Лекции по квантовой электродинамике - часть 21

Лекция 9. Квантование фермионов при помощи функционального интеграла. . .

86

Оператору (36) сопоставим его нормальный символ

K (a

∗

, a) = K

00

+ K

10

a

∗

+ K

01

a + K

11

a

∗

a

(37)

и ядро

A (a

∗

, a) = A

00

+ A

10

a

∗

+ A

01

a + A

11

a

∗

a .

(38)

По определению действие оператора (36) задаётся в гломорфном представлении согласно правилу
(сравни с (10 Л2))

(A f ) (a

∗

) ≡

Z

A (a

∗

, α) f (α

∗

) e

−α

∗

α

d α

∗

d α .

(39)

Отсюда находим:

A ψ

0

= A

00

ψ

0

+ A

10

ψ

1

,

A ψ

1

= A

01

ψ

0

+ A

11

ψ

1

,

откуда видно, что матрица ядра и матрица оператора

A

m n

= h m | A | n i ,

m, n = 0, 1

(40)

совпадают (сравни с (11 Л2) и (12 Л2)). Произведение операторов в голоморфном представлении
задаётся формулой

(A

1

A

2

) (a

∗

, a) =

Z

A

1

(a

∗

, α) A

2

(α

∗

, a) e

−α

∗

α

d α

∗

d α .

(41)

Для записи (39) и (41) необходимо было ввести две новые образующие грассмановой алгебры
(α

∗

, α), которые и далее будут вводиться по мере необходимости.
Подставляя оператор (36) в (40), находим:

A

00

= K

00

,

A

10

= K

10

,

A

01

= K

01

,

A

11

= K

00

+ K

11

.

Отсюда видно, что связь между ядром оператора и его нормальным символом такова (сравни с (13
Л2)):

A (a

∗

, a) = e

a

∗

a

K (a

∗

, a) .

(42)

Поскольку ядро S-матрицы для одномерного бозонного осциллятора (28 Л2) было получено

при помощи лишь двух формул (12 Л2) и (13 Л2), аналоги которых в фермионном случае (41)
и (42) имеют точно такой же вид, то выражение для S-матрицы фермионного гармонического
осциллятора с внешним антикоммутирующим источником η и гамильтонианом

h = ω a

∗

a −

1

√

2 ω

(η

∗

a + a

∗

η)

(43)

может быть выписано при помощи справедливых также и в фермионном случае формул (15 Л2) и
(26 Л2). Однако в фермионном случае следует учитывать антикоммутативность образующих грас-
смановой алгебры и правило вычисления гауссовых функциональных интегралов (28). В результате
в фермионном случае мы получим следующее выражение для оператора S-матрицы:

S

η

(a

†

, a) =

1

N

: exp







i

√

2 ω

Z

d t [η

∗

(t) a e

−i ω t

+ a

†

η (t) e

i ω t

] + i

Z Z

s<t

d t d s η

∗

(t)

i e

−i ω (t−s)

2 ω

η (s)







:

(44)

Выражение (44) формально совпадает с оператором S-матрицы, следующим из формулы (27 Л2).

Заметим, что в фермиевском случае операция нормального упорядочения : . . . : приводит произ-

ведение фермиевских операторов к нормальному виду с учётом их антикоммутативности. Напри-
мер, : a

1

a

†

2

a

3

:= −a

†

2

a

1

a

3

.

3. Функциональный интеграл в теории Дирака

87

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

В теории Дирака аналогом одночастичного гамильтониана (43) является гамильтониан (см. (33

Л8))

H

ψ

=

Z

d

(3)

x {ψ (−i γ

i

∂

i

+ m) ψ − (ψ η + η ψ)} ,

(45)

в котором дираковские поля представляются согласно (46 Л8) и фермиевские операторы рождения
и уничтожения удовлетворяют антикоммутационным соотношениям (54 Л8), (58 Л8), поля η (x)
η (x) — антикоммутирующие. Согласно (59 Л8) выражение (45) переписывается в виде

H

ψ

=

Z

d

(3)

k

(2 π)

