Лекции по квантовой электродинамике - часть 23

Лекция 10. Теорема Фарри, тождество Уорда-Такахаши и условия перенормировки

94

Лекция 10

ТЕОРЕМА ФАРРИ, ТОЖДЕСТВО УОРДА-ТАКАХАШИ И

УСЛОВИЯ ПЕРЕНОРМИРОВКИ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

В этой лекции предполагается, что функциональный интеграл (

??) вычисляется при d = 4 − ε и,

таким образом, является регуляризованным.

1. Теорема Фарри

Докажем теорему Фарри, утверждающую, что диаграммы, содержащие хотя бы один нечёт-

ный замкнутый спинорный цикл (петлю), взаимно аннулируются. Рассмотрим некую фермионную
петлю, изображённую на рис. 15.

1

2

3

n

Рис.15

Пусть при обходе петли в направлении стрелок индекс j следует за индексом i и k

ji

есть

4-импульс линии, соединяющей вершины i и j и направленный от вершины i к вершине j.
Кроме петли на рис. 15, содержащейся в некой диаграмме, обозначаемой L

+

, имеется диаграмма

L

−

, отличающаяся от L

+

лишь тем, что она содержит такую же петлю с обращёнными стрелками.

Сумма этих двух диаграмм (а точнее — самих петель) равна нулю при нечётном числе n вершин
этих петель.

Множитель в диаграмме L

+

, соответствующий петле на рис. 15 (до проведения интегрирования

по импульсам), равен

l

+

= (−1) tr

γ S

c

(k

n (n−1)

) . . . γ S

c

(k

21

) γ S

c

(k

1n

)

 .

(1)

Воспользуемся тем, что ни один результат теории Дирака не изменяется при замене (см. (79 Л8))

γ

µ

→ −γ

µ t

= U

−1

C

γ

µ

U

C

.

(2)

Действительно, при замене (2) остаются инвариантными как фундаментальные соотношения γ-
матриц (5 Л8), так и вся алгебра матриц Дирака, включая значения следов произведения матриц
Дирака, Поэтому в результате замены (2) находим:

l

+

= −(−1)

n

trγ

t

S

t

c

(k

(n−1) n

) . . . γ

t

S

t

c

(k

12

) γ

t

S

t

c

(k

n1

)

 =

= −(−1)

n

trγ S

c

(k

n1

) γ S

c

(k

12

) . . . γ S

c

(k

(n−1) n

)

 = (−1)

n

l

−

,

где

l

−

— соответствующая петля в диаграмме

L

−

. Отсюда видно, что при нечётном

n

l

+

+ l

−

= 0 −→ L

+

+ L

−

= 0, что и требовалось доказать.

2. Тождество Уорда-Такахаши

Сделаем в функциональном интеграле (55 Л9) замену переменных

ψ(x) = e

iα(x)

ψ

′

(x),

ψ(x) = ψ

′

(x) e

−iα(x)

(3)

95

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

и будем считать поле α(x) бесконечно малым. Учитывая вклад в интеграл лишь первого порядка
относительно поля α и тот факт, что D ψ Dψ = D ψ

′

Dψ

′ 1

, получаем следующее равенство

1

N

Z

exp i S{A, ψ, ψ; J, η, η}

 DA D ψ Dψ =

=

1

N

Z

exp i S{A, ψ

′

, ψ

′

; J, η, η}

1 + i

Z

d

(d)

x α[∂

µ

J

′µ

+ i(η ψ

′

− ψ

′

η)]



DA D ψ

′

Dψ

′

.

(4)

Здесь S{A, ψ

′

, ψ

′

; J, η, η} — действие в экспоненте в интеграле (55 Л9), J

′µ

= ψ

′

γ

µ

ψ

′

, а нормировоч-

ный множитель N — такой же функциональный интеграл, как в (4), но с нулевыми источниками.
Сравнивая обе части последнего равенства, мы видим, что равна нулю та величина, которая про-
порциональна полю α(x). Так как поле α(x) — произвольно, то мы имеем в каждой точке x
следующее равенство:

∂

∂x

µ

h J

µ

(x) i = −i η(x)h ψ(x) i + ih ψ(x) i η(x) .

