Лекции по квантовой электродинамике - часть 24

Лекция 10. Квантование фермионов при помощи функционального интеграла. . .

98

жирной волнистой линией. Тогда на диаграммном языке имеем:

C C

C C

=

+

+

+

C C

C C

+

. . .

µ

µ

ν

ν

k

Рис.19

а аналитически (в импульсном пространстве)

D

α

µν

(k) = D

α

µν

(k) + D

α

µµ

1

(k)

P

µ

1

µ

2

(k)

4π

D

α

µ

2

µ

(k) + . . .

При помощи формул (53 Л7) и (18) эта геометрическая прогрессия легко суммируется:

D

α

µν

(k) =

4π

k

2

(1 − P(k))



η

µν

−

k

µ

k

ν

k

2



+

4πα k

µ

k

ν

(k

2

)

2

.

(20)

Обозначим через (−iM) сумму всех сильно связанных диаграмм вида (b) на рис. 17 и назо-

вём эту функцию массовым оператором. Для точного фермионного пропагатора (8) имеет место
разложение, аналогичное разложению точного фотонного пропагатора:

S

(k) = S

c

(k) + S

c

(k) M(k) S

c

(k) + . . . = S

c

(k)



1 + M(k) S(k)



=

1

6k −m

0

− M(k)

,

(21)

где m

0

— затравочная масса.

Общий вид массового оператора таков:

M

(k) = a

0

m

0

+ a

1

6k +m(k) ,

(22)

где m(k) — конечная функция. Из размерностных соображений очевидно, что константы a

0

и

a

1

расходятся логарифмически. Важно, что в правой части (22) не может быть слагаемого a

2

, не

обращающегося в нуль при m

0

= 0 и k

µ

= 0 и потому расходящегося линейно. Согласно (21) такое

слагаемое a

2

давало бы ненулевую массу фермионам даже в случае m

0

= 0 и потому нарушало

бы глобальную γ

5

-симметрию

ψ → e

iαγ

5

ψ ,

ψ → ψ e

iαγ

5

,

α = const .

(23)

При m

0

= 0 имеет место глобальная γ

5

-симметрия (23) и она не может быть нарушена квантовыми

поправками, т.е. точный фермионный пропагатор антикоммутирует с γ

5

:

γ

5

S

(k) + S(k) γ

5

= 0 ←→ γ

5

M

(k) + M(k) γ

5

= 0 .

Действительно, любая диаграмма, дающая вклад в точный пропагатор, представляется как одна
сплошная фермионная линия с внешними концами и некоторое количество фермионных петель, со-
единённых между собою фотонными пропагаторами. Так как каждая фермионная петля находится
под знаком спинорного следа, то спинорная структура всей диаграммы определяется произведени-
ем свободных пропагаторов S

c

и γ-матриц вдоль единственной фермионной линии с внешними

концами. Очевидно, что спинорная структура этой линии определяется произведением

S

c

(k)[γ

µ

1

S

c

(p

1

)] . . . [γ

µ

n

S

c

(p

n

)] [γ

µ

S

c

(k)] ,

n = 1, 2, . . . ,

которое антикоммутирует с γ

5

в случае m

0

= 0. Отсюда видно, что в случае m

0

= 0 упомянутого

слагаемого a

2

не может появиться при учёте квантовых поправок.

Мы видим, что в квантовой электродинамике имеются лишь логарифмические расходимости,

которые, как мы покажем, могут быть устранены при помощи перенормировки полей и затравочных
констант m

0

и e

0

.

99

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Пусть исходный (затравочный) лагранжиан КЭД равен

L = −

1

16π

F

2

µν

+ ψ(i 6∂ − m

0

)ψ − e

0

ψ γ

µ

ψ A

µ

.

(24)

Вычислим с помощью этого лагранжиана в размерности d = 4 − ε точные электронный (8) и

фотонный (19) пропагаторы, которые вблизи полюсов ведут себя как

S

(k) =

Z

2

6k −m

+ s(k) ,

(25)

D

⊥

µν

(k) =

4π Z

3

k

2



η

µν

−

k

µ

k

ν

k

2



+ d

µν

(k) .

(26)

В (25) и (26) операторы s(k) и d

µν

(k) конечны при стремлении k

2

→ m

2

и k

2

→ 0, соответственно.

4. Условия перенормировки

Займёмся перенормировкой внешних линий. Рассмотрим выходящую внешнюю линию электрона

с импульсом p и спиновым состоянием s. Пусть эта линия является единственной выходящей
линией амплитуды M

(ps)i

, изображённой на рис. 20.

