Лекции по квантовой электродинамике - часть 22

Лекция 9. Квантование фермионов при помощи функционального интеграла. . .

90

Поскольку поле ψ

0

удовлетворяет уравнению Дирака, то ∂

µ

[ψ

0

(x)γ

µ

ψ

0

(x)] = 0, и потому продоль-

ная часть фотонного пропагатора в (62) выпадает, в качестве фотонного пропагатора можно взять
D

1

µν

∼ η

µν

. Мы видим, что физические величины не зависят от калибровки. Это утверждение имеет

место во всех порядках теории возмущений. Помещая выражение (62) в указанные выше обкладки,
в результате простых вычислений получаем для амплитуды iM:

iM = 4πi e

2

t

(u

′

2

γ

µ

u

2

) (u

′

1

γ

µ

u

1

) −

1

u

(u

′

2

γ

µ

u

1

) (u

′

1

γ

µ

u

2

)



,

(63)

где используются введенные согласно (27 Л4) инварианты

s = (p

1

+ p

2

)

2

, t = (p

1

− p

′

1

)

2

, u = (p

1

− p

′

2

)

2

,

p

µ
1

+ p

µ
2

= p

′µ

1

+ p

′µ

2

.

(64)

Формула для сечения рассеяния σ двух частиц в две частицы в системе центра инерции со-

держится в Приложении (см. (А19)). Пусть ε = p

0

1

+ p

0

2

— полная энергия, p

1

= − p

2

≡ p и

p

′

1

= − p

′

2

≡ p

′

— начальный и конечный импульсы. Тогда в нашем случае

d σ = |

M |

2

64π

2

ε

2

d o

′

,

(65)

где d o

′

— дифференциал телесного угла конечного импульса p

′

. В системе центра инерции

t = −(p

1

− p

′

1

)

2

= −4 p

2

sin

2

θ
2

,

u = −4 p

2

cos

2

θ
2

,

− d t = 2 p

2

| d cos θ| =

p

2

π

d o

′

,

(66)

где θ — угол рассеяния.

Рассмотрим это сечение в нерелятивистском пределе, когда согласно (42 Л8)

u

′

γ

µ

u = 2m w

′†

w δ

µ

0

.

(67)

Подставим (63) с учётом (67) в (65) и усредним по начальным спинам электронов (то есть заменим
везде w

α

w

∗

β

→

1
2

δ

αβ

для начальных частиц):

d σ = e

4

m

2

(

1

4t

2

+

1

4u

2

− 2

(u

′†

1

u

2

)

2

4tu

)

d o

′

.

(68)

Теперь просуммируем независимо по спинам конечных частиц. В результате получим:

d σ = e

4

m

2

 1

t

2

+

1

u

2

−

1

tu



d o

′

=



e

2

mv

2



2

 

1

sin

4 θ

2

+

1

cos

4 θ

2

−

1

sin

2 θ

2

cos

2 θ

2

!

d o

′

,

(69)

где v = 2 p /m — относительная скорость электронов. Сечение (69) совпадает с известным резуль-
татом в нерелятивистской теории.

Графически амплитуда (63) представляется в виде суммы двух следующих диаграмм Фейнмана:

p

1

p

1

p

2

p

2

p

′

1

p

′

1

p

′

2

p

′

2

(a)

(b)

Рис.13

Укажем, что в используемой системе единиц

e

2

~

c

=

1

137, 04

.

(70)

91

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Вычислим теперь в наинизшем порядке упругую амплитуду рассеяния электрона на позитроне.

Для этого следует вычислить выражение (62) в обкладках h 0 | a

p

′

1

s

′

1

b

p

′

2

s

′

2

и b

†

p

2

s

2

a

†

p

1

s

1

| 0 i:

iM = 4πi e

2

s

(u

′

1

γ

µ

u

′

−2

) (u

−2

γ

µ

u

1

) −

1

t

(u

−2

γ

µ

u

′

−2

) (u

′

1

γ

µ

u

1

)



,

(71)

где s, t и u задаются согласно (64). Амплитуда (71) представляется двумя диаграммами:

p

1

p

1

−p

2

−p

2

p

′

1

p

′

1

−p

′

2

−p

′

2

(a)

(b)

Рис. 14

Легко увидеть, что амплитуда (71) получается из амплитуды (63) (и наоборот) путём замены p

2

→

−p

′

2

, p

′

2

→ −p

2

, При этом происходят замены t ↔ t, u ↔ s, диаграмма (a) на рис. 13 переходит в

диаграмму (b) на рис. 14, диаграмма (b) на рис. 13 переходит в диаграмму (a) на рис. 14.

