содержание .. 18 19 20 21 ..

Лекции по квантовой электродинамике - часть 20

Лекция 9. Квантование фермионов при помощи функционального интеграла. . .

Лекция 9

КВАНТОВАНИЕ ФЕРМИОНОВ ПРИ ПОМОЩИ

ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА. S-МАТРИЦА И ПРАВИЛА
ФЕЙНМАНА В КЭД

1. Фермионный осциллятор

Рассмотрим гармонический фермионный осциллятор, динамика которого описывается гамиль-

тонианом

H = ω a

†

a ,

(1)

где a

†

и a — взаимно сопряжённые фермионные операторы рождения и уничтожения:

{a, a

†

} = 1 ,

= 0 ,

†

)

= 0 .

(2)

Основное состояние | 0 i определяется условиями

a | 0 i = 0 ,

h 0 | 0 i = 1 .

(3)

Очевидно, что в теории имеется ещё лишь одно состояние, ортогональное к основному:

| 1 i = a

†

| 0 i ,

h 1 | 0 i = h 0 | a | 0 i = 0 ,

h 1 | 1 i = h 0 | a a

†

| 0 i = h 0 | 0 i = 1 .

(4)

Кроме того, в силу (1)-(3)

H | 0 i = 0 ,

H | 1 i = ω | 1 i .

(5)

Простейшая фермионная система (1)-(5) интересна тем, что дираковская система (59 Л8) явля-

ется суммой простейших ферми-систем.

Обратим внимание на следующий факт. Если бы гамильтониан был равен H = −ω α

†

α, где

фермионные операторы α

†

и α удовлетворяют соотношениям (2), а основное состояние |f; 0 i

удовлетворяет условию α |f; 0 i = 0 и |f; 1 i = α

†

|f; 0 i, то H |f; 0 i = 0, H |f; 1 i = −ω |f; 1 i.

В этом случае энергия возбуждённого состояния меньше энергии основного. Однако путём пе-

реопределения a = α

†

, a

†

= α, | 0 i = |f; 1 i, | 1 i = |f; 0 i мы приходим к ситуации, описанной

формулами (1)-(5) с той лишь разницей, что H = ω a

†

a − ω.

−m

Рис. 12

Здесь последнее слагаемое в гамильтониане соответствует энергии
вакуума E

(59 Л8). Таким образом, после переопределения новое

основное состояние совпадает с исходным возбуждённым или запол-
ненным состоянием. Описанная процедура переопределения называ-
ется операцией заполнения состояний с отрицательной энергией. В
результате, хотя основное состояние имеет отрицательную энергию,
все возбуждённые состояния имеют энергию б

′

ольшую, чем энергия

основного состояния. Мы видели, что в квантовой теории Дирака все
состояния с отрицательной энергией заполнены. На рис. 12 изобра-
жено основное состояние в теории Дирака. Заштрихованная область
спектра с энергиями меньше (−m) полностью заполнена.

2. Представление фермионных амплитуд

при помощи функциональных интегралов

Для решения этой задачи необходимо использование основ математического анализа над грас-

смановой алгеброй.

Пусть {a

, a

∗

} — образующие алгебры Грассмана над комплексными числами, α = 1, 2, . . . , n,

причём

)

∗

= a

∗

)

∗

= a

(6)

По определению

+ a

= a

∗

+ a

∗

= a

∗

+ a

∗

= 0 ,

c a

= a

c ,

c a

∗

= a

∗

c ,

(7)

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

где c — комплексное число. Других соотношений, кроме (7), между образующими грассмановой
алгебры нет. Из (7) следует, что

= a

= . . . = a

= (a

∗

)

= (a

∗

)

= . . . = (a

∗

)

= 0 .

(8)

Отсюда видно, что общий элемент грассмановой алгебры представляется в виде

f (a, a

∗

) = f = f

0|0

0|α

∗

|α

∗

+ . . . +

12 ... n|n(n−1) ... 1

. . . a

∗

n−1

. . . a

∗

(9)

где коэффициенты f

0|0

, f

и т. д. — комплексные числа. Определим производные на грассма-

новой алгебре при помощи следующих формул:

∂

∂ a

= δ

α β

∂

∂ a

∗

= δ

α β

∂

∂ a

∗

= 0 ,

∂

∂ a

∗

= 0 .

