Лекции по квантовой электродинамике - часть 26

Лекция 11. I. Однопетлевая структура КЭД. Электронный и фотонный пропагаторы

106

Так как (20) есть поправка к 6p (см. (39 Л10)), то для того чтобы ТВ была справедливой, должно

быть

e

2

4π

ln

p

2

m

2

≪ 1 .

(21)

Поскольку e

2

= 1/137, то условие (21) нарушается лишь при чрезвычайно больших импульсах.

Заметим, что массовый оператор калибровочно не инвариантен. В этом нет противоречий, по-

скольку массовый оператор не является непосредственно наблюдаемой величиной. В частности, в
калибровке α = 3 удовлетворение условиям нормировки (40 a Л10) не требует введения массы
фотона

2. Поляризационный оператор

Можно существенно облегчить вычисления, если сначала найти мнимую часть диаграммы и

затем восстановить всю диаграмму при помощи дисперсионного соотношения. Продемонстрируем
этот метод на примере вычисления поляризационного оператора. В первом приближении ТВ он
даётся петлёй в диаграмме

p

−

−p

+

= p

−

− k

k

k

Рис. 24

Здесь внешняя линия виртуального фотона формально рассматривается как отвечающая реаль-

ной частице — векторному бозону массы M

2

= k

2

, взаимодействующему с электрон-позитронным

полем по тому же закону, что и фотон. При этом все соотношения условия унитарности остаются
справедливыми. Диаграмма представляет диагональный элемент амплитуды i M

ii

, дающей пере-

ход бозона самого в себя через распад на электрон-позитронную пару. Крестики на диаграмме
показывают, по каким линиям она должна быть рассечена на две части так, чтобы дать реальное
промежуточное состояние, фигурирующее при применении соотношения унитарности. Это состоя-
ние содержит электрон и позитрон с 4-импульсами p

−

= p и p

+

= (k − p), соответственно.

Для вычисления мнимой части M

ii

при помощи условия унитарности в соотношении (34

′

Л5)

в данном случае следует использовать меру

X

λ

Z

d

3

p

−

(2π)

3

2p

0

−

d

3

p

+

(2π)

3

2p

0

+

,

причём далее P

λ

означает сумму лишь по поляризациям промежуточных частиц, p

2

−

= p

2

+

= m

2

и в сумме по промежуточным состояниям 3-вектора p

−

и p

+

считаются независимыми. Имеем:

2 Im M

ii

= (2π)

4

X

λ

Z

d

3

p

−

(2π)

3

2p

0

−

d

3

p

+

(2π)

3

2p

0

+

δ

(4)

(k − p

−

− p

+

) | M

λi

|

2

,

(22)

где амплитуда M

λi

даётся частью диаграммы на рис. 24 правее крестиков:

i M

λi

= u

p

−

(−ieγ

µ

)u

−p

+

√

4π e

µ

.

(23)

Введём параметр

t = k

2

= (p

−

+ p

+

)

2

= 2 (p

−

p

+

+ m

2

) .

В процессе вычисления будем предполагать, что t > 4 m

2

. Так как интеграл в (22) лоренц-

инвариантен, то вычислим его в системе отсчёта, где k = 0, k

0

=

√

t. Сначала проинтегрируем по

p

+

:

2 Im M

ii

=

1

(4 π)

2

X

λ

Z

d o

p

∞

Z

0

|p|

2

d |p|

(p

0

)

2

δ (

√

t − 2 p

0

) |M

λ i

|

2

.

107

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Так как |p| d |p| = p

0

d p

0

, то

2 Im M

ii

=

1

(4 π)

2

·

|p|

2 p

0

Z

d o

p

X

λ

|M

λ i

|

2

.

(24)

В (24) p

0

= (1/2)

√

t, |p| = (1/2)

√

t − 4 m

2

, d o

p

— дифференциал телесного угла, внутри которого

находится вектор p = p

−

. С учётом (23)

X

λ

|M

λ i

|

2

= 4 π e

2

e

∗

µ

e

ν

X

λ

tr γ

µ

u

−p

+

u

−p

+

γ

ν

u

p

−

u

p

−

.

