Лекции по квантовой электродинамике - часть 17

Лекция 8. Уравнение Дирака. Каноническое квантование дираковского поля

70

Здесь второе равенство получено при помощи (18 a). Комбинируя (19) и (20), находим:

i γ

µ

∂

µ

ψ (x) = i Λ

−1

ω

(Λ

ω

γ

µ

∂

µ

Λ

−1

ω

)(Λ

ω

ψ (x)) = Λ

−1

ω

[i γ

µ

∂

µ

˜

ψ (x)] .

(21)

Поэтому

(i γ

µ

∂

µ

− m) ψ (x) = Λ

−1

ω

[(i γ

µ

∂

µ

− m) ˜

ψ (x)] ,

(22)

откуда следует лоренц-инвариантность свободного уравнения Дирака. Уравнение Дирака во внеш-
нем калибровочном поле также лоренц-инвариантно, поскольку наряду с (19) имеет место равенство

Λ

ω

γ

µ

∇

µ

Λ

−1

ω

= γ

µ

˜

∇

µ

= γ

µ

(∂

µ

+ ie ˜

A

µ

) ,

(23)

если оператор лоренц-преобразования Λ

ω

преобразует электромагнитное поле согласно формуле

(18 b), так что ˜

A

µ

(x) = (Ω

ω

)

ν

µ

A

ν

(Ω

−1

ω

x).

Умножим тождество (20) на оператор Λ

−1

ω

и сделаем затем дираково сопряжение:

ψ (x) = ˜

ψ

†

(x) γ

0

(γ

0

Λ

−1 †

ω

γ

0

) .

(24)

Поскольку вследствие (11)

γ

0

Λ

−1 †

ω

γ

0

= Λ

ω

,

(25)

то (24) означает, что

ψ (x) = ˜

ψ (x) Λ

ω

.

(26)

Уравнение Дирака (16) может быть получено путём вариации фермионного действия

S

ψ

=

Z

d

(4)

x ψ (i γ

µ

∇

µ

− m) ψ ,

(27)

в котором комплексные поля ψ, ψ следует рассматривать как независимые динамические пере-
менные. При помощи формул (22) и (26) устанавливается, что действие (27) лоренц-инвариантно.
Вещественность действия (27) устанавливается при помощи равенств (8) и (15).

По определению, вариация действия материи относительно электромагнитного поля даёт элек-

тромагнитный ток материи J

µ

. В нашем случае имеем:

δ

A

S

ψ

≡ −e

Z

d

(4)

x J

µ

δ A

µ

,

J

µ

= ψ γ

µ

ψ .

2. Нерелятивистский предел

Перейдём к нерелятивистскому пределу в уравнении Дирака (16). Для этого подействуем на

уравнение (16) оператором (i γ

µ

∇

µ

+ m) и учтём, что согласно уравнениям (5) и (10) γ

µ

γ

ν

=

η

µν

+ 2 σ

µν

. Таким образом получим:

{∇

µ

∇

µ

+ σ

µν

[∇

µ

, ∇

ν

] + m

2

} ψ = 0 .

Но [∇

µ

, ∇

ν

] = i e F

µν

. При переходе к нерелятивистскому пределу следует сделать замену

ψ → e

−i m t

ψ ,

∇

0

=

∂

∂ t

+ i e A

0

→

∂

∂ t

+ i e A

0

− i m ,

(∇

0

)

2

→ −m

2

− 2 i m

 ∂

∂ t

+ i e A

0



.

Членами, не содержащими m (точнее — m c

2

), мы вправе пренебречь в нерелятивистском пределе.

С учётом этого последнее уравнение для дираковского поля принимает вид

i ˙

ψ =

−

1

2 m

∇

2

i

+

i e

2 m

σ

µν

F

µν

+ e A

0



ψ =

−

1

2 m

∇

2

i

−

e

m

 i

2

ε

ijk

σ

jk



H

i

+

i e

m

σ

0i

E

i

+ e A

0



ψ .