3

(

ω

k

X

s=1,2

(a

†

k

s

a

k

s

+ b

†

k

s

b

k

s

) −

1

√

2 ω

k

[γ

k s

a

k

s

+ a

†

k

s

δ

k s

− δ

−k s

b

k

s

− b

†

k

s

γ

−k s

]

)

,

γ

±k s

(t) = ˜

η

±k

(t) u

±k s

,

δ

±k s

(t) = u

±k s

˜

η

±k

(t) ,

˜

η

k

(t) =

Z

d

(3)

x η (x) e

−i k x

,

˜

η

k

(t) =

Z

d

(3)

x η (x) e

i k x

,

(46)

Представление (46) показывает, что дираковский гамильтониан (45) распадается на сумму одноча-
стичных гамильтонианов вида (43). Поэтому оператор S-матрицы равен

S

η

(a

†

, a) =

1

N

: exp

i

Z

d

(4)

x (η ψ

0

+ ψ

0

η)+

+i

Z Z

s<t

d t d s

Z

d

(3)

k

(2 π)

3

i e

−i ω

k

(t−s)

2 ω

k

X

s=1, 2

[γ

k s

(t) δ

k s

(s) − γ

−k s

(s) δ

−k s

(t)]







: .

(47)

При помощи формул (56 Л8) преобразуем суммы в экспоненте следующим образом:

X

s=1, 2

γ

k s

(t) δ

k s

(s) = ˜

η

k

(t) (6k + m) ˜η

k

(s) ,

−

X

s=1, 2

γ

−k s

(s) δ

−k s

(t) = ˜

η

−k

(s) (− 6k + m) ˜η

−k

(t) ,

где k = (ω

k

, k). Последние равенства позволяют преобразовать второе слагаемое в экспоненте в

(47) сначала к виду

i

Z Z

d x

0

d y

0

Z

d

(4)

k

(2 π)

4

e

−i k

0

(x

0

−y

0

)

−k

2

+ m

2

− i ε

˜

η

k

(x

0

) (6k + m) ˜η

k

(y

0

) ,

и затем к

i

Z

d

(4)

x d

(4)

y η (x) (i γ

µ

∂

µ

+ m) D

c

(x − y) η (y) ,

(48)

где D

c

(x − y) определена согласно (49 Л2). Определим дираковский пропагатор как

S

c

(x − y) = −(i γ

µ

∂

µ

+ m) D

c

(x − y) =

Z

d

(4)

k

(2 π)

4

6k + m

k

2

− m

2

+ i ε

e

−ik (x−y)

=

Z

d

(4)

k

(2 π)

4

S

c

(k) e

−ik (x−y)

,

S

c

(k) =

6k + m

k

2

− m

2

+ i ε

= (6k − m + i ε)

−1

,

(i γ

µ

∂

µ

− m) S

c

(x − y) = δ

(4)

(x − y) .

(49)

Таким образом

S

η

(a

†

, b

†

, a, b) =

1

N

: exp

i

Z

d

(4)

x (η ψ

0

+ ψ

0

η) − i

Z

d

(4)

x d

(4)

y η (x) S

c

(x − y) η (y)



: ,

ψ

0

(x) = ψ

(+)

0

(x) + ψ

(−)

0

(x) ,

ψ

0

(x) = ψ

(+)
0

(x) + ψ

(−)

0

(x) ,

ψ

(+)

0

(x) =

Z

d

(3)

k

(2 π)

3

1

√

2 ω

k

X

s=1,2

a

k

s

u

k s

e

−i k x

,

ψ

(−)

0

(x) =

Z

d

(3)

k

(2 π)

3

1

√

2 ω

k

X

s=1,2

b

†

k

s

u

−k s

e

i k x

,

ψ

(+)
0

(x) =

Z

d

(3)

k

(2 π)

3

1

√

2 ω

k

X

s=1,2

b

k

s

u

−k s

e

−i k x

,

ψ

(−)

0

(x) =

Z

d

(3)

k

(2 π)

3

1

√

2 ω

k

X

s=1,2

a

†

k

s

u

k s

e

i k x

, (50)

Лекция 9. Квантование фермионов при помощи функционального интеграла. . .

88

где k = (ω

k

, k).