(25)

В (25) P

λ

означает независимое суммирование по поляризациям электрона и позитрона. Поэтому

при помощи (56 Л8) находим:

X

λ

|M

λ i

|

2

= 4 π e

2

e

∗

µ

e

ν

tr γ

µ

(6p

+

−m)γ

ν

(6p

−

+m) = 16 π e

2

e

∗

µ

e

ν

[p

µ
−

p

ν

+

+ p

ν

−

p

µ
+

−(p

+

p

−

+ m

2

) η

µν

] . (26)

Здесь второе равенство получено при помощи формул (65 Л8) и (66 Л8). Так как k = p

−

+ p

+

и

k

µ

[p

µ
−

p

ν

+

+ p

ν

−

p

µ
+

− (p

+

p

−

+ m

2

) η

µν

] ≡ 0 ,

то

Z

d o

p

[p

µ
−

p

ν

+

+ p

ν

−

p

µ
+

− (p

+

p

−

+ m

2

) η

µν

] = 4 π a (k

2

η

µν

− k

µ

k

ν

) .

(27)

Коэффициент a в (27) находится путём вычисления свёртки по векторным индексам в (27):

a = −

t + 2 m

2

3 t

.

(28)

С другой стороны,

i M

ii

=

√

4 π e

∗

µ

√

4 π e

µ

i P

µν

4 π

.

(29)

Если считать вектора поляризации бозона вещественными, то сопоставляя формулы (24), (26), (27),
(28) и (29), получаем:

2 e

µ

e

ν

Im P

µν

= −

2 e

2

3

e

µ

e

ν

r t − 4 m

2

t

·

t + 2 m

2

t

(k

2

η

µν

− k

µ

k

ν

) .

Теперь можно отбросить вектора поляризации бозона и использовать определение (18 Л10). Окон-
чательно находим:

Im P (t) = −

e

2

3

r t − 4 m

2

t

·

t + 2 m

2

t

.

(30)

Очевидно, Im P (t) = 0 при t < 4 m

2

. Поэтому по мнимой части (30) при помощи дисперсионного

соотношения восстанавливается вся функция:

P (t) = −

e

2

3 π

∞

Z

4 m

2

d t

′

t

′

− t − iε

r t

′

− 4 m

2

t

′

·

t

′

+ 2 m

2

t

′

.

(31)

Этот интеграл является представлением Челлена–Лемана (см. (15 Л5)). Величина (30) является
значением мнимой части поляризационного оператора на верхнем берегу разреза. Окончательное
выражение для поляризационного оператора получается при учёте условия нормировки (40 b Л10),
согласно которому необходимо сделать замену P (t) → P (t) − P (0):

P (t) = −

e

2

3 π

t

∞

Z

4 m

2

d t

′

t

′

− t − iε

r t

′

− 4 m

2

t

′

·

t

′

+ 2 m

2

t

′2

.

(32)

Лекция 11. I. Однопетлевая структура КЭД. Электронный и фотонный пропагаторы

108

Будем считать, что t < 0. Тогда интеграл (32) берётся при помощи подстановки t

′

/4 m

2

=

1/(1 − x

2

), 0 < x < 1:

P (t) =

e

2

3 π



−

5
3

+

4 ξ

(1 − ξ)

2

− (ξ

2

− 4 ξ + 1)

1 + ξ

(1 − ξ)

3

ln ξ



.

(33)

Мы выразили P через переменную

t/m

2

= −(1 − ξ)

2

/ξ .

(34)

Значение P (t) в предельном случае малых t легче всего ищется непосредственно из (32). Для

этого следует положить под интегралом t = 0:

P (t) = −

e

2

15 π

·

t

m

2

,

|t| ≪ 4 m

2

.

(35)

Из (34) видно, что при стремлении переменной ξ к единице снизу t стремится к нулю. Чтобы

продвинуться далее от t = 0 до t = 4 m

2

следует положить ξ = e

i ϕ

. Тогда согласно (34)

t = 4 m

2

sin

2

ϕ

2

,

0 ≤ ϕ ≤ π .

(36)

В области t > 4 m

2

переменная ξ заключена в интервале −1 < ξ < 0. Из (36) следует, что в этом

интервале ln ξ = ln |ξ| + i π. Из (34) получаем также, что при больших |t|

t ξ = −m

2

,

|t| ≫ 4 m

2

.