(28)

Здесь учтено, что согласно определению электрическое E и магнитное H поля связаны с тензором
электромагнитного поля следующими формулами: E

i

= F

io

, F

ij

= −ε

ijk

H

k

. Далее работаем в

стандартном представлении (7), в котором

σ

ij

= −

i

2

ε

ijk



σ

k

0

0

σ

k



,

σ

0i

=

1
2



0

σ

i

σ

i

0



.

(29)

71

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Рассмотрим плоскую волну

ψ

k

= e

−i m t−i k x

u

k

,

u

k

= const .

Для покоящейся частицы (k

µ

= 0) свободное уравнение Дирака принимает вид

(γ

0

− 1) u = 0 ,

то есть χ = 0 (см. (14)). Нетрудно проследить, что при малых k вследствие уравнения Дирака
имеет место оценка χ

k

∼ (|k|/m) ϕ

k

, и потому в нерелятивистском пределе χ следует положить

равным нулю. Поэтому из (28) для верхней компоненты ϕ следует уравнение Паули:

i

∂

∂ t

ϕ =

−

1

2 m

∇

2

i

−

e

m



σ

2



H

+ e A

0



ϕ .

(30)

Так как оператор спина электрона s = (1/2) σ (см. задачу 2. в)), то уравнение Паули показывает,
что в рассмотренном приближении магнитный момент электрона

µ

=

e

m

s

.

(31)

3. Квантование дираковского поля

Пусть ˙

ψ = (∂/∂ t) ψ. Определим стандартным образом обобщённый импульс дираковского поля:

δ

˙

ψ

S

ψ

=

Z

d t

Z

d

(3)

x π

ψ

δ ˙

ψ .

Отсюда и из (27) имеем:

π

ψ

= i ψ γ

0

= i ψ

†

.

(32)

Дираковский гамильтониан имеет вид

H

ψ

=

Z

d

(3)

x π

ψ

˙

ψ − L =

Z

d

(3)

x ψ

†

(−i α

i

∇

i

+ m γ

0

+ e A

0

) ψ ,

α

i

≡ γ

0

γ

i

,

(α

i

)

†

= α

i

. (33)

Оператор в круглых скобках в (33) — эрмитовский. Поэтому имеет смысл задача о собственных
функциях этого оператора. Рассмотрим эту задачу для случая свободного дираковского поля, когда
A

µ

= 0, что предполагается до конца этого пункта.

Уравнение для собственных функций оператора Гамильтона–Дирака в свободной теории имеет

вид

(−i α

i

∂

i

+ m γ

0

) ψ

k

= ǫ

k

ψ

k

.

(34)

Решение этого уравнения ищется в виде бегущих волн ψ

k

(x) = u

k

e

i k x

, амплитуды которых удо-

влетворяют уравнениям

(α k + m γ

0

− ǫ

k

) u

k

= 0 .

(35)

Умножая последнее уравнение на (α k + m γ

0

+ ǫ

k

) и учитывая, что

γ

0

α

+ α γ

0

= 0 ,

α

i

α

j

+ α

j

α

i

= 2 δ

ij

,

(36)

получаем

(ǫ

2

k

− m

2

− k

2

) u

k

= 0 .

Отсюда видно, что при ǫ

k

= ±

√

m

2

+ k

2

уравнение (35) имеет решение. Если u

k

удовлетворяет

уравнению (35), то ˜u

k

= γ

0

γ

5

u

k

удовлетворяет уравнению

(α k + m γ

0

+ ǫ

k

) ˜

u

k

= 0 .

