содержание .. 16 17 18 19 ..
Лекции по квантовой электродинамике - часть 18
Лекция 8. Уравнение Дирака. Каноническое квантование дираковского поля
74
а вариант (52) — если
{a
k
s
, a
†
p
s
′
} = {b
k
s
, b
†
p
s
′
} = (2 π)
3
δ
s s
′
δ
(3)
(k − p) .
(54)
Действительно, для (51) при помощи (53) и для (52) при помощи (54) получаем:
Z
d
(3)
k
(2 π)
3
1
2 ω
k
X
s=1,2
h
e
i k (x−y)
u
k s
u
k s
+ e
−i k (x−y)
u
−k s
u
−k s
i
γ
0
.
(55)
Теперь учтём, что
X
s=1,2
u
±k s
u
±k s
=6k ± m .
(56)
Соотношения (56) следуют из равенств
u
±k s
u
±k s
′
= ±2 m δ
s s
′
,
u
k s
u
−k s
′
= 0 ,
(57)
уточняющих условия нормировки (39), и уравнений (38). Последнее из равенств (57) легко прове-
ряется в системе отсчёта, в которой k = 0. При помощи (38) и (57) немедленно устанавливается,
что все матричные элементы вида u
±k s
′
. . . u
±k s
′′
4 × 4 матриц в левых и правых частях равенств
(56) совпадают. При помощи (56) выражение (55) преобразуется к виду
Z
d
(3)
k
(2 π)
3
1
2 ω
k
X
s=1,2
h
e
i k (x−y)
(ω
k
γ
0
− γ k + m) + e
−i k (x−y)
(ω
k
γ
0
− γ k − m)
i
γ
0
= δ
(3)
(x − y) ,
что и требовалось.
Теперь покажем, что коммутационные соотношения (53) неприемлемы с физической точки зре-
ния. Действительно, с учётом условий квантования (49) КС (53) приводят к индефинитной метри-
ке в пространстве состояний. Например, если |k si = b
†
k
s
| 0 i, то hk s | k si < 0. Поэтому остаётся
единственная возможность (52), (54). Выпишем дополняющие (52), (54) одновременные антиком-
мутационные соотношения:
{ψ
a
(x), ψ
b
(y)} = {ψ
a
(x), ψ
b
(y)} = 0 ,
{a
k
s
, a
p
s
′
} = {b
k
s
, b
p
s
′
} = {a
†
k
s
, a
†
p
s
′
} = {b
†
k
s
, b
†
p
s
′
} = {a
k
s
, b
p
s
′
} = {a
k
s
, b
†
p
s
′
} = 0 .
(58)
Приведём оператор Гамильтона–Дирака (47) к нормальному виду при помощи (54) (сравни с (38
Л7)):
H
0 ψ
=
Z
d
(3)
k
(2 π)
3
ω
k
X
s=1,2
(a
†
k
s
a
k
s
+ b
†
k
s
b
k
s
) + E
0 D
,
E
0 D
= −2 V
Z
d
(3)
k
(2 π)
3
ω
k
,
(59)
где V — объём пространства. Аналогично для электрического заряда (48) получаем:
Q = e
Z
d
(3)
k
(2 π)
3
X
s=1,2
(a
†
k
s
a
k
s
− b
†
k
s
b
k
s
) + Q
0 D
,
Q
0 D
= 2 e V
Z
d
(3)
k
(2 π)
3
.
(60)
Из (59) и (60) мы видим, что плотность энергии и заряда в теории Дирака равны (−∞) (по-
скольку e < 0). Если эти постоянные значения E
0 D
и Q
0 D
вычеркнуть, то энергия любого
фермионного состояния (за исключением вакуумного с нулевой энергией) положительна, а заряд
равен e × (число частиц − число античастиц). Считается, что частицы порождаются операторами
a
†
, а античастицы — операторами b
†
. Первые называются электронами, а вторые — позитронами.
Например, одноэлектронное состояние
| p s i =
p2 ω
p
a
†
p
s
| 0 i ,
h q s
′
| p s i = (2 π)
3
2 ω
p
δ
s s
′
δ
(3)
(p − q) ,
а однопозитронное состояние
|(+) p s i =
p2 ω
p
b
†
p
s
| 0 i .