Лекции по квантовой электродинамике - часть 16

Лекция 7. Квантование электромагнитного поля

Находя пропагатор таким же образом, как это было сделано выше, находим, что континуальный
интеграл (52) приводит к ковариантному пропагатору

µν

(x) = 4 π

(4)

(2 π)

−i k x

+ i ε

µν

−

(1 − α) k

+ i ε

µν

= diag (1, −1, −1, −1) .

(53)

Калибровка, в которой пропагатор имеет вид (53), называется α-калибровкой. Частный случай этой
калибровки α = 1 называется калибровкой Фейнмана, а частный случай α = 0 — калибровкой
Ландау.

Правильность задания обхода полюсов в (53) легче всего устанавливается следующим образом.

Пропагатор (48), конечно, как пропагатор, описывающий распространение реальных частиц в рам-
ках теории S-матрицы, позволяет сделать поворот Вика в евклидово пространство. Иными словами,
при вычислении S-матрицы можно использовать интеграл вида (41) в евклидовом пространстве,
и лишь после вывода правил Фейнмана перейти в пространство Минковского. В евклидовом про-
странстве можно перейти к α-калибровке (52) при помощи описанного трюка Фаддеева–Попова и
получить соответствующий евклидовский пропагатор. После этого обратный поворот Вика в про-
странство Минковского приводит к пропагатору (53) с указанным обходом полюсов.

Теперь мы можем выписать нормальный символ S-матрицы для свободного электромагнитно-

го поля при наличии внешнего источника (сравни с (51 Л2). Значение экстремального значения
электромагнитного поля задаётся формулой (см. (47))

(x) = A

µ
0

(x) +

(4)

y D

α µν

(x − y) J

(y) ,

а нормальный символ S-матрицы имеет вид

∗

, c) =

exp

(4)

x J

0 µ

Z Z

(4)

x d

(4)

y J

(x) D

µν

(x − y) J

(y)

(54)

Поскольку выписанное выражение для S-матрицы получено путём тождественных преобразо-

ваний из выражения для унитарной S-матрицы, то это выражение также является унитарным.

Последнее замечание касается вопроса об однозначности определения векторов поляризации

фотонов e

⊥

. Введём 4-вектор поляризации фотона e

= (0, e

⊥

). Если k

= (|k|, k) — 4-

импульс фотона, то согласно (33)

= 0 ,

µν

ν ∗

= −δ

αβ

(55)

Очевидно, что оба свойства (55) сохраняются, если сделать преобразование вектора поляризации
согласно правилу

→ e

+ f (k) k

(56)

где f (k) — любая функция. Поэтому вектор поляризации фотона определён неоднозначно с точ-
ностью до преобразования (56), изменяющего четырёхмерно продольную часть фотона. Поэтому и
асимптотическое поле (47) определено с точностью до произвольного калибровочного преобразова-
ния вида

0 µ

−→ A

0 µ

+ ∂

ω ,

∂

ω = 0 .

(57)

В то же время, как мы увидим ниже, все физические величины инвариантны относительно преоб-
разований (56). Эта инвариантность является следствием калибровочной инвариантности теории.

Задачи

1. Трёхмерный эффект Казимира

а) В трёхмерном пространстве на расстоянии l друг от друга расположены две бесконечные

плоские параллельные металлические пластины. Считая, что на пластинах обращаются в ноль тан-
генциальные компоненты электрического поля E и разность потенциалов между пластинами равна

Последние экспериментальные данные подтверждают эффект Казимира с точностью ∼ 10%.

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

нулю, проквантовать фотонное поле и выразить его гамильтониан через лестничные операторы.

б) Вычислить силу на единицу площади пластин, с которой взаимодействуют эти пластины

вследствие искажений нулевых колебаний фотонного поля и сдвига энергии вакуума.

Указание. При регуляризации интеграла типа (38), формально задающего энергию вакуума,

использовать формулу размерностной регуляризации (3 Л4), а при регуляризации расходящихся
сумм степеней целых чисел использовать аналитическое продолжение ζ-функции Римана.

2. Вычислить явно в координатном представлении в четырёхмерном пространстве фотонный про-
пагатор в α-калибровке.

∗1

. Сделаем замену ieA

→ A

и определим оператор ковариантной производной ∇

≡ ∂

+ A

Очевидно A

∗

= −A

и напряженность F

µν

= [∇

, ∇

] = ∂

− ∂

отличается от стандартного

значения (16) лишь множителем ie. Поэтому в данном случае действие электромагнитного поля
имеет вид

S =

16πe

(4)

x F

µν

Обобщим это действие на неабелев случай.
Пусть t

= − t

†

, a = 1, . . . , N — образующие некой алгебры Ли в матричном представлении,

причём

tr t

1
2

, t

] = f

abc

и структурные константы f

abc

вещественны. Определим неабелево калибровочное вещественное

многокомпонентное поле A

, или неабелево калибровочное антиэрмитово поле A

≡ A

= −A

†

Ковариантная производная имеет прежний вид ∇

≡ ∂

+ A

, а напряжённость поля и его действие

µν

(A) = [∇

, ∇

] = ∂

− ∂

+ [A

, A

S =

(4)

x tr F

µν

Определим калибровочное преобразование как

= Ω

−1

∇

Ω = Ω

−1

Ω + Ω

−1

∂

Ω,

где

Ω = exp(ω) = Ω

−1

†

ω = ω

= −ω

†

Определённая таким образом теория называется теорией Янга–Миллса.

а) Проверить, что

µν

) = Ω

−1

µν

(A)Ω.

Таким образом, действие Янга–Миллса калибровочно инвариантна.

