Лекции по квантовой электродинамике - часть 27

Лекция 11. I. Однопетлевая структура КЭД. Электронный и фотонный пропагаторы

110

Оценим ϕ (r) в двух предельных случаях.
а) m r ≫ 1.

Интеграл (48) легко оценивается при помощи подстановки ζ = 1 + ξ:

ϕ (r) =

e

1

r



1 +

e

2

4

√

π

·

e

−2 m r

(m r)

3/2



,

r ≫

1

m

.

(49)

б) m r ≪ 1.

Опуская вычисления, приводим ответ (см. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теоретическая физика.

Т. 4, § 114):

ϕ (r) =

e

1

r



1 +

2 e

2

3 π



ln

1

m r

− C −

5
6



,

r ≪

1

m

,

(50)

где C = 0, 577 . . . — постоянная Эйлера.

Мы видим, что поляризация вакуума искажает кулоново поле точечного заряда в области

r . 1/m (= ~/m c), где m — масса электрона. Вне этой области искажение поля убывает по
экспоненциальному закону.

Задачи

1. Вычислить в однопетлевом приближении константу перенормировки дираковского поля Z

2

.

2

∗

. Установить путём прямого вычисления что в калибровке α = 3 для удовлетворения массовым

оператором условий нормировки (40 a Л10) не требуется введение массы фотона.

111

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Лекция 12

II. ОДНОПЕТЛЕВАЯ СТРУКТУРА КЭД.
ВЕРШИННЫЙ ОПЕРАТОР И АНОМАЛЬНЫЙ МАГНИТНЫЙ

МОМЕНТ ЭЛЕКТРОНА

1. Формфакторы электрона

Рассмотрим вершинный оператор Γ

µ

(p

2

, p

1

) в случае, когда две электронные линии являются

внешними, а фотонная — внутренней с 4-импульсом k = p

2

− p

1

(если рассматривать её как

входящую). Электронным внешним линиям отвечают множители u

1

= u

p

1

и u

2

= u

p

2

, так что Γ

входит в выражение для диаграмм в виде J

µ

f i

= u

2

Γ

µ

(p

2

, p

1

) u

1

. Амплитуда перехода, описывающая

k = p

2

− p

1

p

2

p

2

p

2

p

1

p

1

p

1

p

p − k

q = p − p

2

(a)

(b)

(c)

Рис.26

рассеяние электрона во внешнем поле в первом порядке по этому полю представляется как

M

f i

= −e J

µ

f i

A

(e)

µ

(k) ,

J

µ

f i

= u

2

Γ

µ

(p

2

, p

1

) u

1

,

(1)

где A

(e)

µ

— эффективное (с учётом поляризации вакуума) внешнее поле. Однопетлевой вклад в

эффективное внешнее поле задаётся диаграммой (c) на рис. 26. Поскольку эта амплитуда является
скаляром (а не псевдоскаляром), а A

(e)

µ

— вектором, то величина J

µ

f i

является вектором во всех

приближениях и она может быть выражена лишь через истинные векторы, которые могут быть
составлены из имеющихся в нашем распоряжении 4-векторов p

1

и p

2

(k = p

2

− p

1

) и биспиноров

u

1

и u

2

. Всего имеется три таких вектора:

u

2

γ

µ

u

1

,

(u

2

u

1

) P

µ

,

(u

2

u

1

) k

µ

,

(2)

где P

µ

= p

µ
1

+ p

µ
2

. Вследствие тождества Уорда (10 Л10), формул (39 Л10), (40 a Л10) и равенства

(38 a Л8) имеем:

k

µ

J

µ

f i

= 0 .

(3)

Так как 4-импульсы p

1

и p

2

находятся на массовой поверхности, то k

µ

P

µ

= 0, но k

µ

k

µ

6= 0.

Кроме того, вследствие (38 a Л8) k

µ

u

2

γ

µ

u

1

= 0. Поэтому

J

µ

f i

= f

1

· (u

2

u

1

) P

µ

+ f

2

· (u

2

γ

µ

u

1

) ,

(4)

где f

1

и f

2

— инварианты, которые называются электромагнитными формфакторами электрона.

Из двух векторов p

1

и p

2

(p

2

1

= p

2

2

= m

2

) можно составить лишь одну инвариантную величину,

в качестве которой возьмём k

2

. Формфакторы являются функциями лишь k

2

.

При помощи формул (5 Л8), (10 Л8) и (38 Л8) получаем:

(u

2

σ

µν

u

1

) k

ν

= −m (u

2

γ

µ

u

1

) +

1
2

(u

2

u

1

) P

µ

.

(5)

Лекция 12. II. Однопетлевая структура КЭД.

112

Поэтому представление (4) может быть переписано как

J

µ

f i

= f (k

2

)(u

2

γ

µ

u

1

) −

1

m

g(k

2

)(u

2

σ

µν

u

1

) k

ν

,

(6)

где f и g — другие формфакторы.