}

ps

P

i

Рис. 20

Здесь все входящие и выходящие линии — жирные, которым
соответствуют точные величины с учётом всех радиационных
поправок. В КЭД все 4-импульсы входящих линий в амплитуде
на рис. 20 не могут находиться на массовой поверхности, если
выходящий электрон — реальный с p

2

= m

2

, поскольку зако-

ны сохранения 4-импульса и заряда не допускают этого. Одна-
ко именно случай p

2

= m

2

нас интересует, поэтому входящие

линии амплитуды M

(ps)i

не соответствуют, вообще говоря, ре-

альным частицам. Такая ситуация может быть получена путём
аналитического продолжения некоторой амплитуды с массовой

поверхности в нужную область её переменных. Множитель в M

(ps)i

, соответствующий выходяще-

му электрону и обозначаемый U

ps

, получается так же, как точный электронный пропагатор с той

лишь разницей, что в разложении (21) во всех слагаемых самый левый пропагатор S

c

заменяет-

ся на биспинор u

p

, который содержится в разложении затравочного дираковского поля в (24) и

удовлетворяет условиям нормировки (20 Л8), (56 Л8) и (57 Л8):

U

p

= u

p



1 + M S



.

(27)

Таким образом имеем:

M

(ps) i

= U

ps

M

′

pi

,

(28)

где M

′

pi

является дираковским спинором — 4-рядной матрицей-столбцом. Сопрягая комплексно

равенство (28) и заменяя состояние | i i на | f i, получаем:

M

∗

(ps)f

= M

′
pf

U

ps

.

(29)

Теперь воспользуемся формулой (38 Л5) для значения амплитуды M

f i

при P

2

i

= P

2

f

= p

2

→ m

2

,

которая была получена из общего требования унитарности теории:

i M

f i

= −M

′
pf

i

P

s

U

ps

U

ps

p

2

− m

2

+ iε

M

′

pi

.

(30)

Амплитуда (30) является аналитическим выражением процесса, изображённого на рис. 21:

}

}

P

f

P

i

Лекция 10. Квантование фермионов при помощи функционального интеграла. . .

100

Рис. 21

В силу Лоренц-инвариантности для биспиноров U

ps

имеют место те же соотношения, что и для

затравочных биспиноров u

ps

, кроме нормировки. Следовательно (сравни с (56 Л8)):

X

s

U

ps

U

ps

= Z

′

(6p +m) ,

и потому при p

2

→ m

2

i M

f i

= −M

′
pf

i Z

′

(6p +m)

p

2

− m

2

+ iε

M

′

pi

.

(31)

С другой стороны, вычисление этой же амплитуды непосредственно по диаграмме на рис. 21 даёт
(учтём, что в рассматриваемой области переменных у амплитуды M

f (ps)

нет реальных промежу-

точных состояний, и потому согласно (36 Л5) имеем M

f (ps)

= M

∗

(ps)f

= M

′
pf

U

ps

; следовательно,

левой части амплитуды на рис. 21 сопоставляется амплитуда

i M

′
pf

, пропагатору — i S(p)
, а

правой части — (i M

′

pi

))

i M

f i

= i M

′
pf

i S(p)

 i M

′

pi

.

(32)

Сопоставляя формулы (31), (32) и (25), находим Z

′

= Z

2

. Поэтому

U

ps

=

pZ

2

u

ps

,

(33)

где u

ps

— дираковский биспинор, удовлетворяющий всем соотношениям, приведенным в лекции 8.

Аналогичные вычисления показывают, что точный вектор поляризации фотона E

k α

связан с

нормированным согласно (55 Л7) вектором поляризации e

k α

формулой

E

k α

=

pZ

3

e

k α

.

(34)

Теперь введём перенормированные поля при помощи формул

ψ =

pZ

2

ψ

r

,

A

µ

=

pZ

3

A

µ

r

.

(35)

В результате этой замены лагранжиан принимает вид

L = −

1

16π

Z

3

(F

µν

r

)

2

+ Z

2

ψ

r

(i 6∂ −m

0

) ψ

r

− e

0

Z

2

pZ

3

ψ

r

γ

µ

ψ

r

A

rµ

.

(36)

Константа m в (25) является физической массой. Пусть e обозначает физический заряд, изме-
ряемый на больших расстояниях. Определим масштабный множитель Z

1

как

e

0

Z

2

pZ

3

= e Z

1

.