5. Правила Фейнмана для КЭД

Рассмотренные два примера для амплитуд (63) и (71) помогают понять правила Фейнмана для

диаграммной техники при вычислении амплитуды рассеяния iM (в импульсном представлении).
Эти правила выводятся при помощи выражения для S-матрицы (58).

1. Приближению n-ого порядка ТВ отвечают диаграммы с n вершинами, в каждой из которых

сходятся одна входящая и одна выходящая электронные (сплошные) и одна фотонная (волнистая)
линии. В амплитуду процесса рассеяния входят все диаграммы, имеющие свободные концы (внеш-
ние линии) в числе, равном числу начальных и конечных частиц.

2. Каждой внешней входящей сплошной линии сопоставляется амплитуда начального электрона

u

p

или конечного позитрона u

−p

(p — 4-импульс частицы). Каждой выходящей сплошной линии

сопоставляется амплитуда конечного электрона u

p

или начального позитрона u

−p

.

3. Каждой вершине сопоставляется 4-вектор (−ieγ

µ

).

4. Каждой внешней входящей волнистой линии сопоставляется амплитуда начального фотона

√

4π e

µ

, а выходящей линии — амплитуда

√

4π e

∗

µ

конечного фотона (e — 4-вектор поляризации

фотона). Векторный индекс µ совпадает с индексом матрицы γ

µ

в соответствующей вершине

(так что возникает скалярное произведение γ

µ

e

µ

или γ

µ

e

∗

µ

).

5. Каждой внутренней сплошной линии сопоставляется множитель iS

c

(p) = i (6p − m + iε)

−1

,

а внутренней волнистой линии — множитель (−iD

α

µν

(p)) = (−i)

4 π

p

2

+iε

h

η

µν

−

(1−α)p

µ

p

ν

p

2

+iε

i

. Тензорные

индексы µ ν совпадают с индексами матриц γ

µ

, γ

ν

в вершинах, соединяемых волнистой линией.

6. Вдоль каждой непрерывной последовательности электронных линий стрелки имеют неизмен-

ное направление, а расположение биспинорных индексов вдоль них соответствует записи матриц
слева направо при движении против стрелок. Замкнутой электронной петле отвечает след произ-
ведения расположенных вдоль неё матриц.

7. В каждой вершине 4-импульсы пересекающихся в ней линий удовлетворяют закону сохране-

ния, то есть сумма импульсов входящих линий равна сумме импульсов выходящих линий. Импуль-
сы свободных концов — заданные (с соблюдением общего закона сохранения 4-импульса) величи-
ны, причём позитронной линии приписывается 4-импульс (−p). По импульсам внутренних линий,

остающимся нефиксированными после учёта законов сохранения во всех вершинах, производится
интегрирование (по d

(4)

p/(2π)

4

).

8. Входящему свободному концу, отвечающему внешнему электромагнитному полю, сопостав-

ляется множитель A

(e)

(q) =

R

d

(4)

x e

ikx

A

(e)

(x); 4-вектор q связан с 4-импульсами сплошных

электрон-позитронных линий в этой же вершине законом сохранения. Если поле не зависит от вре-
мени, свободному концу сопоставляется множитель A

(e)

(q) =

R

d

(3)

x e

−iq x

A

(e)

(x), а по остающим-

ся нефиксированными трёхмерным импульсам внутренних линий производится интегрирование по
d

(3)

p/(2π)

3

.

Лекция 9. Квантование фермионов при помощи функционального интеграла. . .

92

9. Дополнительный множитель (−1) привносится в выражение для iM каждой замкнутой

электронной петлёй и каждой парой позитронных внешних концов, если эти концы — начало и ко-
нец одной последовательности сплощных линий. Если среди начальных или среди конечных частиц
имеется несколько электронов или позитронов, то относительный знак диаграмм, различающихся
нечётным числом перестановок пар тождественных частиц (т. е. соответствующих им внешних кон-
цов), должен быть противоположным.

Последнее правило означает, в частности, что одинаковыми знаками должны обладать диаграм-

мы с одинаковыми сплошными линиями, т. е. диаграммы, которые оказались бы тождественными
после снятия с них всех фотонных линий. Укажем также, что при наличии тождественных фер-
мионов общий знак амплитуды условен. Однонаправленность стрелок вдоль фермионных линий
(правило 6) очевидно из того, что любая фермионная линия даёт в диаграмму множитель вида

. . . γ

µ

S

c

(x − y) γ

ν

S

c

(y − z) γ

λ

S

c

(z − u) . . .