(10)

Представим элемент (9) в двух следующих видах:

f = f

+ a

= f

+ a

∗

(11)

где f

и f

не зависят от a

, а f

и f

не зависят от a

∗

. (В (11) нет суммирования по

α.) Вследствие (7) коэффициенты f

, f

определены однозначно элементом (9). Согласно

определению (10)

∂

∂ a

f = f

∂

∂ a

∗

f = f

(12)

Из сказанного следует, что

∂

∂ a

∂

∂ a

= −

∂

∂ a

∂

∂ a

∂

∂ a

∗

∂

∂ a

∗

= −

∂

∂ a

∗

∂

∂ a

∗

∂

∂ a

∂

∂ a

∗

= −

∂

∂ a

∗

∂

∂ a

(13)

Интегрирование на алгебре Грассмана определяется с помощью правил

d a

f = f

d a

∗

f = f

(14)

Кратный интеграл понимается как повторный. Например,

d a

∗

d a

f ≡

d a

∗

d a

∗

(15)

Введенное правило интегрирования оправдывается тем, что интеграл от полной производной равен
нулю:

d a

∂

∂ a

= 0 ,

d a

∗

∂

∂ a

∗

= 0 .

(16)

Из данных определений видно, что дифференциалы грассмановых образующих антиперестановоч-
ны:

d a

= − d a

d a

∗

d a

∗

= − d a

∗

d a

∗

d a

∗

= − d a

∗

d a

(17)

Обозначим через

d a

∗

d a ≡ d a

∗

d a

∗

. . . d a

∗

d a

n−1

. . . d a

(18)

Имеем:

d a

∗

d a f (a, a

∗

) = f

12 ... n|n(n−1) ... 1

(19)

Пусть полное множество образующих грассмановой алгебры состоит из двух множеств {a

, a

∗

}

и {η

, η

∗

}. Будем называть чётными (нечётными) элементами грассмановой алгебры те элемен-

ты, которые разлагаются по чётным (нечётным) суммарным степеням образующих грассмановой

Лекция 9. Квантование фермионов при помощи функционального интеграла. . .

алгебры. Суммарная степень (или просто степень) произведения образующих алгебры Грассмана
называется чётной (нечётной), если произведение составлено из чётного (нечётного) числа образу-
ющих. Таким образом, все образующие грассмановой алгебры являются нечётными элементами.

Пусть

˜a

= a

+ q

∗

= a

∗

+ p

∗

(20)

где q

, p

∗

— нечётные элементы, разлагающиеся лишь по образующим {η

, η

∗

}. Согласно данным

определениям (сравни с (19))

d a

∗

d a f (˜a, ˜a

∗

) = f

12 ... n|n(n−1) ... 1

d a

∗

d a f (a, a

∗

) ,

(21)

то есть сдвиг переменных интегрирования согласно равенствам (20) не изменяет значения интегра-
ла.

Сделаем линейную однородную замену образующих грассмановой алгебры:

= U

αβ

∗

= U

∗

αβ

∗

(22)

или, сокращённо

a = U b ,

∗ t

= b

∗ t

†

(22

′

)

Для интеграла (19) имеем:

12 ... n|n(n−1) ... 1

d a

∗

d a f (a, a

∗

) =

d a

∗

d a f (U b, b

∗ t

†

) =

d a

∗

d a f

12 ... n|n(n−1) ... 1

1α

) . . . (U

nα

)(U

∗

nβ

∗

) . . . (U

∗

1β

∗

) =

= f

12 ... n|n(n−1) ... 1

| det U|

d a

∗

d a b

. . . b

∗

. . . b

∗

то есть

| det U|

d a

∗

d a b

. . . b

∗

. . . b

∗

= 1 .

Отсюда следует заключение, что (!)

| det U|

d a

∗

d a = d b

∗

d b .

(23)

Подчеркнём, что при замене переменных (22) в случае коммутирующих переменных мы имели бы
d a

∗

d a = | det U|

d b

∗

d b.