(5)

Теперь вычислим повторные функциональные производные δ/δ η(x

1

)

 δ/δη(x

2

)

от равенства (5),

затем положим источники равными нулю. При этом следует учесть, что обе части равенства (5)
являются рядами по источникам, коэффициентные функции при степенях которых есть хроноло-
гически упорядоченные средние, и операторы частных производных ∂/∂x

µ

, δ/δη(x

1

), δ/δ η(x

2

)

взаимно (анти)коммутируют. В результате находим:

∂

∂x

µ

h 0 | T J

µ

(x) ψ(x

1

) ψ(x

2

) | 0 i =

= −δ

(d)

(x − x

1

) h 0 | T ψ(x

1

) ψ(x

2

) | 0 i + δ

(d)

(x − x

2

) h 0 | T ψ(x

1

) ψ(x

2

) | 0 i .

(6)

Заметим, что вследствие трансляционной инвариантности все корреляторы зависят лишь от разно-
стей координат. Поэтому

h 0 | T J

µ

(x) ψ(x

1

) ψ(x

2

) | 0 i ≡

≡

Z

d

(d)

y

1

d

(d)

y

2

i S(x

1

− y

1

)

 Γ

µ

(y

1

− x, x − y

2

)

i S(y

2

− x

2

)

 ,

(7)

где

S

(x − y) = −i h 0 | T ψ(x) ψ(y) | 0 i

(8)

— точный электрон-позитронный пропагатор, а Γ

µ

(y

1

− x, x − y

2

) — вершинный оператор (в ко-

ординатном пространстве).

Приведём все диаграммы вершинного оператора с точностью до величин пятого порядка:

−ieΓ

≈

y

2

y

1

x

Рис.16

Из определения вершинного оператора (7) видно, что первое слагаемое справа на рис. 16 равно

−i e γ

µ

δ

(d)

(y

1

− x) δ

(d)

(x − y

2

). Таким образом, вершинный оператор есть сумма всех диаграмм с

двумя фермионными и одной фотонной внешними ампутированными линиями.

1

Вопрос об инвариантности дираковской функциональной меры в регуляризованной теории обсуждается также в

Лекции 14.

Лекция 10. Теорема Фарри, тождество Уорда-Такахаши и условия перенормировки

96

Выразим обе части уравнения (6) при помощи формул (7) и (8) и затем проинтегрируем с весом

R

d

(4)

x

1

d

(4)

x

2

exp[i(p + k)x

1

− ipx

2

]. С учётом того, что

S

(k) =

Z

d

(d)

x S(x)e

ikx

,

Γ

µ

(q, p) ≡

Z

d

(d)

x

1

d

(d)

x

2

e

iqx

1

+ipx

2

Γ

µ

(x

1

, x

2

) ,

(9)

(так что в наинизшем порядке Γ

µ

(q, p) = γ

µ

) находим соотношение

S

(p) − S(p + k) = S(p + k) [k

µ

Γ

µ

(p + k, p)] S(p) ,

откуда получается равенство

k

µ

Γ

µ

(p + k, p) = S

−1

(p + k) − S

−1

(p) .

(10)

При k → 0 из (10) получаем также:

∂ S

−1

(p)

∂p

µ

= Γ

µ

(p, p) .

(11)

3. Индекс расходимости диаграмм

Для произвольной диаграммы введём следующие обозначения:
L

e

— число внешних электронных линий;

L

γ

— число внешних фотонных линий;

N

e

— число внутренних электронных линий;

N

γ

— число внутренних фотонных линий;

n — число вершин;
l — число петель.
Тогда индекс расходимости диаграммы

ω = d l − N

e

− 2N

γ

.

(12)

Для числа петель имеем:

l = N

e

+ N

γ

− n + 1 ,

(13)

так как каждому пропагатору соответствует интегрирование (по своему d-импульсу), но каждая
верщина содержит δ-функцию по входящим импульсам, однако одна δ-функция даёт общий закон
сохранения. Для числа вершин имеем:

n = L

γ

+ 2N

γ

=

1
2

(L

e

+ 2N

e

) .

