Лекции по квантовой электродинамике - часть 25

Лекция 10. Квантование фермионов при помощи функционального интеграла. . .

102

что вид формулы (44) вытекает лишь из общих требований Лоренц-инвариантности и определения
экспериментально наблюдаемого электрического заряда. Из сравнения формул (43) и (44) находим:

Z

1

= Z

2

,

e =

pZ

3

e

0

.

(45)

Воспользуемся неопределённостью, возникающей из-за расходимостей, содержащихся в Γ, и

потребуем, чтобы имело место равенство

Γ

µ

(p, p)




6p=m

= γ

µ

,

(46)

то есть Z

1

= Z

2

= 1. Подразумевается, что равенство (46) имеет место в обкладках u

p

. . . u

p

,

когда 6p = m. Удобство этого определения состоит в том, что отпадает необходимость введения

поправок во внешние электронные линии, так как теперь (см (33)) U

ps

= u

ps

, и перенормирован-

ный фермионный пропагатор совпадает с неперенормированным. Кроме того, в силу (34) и (45)
e e

k α

= e

0

E

k α

, а также [e

2

D

r µν

] = e

2

0

D

µν

(здесь справа стоят неперенормированные величины).

Поэтому, хотя в неперенормированной теории используется затравочный заряд e

0

, внешней фотон-

ной линии соответствует вектор поляризации E

k α

, а в качестве точного фотонного пропагатора

используется функция D

µν

, вместо них можно использовать физический заряд e, стандартные

вектора поляризации (см. лекцию 7) e

k α

и перенормированные пропагаторы D

r µν

. В результате

такой замены значения амплитуд не изменяются.

Таким образом, если в диаграммной технике используется физический заряд, физическая масса

и перенормированные величины с условиями нормировки (40), (46), то внешним линиям сопостав-
ляются стандартные биспиноры u

±ps

, u

±ps

и вектора поляризации

√

4π e

k α

, удовлетворяющие

естественным условиям нормировки, данным в лекциях 7 и 8. Указанное правило предполагает, что
если какая либо внешняя линия диаграммы находится на массовой поверхности, то соответствую-
щая "нога"ампутирована (поскольку все радиационные поправки уже учтены). Асимптотические
состояния нормированы обычным способом. Например, для одноэлектронного состояния | p s i

имеем h qs

′

| p si = (2π)

3

ω

p

δ

ss

′

δ

(3)

(q − p).

Далее индекс r у перенормированных величин опускается.

Задачи

1. а) Сформулировать теорию Дираковских спиноров в двумерном пространстве-времени Минков-
ского.

Указание. Исходить из необходимости реализации алгебры Дирака γ

µ

γ

ν

+ γ

ν

γ

µ

= 2 η

µν

в дву-

мерном пространстве Минковского.

б) Рассмотреть в двумерном пространстве Минковского модель Тирринга с действием

S =

Z

d

(2)

x

n

ψ(i γ

µ

∂

µ

− m)ψ −

g
2

(ψ γ

µ

ψ) (ψ γ

µ

ψ)

o

.

Здесь g — константа связи. Сформулировать правила диаграммной техники Фейнмана для модели
Тирринга. Исследовать модель на предмет перенормируемости.

2. Доказать, что

(∂/∂x

µ

)h 0 |T J

µ

(x) J

µ

1

(x

1

) . . . J

µ

m

(x

m

) J

5 ν

1

(y

1

) . . . J

5 ν

n

(y

n

)

(ψ ψ)(z

1

) . . . (ψ ψ)(z

l

) | 0 i = 0 .

103

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Лекция 11

I. ОДНОПЕТЛЕВАЯ СТРУКТУРА КЭД.
ЭЛЕКТРОННЫЙ И ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОРЫ

1. Массовый оператор

В наинизшем приближении массовый оператор −i M(p) определяется диаграммой

p

p

p − k

k

Рис. 23

аналитическое выражение которой даётся выражением

−i M(p) = (−i e)

2

Z

d

(d)

k

(2π)

d

γ

µ

i S

c

(p − k)γ

ν

−iD

α

µν

(k)

 .

Проще всего вычисление проводится в калибровке Фейнмана α = 1, в которой

−i M(p) = −4π e

2

Z

d

(d)

k

(2π)

d

γ

µ

[(6p − 6k) + m]γ

µ

(p − k)

2

− m

2

1

k

2

− λ

2

.