Рассмотрим гауссов интграл

I =

d a

∗

d a exp (a

∗

αβ

) .

(24)

Будем считать, что все элементы A

αβ

— чётные. Имеем:

exp (a

∗

αβ

) = 1 + . . . +

∗

αβ

)

Нас интересует лишь последнее слагаемое, которое равно

∗

) . . . (a

∗

) = n! (det A) a

∗

. . . a

∗

. . . a

= (−1)

n! (det A) a

. . . a

∗

. . . a

∗

(25)

Поэтому в соответствии с (19) (общий знак здесь нас не интересует)

I = (det A) .

(26)

Рассмотрим теперь интеграл

I (η, η

∗

) =

d a

∗

d a exp (a

∗

αβ

+ i η

∗

+ i a

∗

) ,

(27)

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

где {η

, η

∗

} — образующие алгебры Грассмана, независимые от образующих {a

, a

∗

}. Если сдви-

нуть переменные интегрирования в (27) согласно (20) с q

= −i A

−1

αβ

, p

∗

= −i η

∗

−1

βα

, то интеграл

(27) переписывается как

I (η, η

∗

) =

d a

∗

d a exp (a

∗

αβ

) exp (η

∗

−1

αβ

) .

С учётом (26) окончательно получаем:

I (η, η

∗

) =

d a

∗

d a exp (a

∗

αβ

+ i η

∗

+ i a

∗

) = (det A) exp (η

∗

−1

αβ

) .

(28)

Далее мы будем использовать тот факт, что показатель экспоненты в правой части (28) ра-

вен экстремуму показателя экспоненты в левой части (28) относительно переменных интегриро-
вания {a

, a

∗

}, рассматриваемых как независимые переменные. Действительно, дифференцируя

показатель экспоненты в левой части (28) и приравнивая результат нулю, находим экстремальные
значения переменных:

(cl)

= −i A

−1

αβ

∗ (cl)

= −i η

∗

−1

βα

(29)

Подставляя значения (29) в показатель экспоненты в левой части (28) мы получаем показатель
экспоненты в правой части (28). В этом отношении фермионные гауссовы интегралы аналогичны
бозонным.

Теперь разработаем аппарат для фермионных операторов и фермионных фоковских пространств

в голоморфном представлении. Для простоты ограничимся одной степенью свободы. Обобщение на
многомерный случай очевидно.

Голоморфными функциями назовём элементы грассмановой алгебры, зависящие только от a

∗

f (a

∗

) = f

+ f

∗

(30)

Множество таких функций образует двумерное пространство, и мы используем их для представ-
ления векторов состояний системы (1)-(5). Скалярное произведение в пространстве голоморфных
функций определяется формулой

h f | g i =

d a

∗

d a (f (a

∗

))

∗

g (a

∗

) e

−a

∗

(f (a

∗

))

∗

= f

∗

+ f

∗

a .

(31)

Легко проверить, что

h f | g i = f

∗

+ f

∗

= h g | f i

∗

(32)

Таким образом, комплексное линейное пространство функций (30) образует двумерное комплексное
евклидово (или эрмитово) пространство с ортонормированным базисом (ψ

= 1, ψ

= a

∗

). Согласно

(32)

h ψ

| ψ

i = h ψ

| ψ

i = 1 ,

h ψ

| ψ

i = 0 .

Операторы a

†

и a действуют в пространстве (30) следующим образом:

†

f (a

∗

) = a

∗

f (a

∗

) ,

a f (a

∗

) =

d a

∗

f (a

∗

) .

(33)

Если введенный базис представить базисными векторами в двумерном эрмитовом пространстве как

0
1

1
0

(34)

то операторы a

†

и a в этом базисе представляются матрицами

†

0 1
0 0

a =

0 0
1 0

(35)

откуда очевидна их взаимная сопряжённость, а также правила антикоммутации (2).

Опишем способы задания операторов в голоморфном представлении. Запишем оператор общего

вида:

A = K

+ K

†

+ K

a + K

†

a .

(36)

содержание .. 18 19 20 21 ..