Если определить направление стрелки фермионногой линии совпадающим с направлением распро-
странения электрона, то в пропагаторе iS

c

(x − y) стрелка направлена от точки y к точке x.

Действительно, согласно задаче 1.в) при x

0

> y

0

величина iS

c

(x − y) является амплитудой рас-

пространения электрона из точки y к точке x и при x

0

< y

0

— амплитудой распространения

позитрона от точки x к точке y. Так как направление стрелки пропагатора не зависит от значе-
ния его аргументов, то мы видим, что вдоль стрелок электрон-позитронной линии распространяется
электрон, а против стрелок —позитрон.

Задачи

1. Определим хронологически упорядоченное произведение от любого числа дираковских полей в
представлении Гейзенберга

(T ψ

a

1

(x

1

) . . . ψ

a

l

(x

l

) ψ

a

l

+1

(x

l+1

) . . . ψ

a

m

(x

m

) )

как произведение всех этих операторов, расположенных справа налево в порядке возрастания их
временных аргументов, причём знак этого произведения определяется чётностью перестановки,
которую нужно произвести, чтобы получить этот порядок из порядка, указанного под знаком T -
произведения.

а) Показать, что

h 0 | (T ψ

a

1

(x

1

) . . . ψ

a

l

(x

l

) ψ

a

l

+1

(x

l+1

) . . . ψ

a

m

(x

m

) ) | 0 i =

=

1

Z

 1

i



m

(−1)

m−l

δ

δ η

a

1

(x

1

)

. . .

δ

δ η

a

l

(x

l

)

δ

δ η

a

l

+1

(x

l+1

)

. . .

δ

δ η

a

m

(x

m

)

Z






J, η, η=0

.

б) Показать, что этот коррелятор не равен нулю лишь если m = 2l.

Указание. В функциональном интеграле (55) (под знаком которого имеются усредняемые поля)

сделать глобальное преобразование полей

ψ → e

i α

ψ ,

ψ → e

−i α

ψ ,

η → e

i α

η ,

η → e

−i α

η

и учесть, что при этом мера D ψ D ψ инвариантна.

в) Показать, что в свободной теории

i S

c

(x − y) = h 0 | T ψ (x) ψ (y) | 0 i

93

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

2. Сформулировать и доказать теорему Вика для фермиевских операторов рождения и уничтоже-
ния.

3*. Вычислить сечение рассеяния фотона на электроне (эффект Комптона) в наинизшем прибли-
жении, считая начальные частицы неполяризованными и не фиксируя спины конечных частиц.
Используя формулу (А22) выписать ответ через инвариантные переменные Мандельстама и затем
перейти в систему отсчёта покоя электрона. Рассмотреть случай ω ≪ m (здесь ω — энергия началь-

ного фотона, m — энергия покоя электрона) и сравнить ответ с классической нерелятивистской
формулой Томсона.

Ответ:

d σ = 8π

 e

2

m



2

m

2

d t

(s − m

2

)

2

m

2

s − m

2

+

m

2

u − m

2



2

+



m

2

s − m

2

+

m

2

u − m

2



−

1
4

 s − m

2

u − m

2

+

u − m

2

s − m

2

 

.

4. Используя ответ предыдущей задачи, получить ответ для дифференциального сечения процесса
аннигиляции электрон-позитронной пары в два фотона. Считать начальные частицы неполяризо-
ванными и спины конечных частиц нефиксированными.

5. a) Пусть H (a

†

, a) — оператор Гамильтона фермионной системы. Представить квантовую стати-

стическую сумму

Z(β) = tr e

−β H

в виде функционального интеграла в голоморфном представлении.

б) Вычислить статистическую сумму гармонического осциллятора (с точностью до множителя,

зависящего лишь от температуры) в голоморфном представлении в присутствии внешнего источ-
ника. Используя эту статистическую сумму, найти хронологический коррелятор h ˆ

T

τ

a

†

(τ

1

)a(τ

2

)i в

представлении Мацубары. При помощи полученной формулы найти также статистические средние



tr e

−β H

a

†

a

 / tr e

−β H

и tr e

−β H

a a

†

 / tr e

−β H

.