Мы ввели массу фотона λ

2

≪ m

2

, необходимую (см. ниже) для удовлетворения условий норми-

ровки. Разумеется, масса фотона выпадает из физически наблюдаемых величин (см. лекцию 13).
Пусть d = 4 − ε. Тогда γ

µ

6p γ

µ

= −(2 − ε) 6p, γ

µ

γ

µ

= d = 4 − ε, и

M

(p) = −

4πie

2

(2π)

d

Z

d

(d)

k

(4 − ε)m − (2 − ε)(6p − 6k)

[(p − k)

2

− m

2

](k

2

− λ

2

)

.

Воспользуемся формулой (35 Л4), положив A = (p − k)

2

− m

2

, B = k

2

− λ

2

:

M

(p) = −

4πie

2

(2π)

d

Z

d

(d)

k

1

Z

0

d x

(4 − ε)m − (2 − ε)(6p − 6k)

[(k − xp)

2

− a

2

]

2

,

a

2

= −x(1 − x)p

2

+ xm

2

+ (1 − x)λ

2

.

После сдвига переменной интегрирования k → k + xp интеграл переписывается как

M

(p) = −

4πie

2

(2π)

d

1

Z

0

d x

Z

d

(d)

k

(4 − ε)m − (2 − ε)(1 − x) 6p

(k

2

− a

2

)

2

,

причём линейное относительно 6k слагаемое в числителе теперь может быть опущено, так как

интегрирование по углам обращает его в нуль. Интеграл в импульсном пространстве берётся при
помощи поворота Вика и формулы (3 Л4):

M

(p) =

e

2

Γ (ε/2)

(4π)

1−ε/2

1

Z

0

d x [(4 − ε)m − (2 − ε)(1 − x) 6p] · [−x(1 − x)p

2

+ xm

2

+ (1 − x)λ

2

]

−ε/2

Последнее выражение разложим по ε с точностью O(ε

0

):

M

(p) =

e

2

2πε

(4m − 6p) +

e

2

2π

 1

2

(ln 4π + ψ(1))(4m − 6p) +



−m +

1
2

6p



−

Лекция 11. I. Однопетлевая структура КЭД. Электронный и фотонный пропагаторы

104

−

e

2

2π

1

Z

0

d x (1 + x)m − (1 − x)(6p −m) · ln−x(1 − x)p

2

+ xm

2

+ (1 − x)λ

2

 .

(1)

Обратим внимание на то, что в точках нормировки оператор M используется в обкладках

u

p

M

u

p

, причём p

2

= m

2

и 6p u

p

= mu

p

, u

p

6p = mu

p

(см. (41 Л10) и (42 Л10)). Поэтому для

приведения оператора M к виду (40 a Л10) следует, во первых, сделать вычитание

M

(6p) −→ M(6p) − M(6p)




6p=m, p

2

=m

2

≡ (6p −m) M

′

(6p) .

(2)

Затем операцию вычитания следует повторить для величины M

′ 1

. В результате двух таких вычи-

таний первые два слагаемых в (1) исчезают. Последнее слагаемое в (1) переписываем как

M

= M

1

+ M

2

,

M

1

=

e

2

2π

(6p −m)

1

Z

0

d x (1 − x) lnm

2

(1 − ρ)(x − x

1

)(x − x

2

)

 ,

M

2

= −

e

2

m

2π

1

Z

0

d x (1 + x) lnm

2

(1 − ρ)(x − x

1

)(x − x

2

)

 ,

(3)

где введены параметры

ρ =

m

2

− p

2

m

2

,

β =

λ

2

m

2

,

x

1, 2

=

1
2





−

ρ − β

1 − ρ

±

s

 ρ − β

1 − ρ



2

−

4 β

1 − ρ





.

(4)

Вычисления проводятся в предположении

ρ > 0, −→ x

1, 2

< 0 .

(5)

Напомним, что m

2

имеет бесконечно малую

отрицательную мнимую часть. Поэтому

lim

ρ→+0

x

1, 2

≡ ˜x

1, 2

=

1
2

β ∓ i

pβ .

(6)

Проведём одно вычитание (2) для M

2

:

M

2

= −

e

2

m

2π

1

Z

0

d x (1 + x) ln

(1 − ρ)(x − x

1

)(x − x

2

)

(x − ˜x

1

)(x − ˜x

2

)

=

=

e

2

m

2π

·

1
2

1

Z

0

d x (x

2

+ 2x)



1

x − x

1

+

1

x − x

2

−

1

x − ˜x

1

−

1

x − ˜x

2



.

(7)

При преобразовании интеграла (7) было учтено, что

(1 − ρ)(1 − x

1

)(1 − x

2

) = 1 −→ (1 − ˜x

1

)(1 − ˜x

2

) = 1 .