б) Проквантовать теорию Янга–Миллса и выписать выражение для производящего функциона-

ла S-матрицы в теории Янга–Миллса.

Ответ:

S =

exp

(4)

x tr

µν

α e

(∂

)

− c∂

∇

c − 2J

D A

DcDc.

Здесь c ≡ c

и c ≡ c

— поля духов, независимые друг от друга и антикоммутирующие как

между собой, так и с прочими фермионными полями (см. следующие лекции).

Эта задача может быть решена лишь при использовании техники, изложенной в Лекции 9.

Лекция 8. Уравнение Дирака. Каноническое квантование дираковского поля

Лекция 8

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА. КАНОНИЧЕСКОЕ КВАНТОВАНИЕ

ДИРАКОВСКОГО ПОЛЯ

1. Уравнение Дирака

В этой лекции рассмотрение идёт в четырёхмерном пространстве Минковского, µ, ν, . . . =

0, 1, 2, 3, i, j, . . . = 1, 2, 3.

Рассмотрим операторы

= −i ε

ijk

∂

1
2

(1)

где

0 1
1 0

0 −i
i

0 −1

(2)

— сигма-матрицы Паули. Легко проверить, что

, J

] = i ε

ijk

(3)

Таким образом, оператор J является оператором полного момента импульса, включая спин ча-
стицы, который в рассмотренном случае равен (1/2). Как известно, операторы полного момента J
являются генераторами вращений в 3-мерном пространстве, что выражается формулами

(1 + i ω J) x (1 − i ω J) = x + [ω, x] ,

(1 + i ω J) σ (1 − i ω J) = σ + [ω, σ] ,

(1 + i ω J) ∂ (1 − i ω J) = ∂ + [ω, ∂] ,

(1 + i ω J) σ∂ (1 − i ω J) = σ∂ ,

(4)

где ω — бесконечно малый вектор угла поворота и σ = (σ

, σ

Задача заключается в обобщении формул (1)-(4) на случай четырёхмерного пространства Мин-

ковского. На этом пути строится релятивистская теория частиц со спином (1/2).

Введём четыре комплексные матрицы γ

четвёртого порядка со следующими свойствами (срав-

ни с соотношениями σ

+ σ

= 2 δ

+ γ

= 2 η

µν

(5)

Чаще всего используются

а) спинорное представление (γ

= (γ

, γ

)):

0 1
1 0

−σ

;

(6)

б) стандартное представление:

0 −1

−σ

;

(7)

Из (5)-(7) вытекает, что

(γ

)

†

= γ

(γ

)

†

= −γ

(γ

)

†

= γ

(8)

Последние соотношения имеют место в любом представлении, поскольку γ-матрицы в разных
представлениях различаются унитарным преобразованием.

Введенные матрицы (5) называются γ-матрицами Дирака.
Пусть γ

≡ −i γ

. Из этого определения имеем:

(γ

)

†

= γ

+ γ

= 0 ,

(γ

)

= 1 .

(9)

−1 0

0 1

− − − спинорное представление;

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

0 −1

−1

− − − стандаотное представление .

Введём набор из шести матриц:

µν

≡

1
4

[γ

, γ

] = −σ

νµ

(10)

Вследствие (8)

(σ

µν

)

†

= −σ

µν

(11)

Используя лишь алгебру (5), находим:

[σ

µν

, γ

] = η

νλ

− η

µλ

[σ

µν

, σ

λρ

] = η

µρ

νλ

− η

νρ

µλ

− η

µλ

νρ

+ η

νλ

µρ

(12)

Генераторы четырёхмерных вращений l

µν

= x

∂

− x

∂

удовлетворяют тем же перестановочным

соотношениям, что и матрицы σ

µν

. Поэтому для J

µν

= l

µν

+ σ

µν

имеем:

µν

, J

λρ

] = η

µρ

νλ

− η

νρ

µλ

− η

µλ

νρ

+ η

νλ

µρ

(13)

Мы видим, что матрицы σ

µν

являются обобщением нерелятивистских спиновых матриц (1/2) σ

на релятивистский случай.

Пусть поле

ψ (x) =







(x)







ϕ (x)
χ (x)

(14)

является матрицей-столбцом, состоящим из четырёх комплексных полей ψ

, a = 1, 2, 3, 4 и

ψ (x) = ψ

†

(x) γ

(15)

— матрица-строка. Поля ϕ и χ в (14) являются двухрядными матрицами-столбцами, задающими
верхнюю и нижнюю половины поля (14), соответственно. Поля ψ и ψ в (14) и (15) взаимно
сопряжены (в смысле Дирака).

Уравнение Дирака во внешнем электромагнитном поле имеет вид

(i ~ γ

∇

− m c) ψ (x) = 0 ,

∇

∂

∂ x

+ i

(x) .

(16)

Далее, как обычно, полагаем ~ = c = 1.

Прежде всего установим факт лоренц-инвариантности уравнения Дирака. Пуст ω

µν

= −ω

νµ

—

шесть вещественных параметров преобразования Лоренца и

(Ω

)

= δ

+ ω

+ . . . ,

= exp

µν

(17)

Путём прямого вычисления находим:

= Λ

−1

= (Ω

)

(18 a)

∂

∂ x

−1

= (Ω

)

∂

∂ x

(18 b)

−1

= (Ω

)

(18 c)

Равенство (18 a) коротко можно записать в виде ˜x = Ω

x. Из (18 b) и (18 c) следует, что

∂

−1

= γ

∂

(19)

Определим лоренц-преобразованное дираковское поле как

ψ (x) ≡ Λ

ψ (x) =

exp

1
2

µν

ψ (Ω

−1

x) .

(20)

содержание .. 14 15 16 17 ..