Лекции по квантовой электродинамике - часть 19

Лекция 8. Уравнение Дирака. Каноническое квантование дираковского поля

78

и уравнения Дирака для вейлевских полей имеют вид

i (∂

0

+ σ

i

∂

i

) ϕ = 0 ,

i (∂

0

− σ

i

∂

i

) χ = 0 .

(83)

Уравнения (83) называются уравнениями Вейля.

Так как генераторы преобразования Лоренца σ

µν

(10) коммутируют с проекционными опера-

торами (1/2)(1 ± γ

5

), то уравнения Вейля Лоренц-инвариантны.

7. Точное решение уравнения Дирака в кулоновом потен-

циале

Рассмотрим стационарное уравнение Гамильтона-Дирака в кулоновом потенциале (см. (33), (34)):



−i α ∂ + m γ

0

−

Z α

r



ψ = ǫ ψ ,

α =

e

2

~

c

.

(84)

Безразмерная величина α называется постоянной тонкой структуры.

Для решения уравнения Дирака (84) в центрально симметричном поле следует пользоваться

нерелятивистскими двухкомпонентными спинорными состояниями Ω

j l M

, имеющими определённые

значения квадрата орбитального момента l

i

= −i ε

ijk

x

j

∂

k

, квадрата полного момента (1) и его

проекции M, Из нерелятивистской квантовой механики известно, что

Ω

l+1/2, l, M

=





q

j+M

2 j

Y

l, M −1/2

q

j−M

2 j

Y

l, M +1/2





,

Ω

l−1/2, l, M

=





q

j+1−M

2 j+2

Y

l, M −1/2

−

q

j+1+M

2 j+2

Y

l, M +1/2





,

Z

Ω

†

j l M

Ω

j

′

l

′

M

′

d o = δ

j j

′

δ

l l

′

δ

M M

′

.

(85)

Так как

[j , (σ ∂)] = [j , (σ n)] = 0 ,

n

= x /r ,

(86)

то спиноры

(σ ∂) Ω

j l M

,

(σ n) Ω

j l M

(87)

имеют прежние значения чисел j и M. Однако числа орбитальных моментов спиноров (87)
изменяются, поскольку чётности спинора Ω

j l M

и спиноров (87) относительно преобразования

x

→ − x противоположны. Так как при заданном значении j для l имеется всего две возможности

l = j ± (1/2), то ясно, что спиноры (87) пропорциональны друг другу:

(σ ∂) Ω

j l M

= −



j(j + 1) − l(l + 1) −

3
4

 1

r

(σ n) Ω

j l M

.

(88)

Коэффициент в равенстве (88) проверяется путём умножения этого равенства слева на (σ n).

Будем решать уравнение (84) в стандартном представлении (7) при помощи подстановки

ψ =



f (r) Ω

j l M

(θ, φ)

−i g (r) (σ n) Ω

j l M

(θ, φ)



.

(89)

Спинор (89) имеет определённую чётность относительно операции пространственного сопряжения:
согласно (7), (69) и (70) имеем для спинора (89) ψ

P

= (−1)

l

ψ. Так как оператор Дирака–Гамильтона

в левой части уравнения (84) коммутирует с оператором P -чётности (см. (70)), то диагонализовать
следует одновременно эти два оператора. Подставляя (89) в уравнение (84), пользуясь равенством
(88), в результате несложных преобразований приходим к следующей системе уравнений:







f

′

+

1+κ

r

f − m + ǫ +

Z α

r

 g = 0 ,

g

′

+

1−κ

r

g − m − ǫ −

Z α

r

 f = 0 ,

(90)

κ

=

−(j + 1/2) = −(l + 1) , если j = l + 1/2
(j + 1/2) = l ,

если j = l − 1/2

.

(91)

79

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Штрих сверху означает производную по r.

Исследуем поведение решений системы уравнений (90) при r → 0 и r → ∞.

При r → 0 система (90) переходит в систему

r f

′

+ (1 + κ) f − Z α g = 0 ,

r g

′

+ (1 − κ) g + Z α f = 0 ,

(92)

решение которой ищется в виде f = a

0

r

γ

, g = b

0

r

γ

. Подстановка такого вида f и g в (92)

приводит к уравнению



γ + 1 + κ

−Z α

Z α

γ + 1 − κ

 

a

0

b

0



= 0 .

(93)

Для существования ненулевого и нормируемого решения уравнения (93) необходимо и достаточно,
чтобы

γ = −1 +

p

κ

2

− (Z α)

2

.

(94)

Соответствующее ненулевое решение с точностью до общего множителя имеет вид

a

0

= Z α ,

b

0

= (κ +

p

κ

2

− (Z α)

2

) .