Укажем, что правая часть уравнения (50) может быть получена также при помощи формулы

(28) путём прямого вычисления фермионного функционального интеграла (сравни с (44 Л7))

Z

D ψ D ψ exp

i

Z

d

(4)

x [ψ ( i γ

µ

∂

µ

− m) ψ + η ψ + ψ η]



(51)

с граничными условиями, фиксирующими при t → −∞ положительночастотные составляющие
полей ψ

(+)

0

(x) и ψ

(+)
0

(x) и при t → +∞ — отрицательночастотные составляющие полей ψ

(−)

0

(x)

и ψ

(−)

0

(x) согласно (50). В (51) дираковская функциональная мера

D ψ D ψ

≡

Y

x

Y

a

d ψ

a

(x) d ψ

a

(x) = const ·

Y

t

Y

k

Y

s

d a

∗

k

s

(t) d a

k

s

(t) d b

∗

k

s

(t) d b

k

s

(t) .

(52)

Это утверждение легко проверяется, если учесть, что экстремальное значение показателя экспонен-
ты в (51) при указанных граничных условиях достигается на полях (сравни с (53 Л2))

ψ

(cl)

(x) = ψ

0

(x) −

Z

d

(4)

y S

c

(x − y) η (y) ,

ψ

(cl)

(x) = ψ

0

(x) −

Z

d

(4)

y η (y) S

c

(y − x) .

(53)

Подстановка полей (53) в экспоненту в (51) опять приводит к (50).

Второе равенство в (52) легко получается из соотношения для интегралов от квадратичных

форм дифференциалов фермионных переменных:

Z

d

(3)

x d ψ(x) d ψ(x) =

Z

d

(3)

k

(2 π)

3

X

s=1,2

m

ω

k

(d a

∗

k

s

d a

k

s

+ d b

∗

k

s

d b

k

s

) .

(54)

При выводе (54) фермионные операторы {a

k

s

, b

k

s

, a

†

k

s

, b

†

k

s

} в выражениях для дираковских

полей (46 Л8) заменяются на соответствующие грассмановы переменные и используются формулы
(57 Л8).

4. Общая формула для S-матрицы в КЭД и простейшие

амплитуды

Мы можем, наконец, собрать все формулы вместе и выписать общее выражение для S-матрицы

в КЭД при помощи континуального интеграла по бозонным и фермионным полям:

S

J,η,η

=

1

N

Z

exp

i

Z

d

(d)

x



−

1

16π

F

2

µν

−

1

8πα

(∂

µ

A

µ

)

2

+

+ ψ(iγ

µ

∇

µ

− m)ψ + J

µ

A

µ

+ η ψ + ψ η

  DA

µ

D ψ Dψ .

(55)

Граничные условия для полей при |t| → ∞ указаны в лекции 7 и предыдущем пункте. Как

обычно, для развития ТВ действие в экспоненте в (55) разбивается на квадратичную (линейную) и
нелинейную части. Последняя описывает взаимодействие:

S = S

0

{ A, ψ, ψ; J, η, η } + S

int

,

iS

int

= −ie

Z

d

(d)

x A

µ

ψ

a

γ

µ

ab

ψ

b

.

(56)

Представим S

int

в виде дифференциального оператора

i ˆ

S

int

= −e

Z

d

(d)

x

δ

δJ

µ

δ

δη

a

γ

µ

ab

δ

δ η

b

,

(57)

который может находиться как под знаком функционального интеграла, так и вне его. Это позво-
ляет переписать выражение (55) в виде

S =

1

N

exp

−e

Z

d

(4)

x

δ

δJ

µ

(x)

δ

δη

a

(x)

γ

µ

ab

δ

δ η

b

(x)



: exp

i

Z

d

(4)

x (− J A

0

+ η ψ

0

+ ψ

0

η)+

89

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

+i

Z

d

(4)

x d

(4)

y

 1

2

J

µ

(x) D

α

µν

(x − y) J

ν

(y) − η(x) S

c

(x − y) η(y)



:






J, η, η=0

,

(58)

где пропагаторы D

α

µν

и S

c

задаются формулами (53 Л7) и (49), соответственно. Асимптотические

поля A

0

, ψ

0

, ψ

0

разлагаются согласно (см. (47 Л7) и (46 Л8))