(37)

Поэтому имеется два независимых решения уравнения (35) с ǫ

k

=

√

m

2

+ k

2

= ω

k

и два независи-

мых решения с ǫ

k

= −

√

m

2

+ k

2

= −ω

k

. Эти решения называются положительно и отрицательно

Лекция 8. Уравнение Дирака. Каноническое квантование дираковского поля

72

частотными. Далее положительно частотные решения с амплитудой u

k

обозначается u

k

, а отри-

цательно частотные решения с амплитудой u

(−k)

обозначается u

−k

. Для любого 4-вектора p

µ

введём обозначение γ

µ

p

µ

≡6 p. Тогда уравнение (35) для положительно и отрицательно частотных

мод записывается как

(6k − m) u

k

= 0 ,

(38 a)

(6k + m) u

−k

= 0 ,

(38 b)

где k

µ

= (ω

k

, k). Заметим, что если ψ

1

и ψ

2

— дираковские спиноры, то ψ

1

ψ

2

есть лоренц-

инвариант, а ψ

1

γ

µ

ψ

2

— 4-вектор. Поэтому мы примем лоренц-инвариантные условия нормировки:

u

k

u

k

= 2 m ,

u

−k

u

−k

= −2 m .

(39)

При этом предполагается, что спиноры u

±k

получаются (с точностью до фазового множителя) из

спиноров в системе покоя частицы при помощи соответствующего преобразования Лоренца. Равен-
ства (39) согласованы с равенствами

u

k

γ

µ

u

k

= u

−k

γ

µ

u

−k

= 2 k

µ

.

(40)

Для проверки равенств (39)-(40) заметим, что в системе покоя частицы, где k

µ

= (m, 0), уравнения

(38) принимают вид γ

0

u

±k

= ±u

±k

, из которых непосредственно вытекают следующие соотноше-

ния:

u

†

±k

= ±u

±k

,

γ

0

γ

u

±k

= ∓γ u

±k

.

Умножая скалярно соответственно левые и правые части последних уравнений, получаем:

u

±k

γ

u

±k

= −u

±k

γ

u

±k

= 0 .

Таким образом в системе покоя частицы

u

±k

γ

µ

u

±k

= (u

†

±k

u

±k

, 0, 0, 0) .

Так как u

†

±k

u

±k

> 0, то примем нормировку u

†

±k

u

±k

= 2m. Тогда равенства (40) в любой систе-

ме отсчёта получаются путём преобразования Лоренца. Теперь умножим равенства (38) на u

±k

соответственно и учтём (40):

m u

±k

u

±k

= ±u

±k

γ

µ

u

±k

k

µ

= ±2 m

2

.

Полученные равенства равносильны равенствам (39).

При помощи явных вычислений легко найти, что в стандартном представлении (7) решения

уравнений (38) имеют вид

u

k

=



√

ω

k

+ m w

√

ω

k

− m (n σ) w



,

u

−k

=



√

ω

k

− m (n σ) w

′

√

ω

k

+ m w

′



,

n

=

k

|k|

,

w

†

w = 1 ,

w

′†

w

′

= 1 .

(41)

В системе покоя (ω

k

= m) имеем:

u

k

=

√

2 m



w

0



,

u

−k

=

√

2 m



0

w

′



,

(42)

то есть w (w

′

) представляет собой тот двухкомпонентный спинор в трёхмерном пространстве, к

которому сводится в нерелятивистском пределе амплитуда волны. Сопрягая (41), получаем:

u

k

= (

√

ω

k

+ m w

†

, −

√

ω

k

− m w

†

(n σ)) ,

u

−k

= (

√

ω

k

− m w

′†

(n σ), −

√

ω

k

+ m w

′†

) .

(43)

При помощи формул (41) и (43) равенства (39) и (40) получаются непосредственно. Ортонормиро-
ванный базис в спинорном пространстве {w} ({w

′

}) состоит из двух элементов, которые выбира-

ются ортонормированными:

w

α

=

X

s=1,2

a

s

w

α

(s)

,

α = 1, 2 ,

X

α=1,2

w

α ∗

(s)

w

α

(s

′

)

= δ

s s

′

,

X

s=1,2

w

α

(s)

w

β ∗

(s)

= δ

αβ

.

(44)

73

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Везде α, β, . . . — спинорные индексы, а индексы s, s

′

, . . . нумеруют спиноры. Аналогичные

формулы имеют место для штрихованных спиноров. Обозначим через u

±k s

, s = 1, 2 дираковские

спиноры (41), в которых сделаны подстановки w → w

(s)

, w

′

→ w

′

(s)

. Тогда при помощи (40) и (41)

получаем:

u

†

k s

u

k s

′

= 2 ω

k

δ

s s

′

,

u

†

−k s

u

−k s

′

= 2 ω

k

δ

s s

′

,

u

†

k s

u

−p s

′

= 0 если p = − k .