(14)

Теперь подставим l из (13) в (12) и при помощи уравнений (14) исключим N

γ

и N

e

. Таким

образом получим:

ω =

n

2

(d − 4) + d −

d − 1

2

L

e

−

d − 2

2

L

γ

.

(15)

Отсюда видно, что при d > 4 теория заведомо неперенормируема, а при d = 4

ω = 4 − L

γ

−

3
2

L

e

,

(16)

то есть формальная расходимость диаграммы зависит лишь от числа внешних концов. Диаграмма
расходится при ω ≥ 0. Подчеркнём, что импульсы внешних концов диаграмм не предполагаются

находящимися на массовой поверхности.

Укажем сразу, что суммы диаграмм при фиксированном порядке по e с нечётным числом

L

γ

и L

e

= 0 согласно теореме Фарри равны нулю. Действительно, в таких диаграммах полное

число вершин нечётно (см. (14)), и потому имеется хотя бы одна фермионная петля с нечётным
числом вершин. Вакуумные пузырьки (L

γ

= L

e

= 0) нет смысла рассматривать, так как они

дают ненаблюдаемый сдвиг энергии вакуумного состояния. Поэтому имеется всего 4 расходящихся
диаграммы:

97

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

ω = 2

ω = 1

ω = 0

ω = 0

(a)

(b)

(c)

(d)

Рис.17

Покажем, что диаграмма (d) на рис. 17 конечна.
Прежде всего заметим, что имеют место равенства

∂

∂x

µ

h 0 | T J

µ

(x)J

µ

1

(x

1

) . . . J

µ

n

(x

n

) | 0 i = 0 .

(17)

Действительно, если бы мы рассмотрели вместо интеграла (55 Л9) этот же интеграл со вставкой
под функциональный интеграл выражения

J

µ

1

(x

1

) . . . J

µ

n

(x

n

)

и проделали бы манипуляции,

приводящие к (5), то мы получили бы вместо (5) равенство, отличающееся лишь вставкой во все
средние выражения

J

µ

1

(x

1

) . . . J

µ

n

(x

n

)

. Таким образом после зануления внешних источников

получается равенство (17). В импульсном пространстве равенство (17) означает, что

= 0

µ

µ

1

µ

2

µ

3

k

1

k

2

k

3

k

k

µ

Рис.18

Равенство, изображённое на рис. 18, возможно, лишь если диаграмма в круглых скобках на рис.

18 пропорциональна структуре вида (η

µµ

1

k

µ

2

− η

µµ

2

k

µ

1

). Аналогичные множители содержатся в

остальных трёх вершинах. Каждый из указанных множителей линеен и однороден относительно
импульсов, которые "вытягиваются"из пропагаторов внутренних линий. Поэтому некоторым внут-
ренним линиям соответствуют множители, убывающие быстрее при возрастании импульсов, чем
при формальном подсчёте. В результате оказывается, что степень расходимости диаграммы (d) на
рис. 17 ω = −4 и она конечна.

Подчеркнём, что внешние импульсы входят в расходящиеся части диаграмм лишь в неотрица-

тельных степенях, поскольку по их отношениям к большим промежуточным импульсам интегри-
рования производится разложение.

Рассмотрим диаграммы вида (a) на рис. 17. Обозначим через iP

µν

/4π сумму всех сильно

связанных диаграмм вида (a) на рис. 17. Функция P

µν

(k) называется поляризационным опера-

тором. Рассуждения, аналогичные применённым при рассмотрении диаграмм вида (d) на рис. 17,
показывают, что

C C

C C

µ

ν

k

= i

P

µν

(k)

4π

= i

P(k)

4π

(k

2

η

µν

− k

µ

k

ν

) ,

(18)

где оператор P(k

2

) расходится лишь логарифмически. Обозначим точный фотонный пропагатор

D

µν

(x − y) = i h 0 | T A

µ

(x)A

ν

(y) | 0 i

(19)