное, удовлетворяющее уравнению д

′

Аламбера (см. ниже

ур. (57)). Так как интеграл

Z

Y

x

δ [∂

i

A

ω

−1

i

(x)] d ω (x) = det ∆

−1

также не зависит от от вектор-потенциала, то его можно выбросить. Таким образом

S

J

(c

∗

, c) =

1

N

Z

exp

i

Z

d

(4)

x



−

1

16 π

F

µν

F

µν

+ J

µ

A

µ



Y

x

δ [∂

µ

A

µ

− a (x)] D A

µ

.

Поскольку здесь левая часть не зависит от поля a (x), мы можем проинтегрировать последнее вы-
ражение с весом

exp

−

i

8 π α

Z

a

2

(x) d

(4)

x



,

что влияет лишь на нормировочный множитель:

S

J

(c

∗

, c) =

1

N

Z

exp

i

Z

d

(4)

x



−

1

16 π

F

µν

F

µν

−

1

8 π α

a

2

(x) + J

µ

A

µ



×

×

Y

x

δ [∂

µ

A

µ

− a (x)] d a (x) D A

µ

=

=

1

N

Z

exp

i

Z

d

(4)

x



−

1

16 π

F

µν

F

µν

−

1

8 π α

(∂

µ

A

µ

)

2

+ J

µ

A

µ



D A

µ

.

(52)