(37)

Поэтому из (33) получаем асимптотику при больших |t|:

P (t) =







e

2

3 π

ln

|t|

m

2

,

если − t ≫ 4 m

2

e

2

3 π

ln

t

m

2

− i π

 , если t ≫ 4 m

2

.

(38)

Мнимые части P (t), полученные при помощи (30) и (38), совпадают. Это подтверждает равенство
ln ξ = ln |ξ| + i π при −1 < ξ < 0.

По смыслу ТВ полученные формулы справедливы до тех пор пока |P| ≪ 1 (см. (20 Л10)).

Поэтому ТВ справедлива до тех пор пока

e

2

3 π

ln

|t|

m

2

≪ 1 .

Мы опять пришли к ограничению (21).

Константа перенормировки Z

3

получается, если в (20 Л10) подставить неперенормированный

оператор (31) и устремить t к нулю. Обрезая интеграл в (31) масштабом Λ → ∞, находим с

точностью O (e

2

):

Z

−1

3

(Λ) ≡ 1 − P (t = 0; Λ) ≈ 1 +

2 e

2

3 π

ln

Λ

m

.

(39)

Теперь в соотношении (45 Л10) e

2

0

(Λ) = Z

−1

3

(Λ) e

2

сделаем подстановку Λ → M, e

2

0

(Λ) →

e

2

(M ), где M — масштаб нормировки, M ≫ m, а e

2

(M ) — бегущая константа связи. Таким

образом

e

2

(M ) =



1 +

2 e

2

3 π

ln

M

m



e

2

.

Отсюда с точностью O (e

3

) получаем:

M

d e (M)

d M

≡ β (e (M)) =

e

3

(M )

3 π

.

(40)

Решая это дифференциальное уравнение, находим:

e

2

(M ) =

e

2

1 −

e

2

3 π

ln

M

2

m

2

.

(41)

Формула (41) показывает, что эффективная константа связи растёт при продвижении в ультрафи-
олетовую область. Это свойство является общим для скалярной теории и КЭД.

109

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

3. Радиационные поправки к закону Кулона

Рассмотрим квантовые поправки к кулоновскому полю неподвижного сверхмассивного точечно-

го заряда e

1

, потенциал которого (без учёта поправок)

ϕ

0

(r) ≡ A

(e)
0

(r) =

e

1

r

,

A

(e)

= 0 .

(42)

В импульсном пространстве

ϕ

0

(k) =

4 π e

1

k

2

.

(43)

С учётом квантовых поправок потенциал (42) заменяется на

ϕ = A

(e)
0

+ D

0 µ

P

µν

4 π

A

(e)

ν

.

(44)

Получим первую поправку. Для этого поляризационный оператор возьмём в (32) и заменим

точный фотонный пропагатор на свободный. С учётом того что k

0

= 0 получаем:

ϕ (k) = ϕ

0

(k) + P (− k

2

) ϕ

0

(k) .

(45)

Отсюда видно, что возмущение потенциала есть

δ ϕ (k) =

4 πe

1

k

2

P (− k

2

) =

4 πe

1

y

2

P (−y

2

) ≡ δ ϕ (−y

2

) ,

δ ϕ (r) =

Z

e

i k r

δ ϕ (k)

d

(3)

k

(2 π)

3

=

1

2 π

2

∞

Z

0

δ ϕ (−y

2

)

sin yr

r

y d y .

(46)

Так как подынтегральное выражение чётно, то

δ ϕ (r) =

1

4 π

2

r

Im

+∞

Z

−∞

δ ϕ (−y

2

) e

i r y

y d y .

(47)

Теперь сместим контур интегрирования с вещественной оси переменной y в верхнюю полуплоскость
так, как показано на рис. 25.

2 im

y

Рис. 25

На рис. 25 Im P на левом берегу разреза задаётся при помощи (30). Положим y = i x. Тогда (47)

переписывается как

δ ϕ (r) =

e

1

r





−

2

π

∞

Z

2 m

Im P (t = x

2

)

e

−r x

x

d x





.

Теперь выпишем потенциал (45):

ϕ (r) =

e

1

r

+ δ ϕ (r) =

e

1

r





1 +

2 e

2

3 π

∞

Z

1

e

−2 m r ζ



1 +

1

2 ζ

2

 pζ

2

− 1

ζ

2

d ζ





.

(48)