(45)

Последнее равенство в (45) является следствием того, что u

†

k s

и u

−p s

′

при p = − k являются

собственными векторами эрмитовой матрицы (35) с разными собственными значениями.

Теперь мы можем выписать квантованное дираковское поле:

ψ (x) =

Z

d

(3)

k

(2 π)

3

1

√

2 ω

k

X

s=1,2

h

a

k

s

u

k s

e

i k x

+ b

†

k

s

u

−k s

e

−i k x

i

,

ψ (x) =

Z

d

(3)

k

(2 π)

3

1

√

2 ω

k

X

s=1,2

h

b

k

s

u

−k s

e

i k x

+ a

†

k

s

u

k s

e

−i k x

i

.

(46)

Далее показывается, что множество величин {a

k

s

, b

k

s

, a

†

k

s

, b

†

k

s

} являются фермиевскими опе-

раторами уничтожения и рождения. При помощи соотношений (38) и (45) вычисляем значение
свободного гамильтониана (33) на полях (46):

H

0 ψ

=

Z

d

(3)

k

(2 π)

3

ω

k

X

s=1,2

(a

†

k

s

a

k

s

− b

k

s

b

†

k

s

) .

(47)

Находим также оператор электрического заряда:

Q = e

Z

d

(3)

x J

0

= e

Z

d

(3)

k

(2 π)

3

X

s=1,2

(a

†

k

s

a

k

s

+ b

k

s

b

†

k

s

) .

(48)

Обратим внимание на то, что условия квантования, определяющие фермионный вакуум, должны

иметь вид

a

k

s

| 0 i = 0 ,

b

k

s

| 0 i = 0 .

(49)

Действительно, пусть x

0

> y

0

и рассмотрим величину

h 0 | ψ (x) ψ (y) | 0 i ,

(50)

где ψ (x) и ψ (y) — дираковские поля в представлении Гейзенберга. Гейзенберговские поля пред-
ставляются согласно (46) с той лишь поправкой, что в (46) производятся замены exp (±i k x) →
exp (∓i k x), где k x = ω

k

x

0

− k x. Действительно, вследствие (38) в результате этой замены экс-

понент поля (46) удовлетворяют свободному уравнению Дирака. Поэтому величина (50) равна, как
и в скалярной теории, амплитуде распространения частицы, рождённой в точке y и распростра-
няющейся в точку x. Вследствие условий (49) эта амплитуда является суперпозицией амплитуд с
импульсом k, содержащих множитель exp [−i ω

k

(x

0

−y

0

)], то есть суперпозицией положительноча-

стотных волн. Такая зависимость от времени означает, что распространяется частица с положитель-
ной энергией. Амплитуда распространения скалярной частицы из точки y в точку x (см. лекцию
2) h 0 | φ (x) φ (y) | 0 i содержит такую же зависимость от времени. Условия квантования, отличные

от (49), нарушили бы эту закономерность. Проведенное рассмотрение подтверждает правильность
условий квантования (49).

Так как π

ψ

= i ψ

†

, то одновременные перестановочные соотношения дираковских полей должны

иметь вид либо

[ψ

a

(x), ψ

†

b

(y)] = δ

a b

δ

(3)

(x − y) ,

(51)

либо

{ψ

a

(x), ψ

†

b

(y)} ≡ ψ

a

(x) ψ

†

b

(y) + ψ

†

b

(y) ψ

a

(x) = δ

a b

δ

(3)

(x − y) .

(52)

Вариант (51) реализуется, если (выписываются лишь ненулевые (анти)коммутаторы)

[a

k

s

, a

†

p

s

′

] = [b

†

k

s

, b

p

s

′

] = (2 π)

3

δ

s s

′

δ

(3)

(k − p) ,

(53)