(95)

При r → ∞ система (90) переходит в систему

f

′

− (m + ǫ) g = 0 ,

g

′

− (m − ǫ) f = 0 ,

(96)

Мы будем интересоваться лишь дискретными уровнями, для которых m

2

−ǫ

2

> 0. Тогда система

уравнений (96) приводит к следующему поведению f и g нормируемых состояний при r → ∞:

f ∼ e

−λ r

,

g ∼ e

−λ r

,

λ =

p

m

2

− ǫ

2

.

(97)

Из проведенного рассмотрения видно, что решение системы уравнений (90) в случае дискретных

уровней энергии следует искать в виде

f = e

−λ r

∞

X

s=0

a

s

r

γ+s

,

g = e

−λ r

∞

X

s=0

b

s

r

γ+s

.

(98)

В (98) константы γ и λ задаются согласно (94) и (97) соответственно, а коэффициенты a

0

и b

0

— согласно (95).

Подставим анзац (98) в систему (90) и приравняем нулю по отдельности коэффициенты при

одинаковых степенях r. Таким образом получается следующая система рекурсионных уравнений:

A

s

u

s+1

= B u

s

,

s = 0, 1, . . . ,

u

s

=



a

s

b

s



u

0

=



Z α

κ

+

pκ

2

− (Z α)

2



,

(99)

A

s

=



1 +

pκ

2

− (Z α)

2

+ s + κ

−Z α

Z α

1 +

pκ

2

− (Z α)

2

+ s − κ



,

B =



λ

m + ǫ

m − ǫ

λ



.

Заметим, что самое первое соотношение при степени r

−1

, связывающее лишь значения a

0

и b

0

между собой, удовлетворяется автоматически вследствие специального выбора u

0

в соответствии

с (95).

Так как

det A

s

= (1 + s) (1 + s + 2

p

κ

2

− (Z α)

2

) 6= 0 ,

(100)

то уравнение (99) переписывается в виде

u

s+1

= A

−1

s

·B·u

s

,

A

−1

s

= (det A

s

)

−1



1 +

pκ

2

− (Z α)

2

+ s − κ

Z α

−Z α

1 +

pκ

2

− (Z α)

2

+ s + κ



.

(101)

Собственные значения матрицы B равны нулю и 2 λ и пусть v

1

и v

2

обозначают соответ-

ствующие собственные векторы:

B v

1

= 0 ,

v

1

=



√

m + ǫ

−

√

m − ǫ



,

B v

2

= 2 λ v

2

,

v

2

=



√

m + ǫ

√

m − ǫ



.

(102)

Лекция 8. Уравнение Дирака. Каноническое квантование дираковского поля

80

Согласно (100) и (101) при s → ∞

A

−1

s

→

1
s

.

(103)

Поэтому, если при достаточно больших s

u

s

= p v

1

+ q v

2

,

q 6= 0 ,

(104)

где p и q — некие числа, то согласно (98), (102) и (103) при r → ∞ функции f и g ведут себя

как e

λ r

. Волновые функции с таким поведением ненормируемы и потому неприемлемы. Чтобы

избежать этой ситуации, для некого s мы должны иметь

A

−1

s

v

2

= t v

1

.

(105)

Здесь t — некое число. Действительно, для вектора общего вида (104) B u

s

= 2 λ q v

2

. Если имеет

место равенство (105) для некого числа t, то вследствие (102) u

s+2

= 0, рекурсионная цепочка

обрывается и волновая функция оказывается нормируемой. При помощи (102) уравнение (105)
переписывается как

B · A

−1

s

· v

2

= 0 ,

s = 0, 1, . . . .

(106)

Ещё одна возможность обрыва рекурсионной цепочки (101), не учтённая в (106), реализуется

при κ < 0 в случае u

0

= t v

1

для некого числа t. Действительно, при κ < 0 компоненты вектора

u

0

разного знака (при κ > 0 — одного знака) и уравнение u

0

= t v

1

может быть реализовано

соответствующим подбором параметров ǫ и t. Следовательно, уравнение

B u

0

= 0

при

κ

< 0

(107)

также является условием квантования энергии.

Поскольку B — вырожденная матрица 2×2, то каждое из уравнений (106) и (107) содержит лишь

одно независимое алгебраическое уравнение, решение совокупности которых приводит к следующим
значениям уровней энергии связанных состояний:

ǫ = m c

2

"

1 +

(Z α)

2

(n

r

+

p(j + 1/2)

2

− (Z α)

2

)

2

#

−1/2

,

n

r

=

0, 1, 2, . . . , если j = l + 1/2

1, 2, . . . , если j = l − 1/2

.

(108)

При получении формулы (108) было использовано соотношение (91). Энергия основного состояния
получается из формулы (108), если в ней положить l = 0, j = 1/2, n

r

= 0:

ǫ

0

= m c

2

p1 − (Z α)

2

.