Последний интеграл вычисляется при помощи формулы

x

2

+ ax

x − x

i

= x + (x

i

+ a) +

x

i

(x

i

+ a)

x − x

i

.

(8)

Имеем:

M

2

=

e

2

m

2π

·

1
2

(−ρ)







1 − β

1 − ρ

−

1
ρ

X

i=1, 2



x

i

(x

i

+ 2) ln

1 − x

i

−x

i

− ˜x

i

(˜

x

i

+2) ln

1 − ˜x

i

− ˜x

i









.

(9)

1

Заметим, что согласно данным определениям 1 −

M

′

(6 p)|

p

2

=m

2

, 6p

=m

= Z

−

1

2

105

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Так как

−ρ =

1

m

2

(6p −m)(6p +m) ,

(10)

то

M

′

2

(6p) = (6p +m) M

′′

2

(ρ) ,

M

′′

2

(ρ) =

e

2

2π

1

2m







1 − β

1 − ρ

−

1
ρ

X

i=1, 2



x

i

(x

i

+ 2) ln

1 − x

i

−x

i

− ˜x

i

(˜

x

i

+2) ln

1 − ˜x

i

− ˜x

i









.

(11)

Для приведения вклада в M от M

2

к окончательному виду следует вместо M

′

2

(6p) использовать

величину

(6p +m) M

′′

2

(ρ) − (2m) M

′′

2

(0) + 2m M

′′

2

(ρ) − 2m M

′′

2

(ρ) = (6p −m) M

′′

2

(ρ) + 2mρ

ρ

[M

′′

2

(ρ) − M

′′

2

(0)]



.

(12)

Заметим, что в пределе λ

2

→ 0, ρ > 0

˜

x

1

= ˜

x

2

= 0,

x

1

= 0,

x

2

= −

ρ

1 − ρ

,

M

′′

2

(ρ) =

e

2

2π

1

2m(1 − ρ)



1 −

2 − 3ρ

1 − ρ

ln ρ



.

(13)

Поэтому первое слагаемое в (12) определено корректно в пределе нулевой массы фотона. Для вы-
числения второго слагаемого в (12) следует вычислить M

′′

2

(0), для чего необходимо в (11) перейти

к пределу ρ → 0 при фиксированном значении 0 < λ

2

≪ m

2

. В результате несложных вычислений

находим:

M

′′

2

(0) = −

e

2

2π

1

2m



1 + 2 ln

λ

m



.

(14)

В (14) все коэффициенты, зависящие от β, берутся в точке β = 0, поскольку при этом не возникает
неопределённостей и расходимостей. Собирая формулы (2), (12), (13) и (14), получаем для M

2

:

M

2

=

e

2

2πm

(6p −m)

2

1

2(1 − ρ)



1 −

2 − 3ρ

1 − ρ

ln ρ



−

6p +m

mρ



1

1 − ρ

−

(2 − 3ρ)
(1 − ρ)

2

ln ρ + 1 + 2 ln

λ

m



.

(15)

Действуя аналогично и делая вычитание (2) для

M

′

1

(6p) =

e

2

2π

·

1
2







const +

X

i=1, 2



x

i

+ x

i

(x

i

− 2) ln

1 − x

i

−x

i









,

(16)

находим:

M

1

=

e

2

2πm

(6p −m)

2

6p +m

m

1

2(1 − ρ)



1 +

2 − ρ
1 − ρ

ln ρ



.

(17)

Складывая (15) и (17), окончательно находим:

M

=

e

2

2πm

(6p −m)

2

1

2(1 − ρ)



1 −

2 − 3ρ

1 − ρ

ln ρ



−

−

6p +m

mρ



1

2 (1 − ρ)



2 − ρ +

ρ

2

+ 4ρ − 4

1 − ρ

ln ρ



+ 1 + 2 ln

λ

m



.

(18)

Оператор (18) вычислен в предположении ρ > 0, ρ ≫ λ/m. При аналитическом продолжении в

область ρ < 0 следует помнить, что точка ветвления ρ = 0 обходится снизу, так как m

2

содержит

отрицательную бесконечно малую мнимую часть. Поэтому при ρ < 0

ln ρ = ln |ρ | − iπ ,

ρ < 0 .

(19)

Из (18) видно, что при нулевой массе фотона массовый оператор не определён, если использу-

ются условия нормировки (40 a Л10).

При p

2

≫ m

2

из (18) получаем следующую оценку:

M

≈

e

2

4π

6p ln

p

2

m

2

.

(20)