A

0

(x) =

X

α=1,2

Z

d

(3)

k

(2π)

3

s

2π

| k |

(c

k α

e

k α

e

−ikx

+ c

†

k α

e

∗

k α

e

ikx

) ,

ψ

0

(x) =

Z

d

(3)

k

(2π)

3

1

√

2ω

k

X

s=1, 2

(a

k s

u

ks

e

−ikx

+ b

†

ks

u

−ks

e

ikx

) ,

ψ

0

(x) =

Z

d

(3)

k

(2π)

3

1

√

2ω

k

X

s=1, 2

(b

k s

u

−ks

e

−ikx

+ a

†

ks

u

ks

e

ikx

) .

(59)

Здесь вектора поляризации фотонов e

k α

удовлетворяют условиям (55 Л7), а спиноры u

ks

, u

−ks

—

уравнениям (38 Л8) и условиям (57 Л8). Коммутационные или антикоммутационные соотношения
операторов рождения и уничтожения имеют вид (33 Л7) и (54 Л8), (58 Л8). Вакуумное состояние
определяется условиями

a

k s

| 0 i = b

k s

| 0 i = c

k α

| 0 i = 0 ,

а, например, состояние электрона с импульсом p и спином s и позитрона с импульсом q и
спином s

′

и фотона с импульсом k и поляризацией α имеет вид

| p s, qs

′

, k α i =

q

2ω

p

2ω

q

2| k | a

†

p s

b

†

q

s

′

c

†

k α

| 0 i ,

и т.д.

Из выражения (58) получаем также амплитуду перехода из вакуума в вакуум в присутствии

внешних источников:

Z(J, η, η) =

1

N

exp

−e

Z

d

(4)

x

δ

δJ

µ

δ

δη

a

γ

µ

ab

δ

δ η

b



·

· exp

i

Z

d

(4)

x d

(4)

y

 1

2

J

µ

(x) D

α

µν

(x − y) J

ν

(y) − η(x) S

c

(x − y) η(y)



.

(60)

Укажем здесь, что при комплексном значении параметра размерности пространства d базовое

соотношение для матриц Дирака (5 Л8) остаётся в силе, в то время как ряд других принимают
следующий вид:

g

µν

g

µν

= d ,

γ

µ

γ

µ

= d ,

tr γ

µ

γ

ν

= 2

d/2

η

µν

.

(61)

Поэтому если в (63 Л8) определить

2

d/2

T

µ

1

µ

2

...µ

n

= tr(γ

µ

1

γ

µ

2

. . . γ

µ

n

) ,

то все формулы для этой величины, полученные в лекции 8, сохраняются. Парадоксы возникают
при комплексном d лишь при работе с γ

5

-матрицей, однако с этим парадоксом нам придётся

столкнуться лишь в лекции, посвящённой аксиальной аномалии.

При комплексном значении размерности пространства d выражения для S-матрицы (58) и про-

изводящего функционала (60) регуляризованы. При этом сохранена калибровочная инвариантность
теории, поскольку эта симметрия имеет место при любом d.

Рассмотрим простейший процесс рассеяния двух электронов в два электрона. Для этого сле-

дует выражение для оператора S-матрицы (58) поместить в обкладки между бра-состоянием
h 0 | a

p

′

1

s

′

1

a

p

′

2

s

′

2

и кет-состоянием a

†

p

2

s

2

a

†

p

1

s

1

| 0 i. Здесь p

i

, s

i

и p

′

i

, s

′

i

, i = 1, 2 — импульсы и

спины начальных и конечных электронов. Чтобы сократить запись формул, мы будем писать u

1

вместо u

p

1

s

1

и u

′

2

вместо u

p

′

2

s

′

2

, u

−1

вместо u

−p

1

s

1

, и т.д. Наинизший порядок, в котором ам-

плитуда этого процесса отличается от нуля, получается при разложении первой экспоненты в (58)
до второго порядка, что даёт вклад в S-матрицу

ie

2

2!

:

Z

d

(4)

x d

(4)

y [ψ

0

(x)γ

µ

ψ

0

(x)] [ψ

0

(y)γ

ν

ψ

0

(y)] : D

α

µν

(x − y) .

(62)