(109)

Формулы (108), (109) являются точными и они остаются справедливыми при всех значениях

заряда ядра, удовлетворяющих условию (Z α) < 1. Поскольку |κ| = j+1/2, то согласно (108) имеет

место двукратное вырождение (не считая вырождения относительно прекции полного момента M)
уровней: энергии при l = j ± 1/2 совпадают, что является точным результатом.

При малых зарядах ядра, когда (Z α) ≪ 1, представляет интерес разложение формулы (108)

относительно (Z α). Поскольку α = e

2

/~ c, то это разложение можно трактовать как учёт реляти-

вистских поправок. Имеем:

ǫ = m c

2

−

(Z α)

2

m c

2

2 n

2

1 +

(Z α)

2

n



1

j + 1/2

−

3

4 n



+O((Z α)

6

) ,

n = n

r

+j+

1
2

= 1, 2, . . . . (110)

Учёт поправок порядка O((Z α)

6

) не имеет смысла, поскольку они перекрываются радиационными

поправками, имеющими порядок O(α (Z α)

4

) (см. лекцию 13). Формула (110) может быть также

получена при помощи ТВ в рамках нерелятивистской квантовой механики, когда спин-орбитальное
взаимодействие и релятивистская поправка к кинетической энергии электрона воспринимаются как
возмущение (см. задачу (5)).

Задачи

81

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

1. Выписать уравнение Дирака для сопряжённого поля ψ.

2. а) Показать, что векторный ток J

µ

= ψγ

µ

ψ сохраняется в силу уравнения Дирака (во внешнем

электромагнитном поле), то есть ∂

µ

J

µ

= 0.

б) Доказать, что аксиально-векторный ток J

5 µ

≡ ψγ

µ

γ

5

ψ веществен и в силу уравнения Дирака

∂

µ

J

5 µ

= 2 i m ψγ

5

ψ .

Это означает, что в безмассовой теории сохраняется также и аксиально-векторный ток (в класси-
ческой теории).

в) Показать, что полный 4-момент

M

µν

=

Z

d

(3)

x ψ

†

iJ

µν

ψ

сохраняется, если поле ψ удовлетворяет свободному уравнению Дирака. Проверить, что в стан-
дартном представлении

1
2

ε

ijk

M

jk

=

Z

d

(3)

x ψ

†

J

i

ψ ,

где J

i

совпадает с оператором полного 3-момента (1), если в (1) сделать замену

1
2

σ

i

−→ Σ

i

≡

1
2



σ

i

0

0

σ

i



= −

1
2

α

i

γ

5

.

(111)

Таким образом, в нерелятивистском пределе оператор s = (1/2)σ является оператором спина
электрона.

3. Используя закон преобразования дираковских полей при Лоренц–преобразованиях показать, что
векторный и аксиально-векторный токи являются 4-векторами.

4. Показать, что уравнение Дирака инвариантно относительно калибровочных преобразований:

ψ (x) → e

i e α (x)

ψ (x) ,

A

µ

(x) → A

µ

(x) − ∂

µ

α (x) ,

где α (x) — произвольная вещественная функция.

5. Продолжить разложение уравнения Дирака до членов ∼ 1/c

2

и получить соответствующий

гамильтониан для шредингеровской двухкомпонентной волновой функции. Считать, что имеется
только электрическое центрально-симметричное внешнее поле (A = 0, eA

0

= Φ(r)). Получить вы-

ражение для спин-орбитальной связи в случае атома водорода.

Ответ:

H =



p

2

2m

+ Φ(r)



+

−

p

4

8m

3

c

2

+

~

2

8m

2

c

2

(∆Φ) +

~

2

2m

2

c

2

r

d Φ

d r

(l s)



.

6. а) Доказать, что при преобразовании P -чётности

J

′ 5 µ

(x

0

, x) = −η

µµ

J

′ 5 µ

(x

0

, −x) ,

(ψγ

5

ψ)

′

(x

0

, x) = −(ψγ

5

ψ)

′

(x

0

, −x) .

Здесь нет суммирования по индексу µ.

б) Показать, что при T - и C-преобразованиях уравнение Дирака сохраняет свой вид.
в) Пусть ψ

CP T

обозначает поле, возникающее из дираковского поля ψ при последовательном

проведении операций обращения времени, затем пространственной инверсии и, наконец, зарядового
сопряжения. Выразить ψ

CP T

через ψ.

г) Показать, что векторный ток майорановского поля тождественно равен нулю.

7. Показать, что уравнения Вейля инвариантны относительно обращения времени и комбинирован-
ного CP -преобразования. Существуют ли вейлевско-майорановские (т.е. одновременно вейлевские
и майорановские) поля?