(37)

Теперь разобьём лагранжиан (36) на две части:

L =



−

1

16π

(F

µν

r

)

2

+ ψ

r

(i 6∂ −m) ψ

r

− e ψ

r

γ

µ

ψ

r

A

rµ



+

+



−

1

16π

δ

3

(F

µν

r

)

2

+ ψ

r

(i δ

2

6∂ −δ

m

) ψ

r

− e δ

1

ψ

r

γ

µ

ψ

r

A

rµ



,

δ

3

= Z

3

− 1 , δ

2

= Z

2

− 1 , δ

m

= Z

2

m

0

− m , δ

1

= Z

1

− 1 =



e

0

e



Z

2

pZ

3

− 1 .

(38)

Здесь первое слагаемое в лагранжиане даёт правила Фейнмана, описанные в лекции 9, а слагаемое
в квадратной скобке — контрчлены.

Перепишем равенство (7) для перенормированных полей:

h 0 | T J

µ

(x)ψ(x

1

) ψ(x

2

) | 0 i = Z

2

2

h 0 | T J

µ

r

(x)ψ

r

(x

1

) ψ

r

(x

2

) | 0 i =

= Z

2

2

Z

d

(4)

y

1

d

(4)

y

2

i S

r

(x

1

− y

1

)

 Γ

µ

r

(y

1

− x, x − y

2

)

i S

r

(y

2

− x

2

)

 ,

101

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

где S

r

(x) — точный перенормированный фермионный пропагатор, построенный из перенормиро-

ванных ферми-полей при помощи формулы (8), а Γ

µ

r

— перенормированный вершинный оператор.

Так как Z

2

S

r

= S, то из сравнения последнего равенства с равенством (7) мы видим, что Γ

µ

r

= Γ

µ

.

Теперь точный электронный (8) и точный фотонный (19) пропагаторы вблизи полюсов ведут

себя как

S

r

(k) =

1

6k −m − M

r

(k)

≈

1

6k −m

,

D

⊥

r µν

(k) =

4π

k

2

(1 − P

r

(k

2

))



η

µν

−

k

µ

k

ν

k

2



≈

4π

k

2



η

µν

−

k

µ

k

ν

k

2



.

(39)

Отсюда вытекают следующие условия нормировки:

M

r

(k) = (6k −m) g(k) (6k −m) ,

(40a)

P

r

(k

2

= 0) = 0 .

(40b)

При помощи (39), (40) и (38 a Л8) получаем:

u

p



∂

∂p

µ

S

−1

(p)



u

p






p

2

=m

2

= u

p

∂

∂p

µ

Z

−1

2

S

−1

r

(p)

 u

p






p

2

=m

2

= Z

−1

2

u

p

γ

µ

u

p

.

(41)

Обратим внимание на то что требование, наложенное на вид массового оператора (40 а), является
минимальным для того чтобы имело место равенство (41). Равенство (41) заменяет собою условие
поведения дираковского пропагатора вблизи полюса. Именно равенство (41) используется ниже при
получении условий нормировки.

Так как тождества Уорда (11) имеют место для неперенормированных величин, то при помощи

(41) находим тождество Уорда для перенормированных величин:

u

p

Γ

µ

(p, p) u

p






p

2

=m

2

= Z

−1

2

u

p

γ

µ

u

p

.

(42)

Рассмотрим диаграмму

p

1

p

2

k

Рис. 22

описывающую рассеяние электрона во внешнем поле A

(e)

(k) (в первом порядке по полю) с учётом

всех радиационных поправок. В пределе k → 0, p

2

→ p

1

≡ p этой диаграмме соответствует

амплитуда

i M

f i

= −ie

0

U

p

Γ

µ

(p, p)




p

2

=m

2

U

p

A

(e)

µ

(k → 0) =

= −ie

0

Z

2

Z

1/2

3

u

p

Γ

µ

(p, p)




p

2

=m

2

u

p

A

(e)

rµ

(k → 0) = −i Z

1

Z

−1

2

e u

p

γ

µ

u

p

A

(e)

rµ

(k → 0) .

(43)

Переписывая амплитуду (43) в терминах перенормированных величин, мы воспользовались опре-
делением (37) и тождеством Уорда (42). Подчеркнём, что формула (43) возникла как результат
вычислений в рассматриваемой модели квантовой электродинамики. С другой стороны, естествен-
но определить физически наблюдаемый заряд e на больших масштабах так чтобы эта же амплитуда
имела вид

i M

f i

= −ie u

p

γ

µ

u

p

A

(e)

r µ

(k → 0) .

(44)

Таким образом, равенство (44) является тем звеном в условиях нормировки, которое связывает
экспериментально наблюдаемый заряд в процессе рассеяния реального электрона в слабом медленно
меняющемся классическом электромагнитном поле с формулами квантовой теории поля. Заметим,