Член в амплитуде рассеяния (1), пропорциональный g(k

2

), имеет вид

δM

f i

=

e

m

g(k

2

)(u

2

σ

µν

u

1

) k

ν

A

(e)

µ

.

(7)

Рассмотрим чисто магнитное поле A

(0)µ

= (0, A) и пусть k

µ

= (0, k), k → 0. Это значит, что

поле не зависит от времени и оно медленно изменяется в пространстве

1

. Перепишем (7) с учётом

того, что в данном случае имеются лишь пространственно-пространственные компоненты тензора
электромагнитного поля и H

i

(k) = i ε

ijk

k

j

A

(e)
k

(k):

δM

f i

=

e

m

g(0) u

2

 i

2

ε

ijk

σ

jk



u

1

H

i

.

Такой же вклад в амплитуду даст добавка к гамильтониану

δ H =

Z

d

(3)

x ψ



−

e

m

g(0)

 i

2

ε

ijk

σ

jk



H

i



ψ −→

Z

d

(3)

x ϕ

†

h

−

e

m

g(0) s H

i

ϕ .

(8)

Последнее выражение в (8) получается из предыдущего в нерелятивистском пределе в стандартном
представлении. Сравнение (8) с уравнениями (28 Л8) и (30 Л8) показывает, что радиационные по-
правки дают дополнительный вклад в магнитный момент электрона, так что его полный магнитный
момент (в обычных единицах)

µ =

e ~

2 m c

(1 + g(0)) .

(9)

Очевидно, что первое слагаемое в (6) не может дать вклад в аномальный магнитный момент.

Действительно, при k → 0 для первого слагаемого в (6) имеем f(k

2

)(u

2

γ

µ

u

1

) → 2 f(0) p

µ

, где p

µ

— импульс электрона.

2. Аналитические свойства формфакторов

Амплитуда (1) описывает два канала реакции. В канале рассеяния переменная

t ≡ k

2

= (p

2

− p

1

)

2

≤ 0 .

(10)

Путём замены p

2

→ p

−

, p

1

→ −p

+

мы приходим к аннигиляционному каналу, отвечающему

рождению электрон-позитронной пары с 4-импульсами p

−

и p

+

. В этом канале

t = (p

−

+ p

+

)

2

≥ 4 m

2

.

(11)

Область значений 0 < t < 4 m

2

— нефизическая.

Применим условие унитарности (34 Л5). В канале рассеяния (t < 0) нет физических промежу-

точных состояний: один свободный электрон не может изменить свой импульс или родить какие
либо другие реальные (не виртуальные) частицы; в нефизической области их также нет. Поэтому
при t < 4 m

2

правая сторона равенства (34 Л5) отсутствует, так что

M

f i

= M

∗

if

.

(12)

Равенство (12) справедливо, конечно, во всех приближениях. Перестановка начального и конечного
состояний означает перестановку p

1

и p

2

, а тем самым замену k → −k. Из соотношения (12) для

выражения (1) вытекает, что

J

µ

f i

A

(e)

µ

(k) = J

µ ∗

if

A

(e) ∗

µ

(−k) .

1

В этом случае в (7) можно заменить "одетое"поле A

(e)

µ

на "голое"поле A

(e)

µ

. Действительно, в конце лекции 11

было показано, что (в однопетлевом приближении) слабое медленно меняющееся "одетое"кулоново поле фактически
совпадает с "голым". Это же утверждение во всех порядках ТВ имеет место в отношении любого слабого и медленно
изменяющегося электромагнитного поля.

113

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Но вследствие вещественности электромагнитного поля A

(e)

µ

(k) = A

(e) ∗

µ

(−k), и потому

J

µ

f i

= J

µ ∗

if

,

t < 4 m

2

.

(13)

Легко проверить, что (см. (8 Л8) и (11 Л8))

(u

2

γ

µ

u

1

) = (u

1

γ

µ

u

2

)

∗

,

(u

2

σ

µν

u

1

) = −(u

1

σ

µν

u

2

)

∗

.

Поэтому f

∗

if

отличается от f

f i

лишь заменой функций f (t) и g (t) их комплексно сопряжёнными.

Тогда из (13) следует, что

Im f (t) = Im g (t) = 0 ,

t < 4 m

2

.

(14)

Из диаграмм (b) и (c) на рис. 26 видно, что в аннигиляционном канале (t > 4 m

2

) уже в однопетлевом

приближении существуют реальные промежуточные частицы. Поэтому правая часть условия уни-
тарности для амплитуды (1) отлична от нуля и формфакторы f и g комплексны. Аналитические
свойства функций f (t) и g (t) аналогичны свойствам функций P (t). Эти функции аналитич-

ны в комплексной плоскости переменной t, разрезанной вдоль положительной вещественной оси
t > 4 m

2

, причём

f

∗

(t) = f (t

∗

) ,

g

∗

(t) = g (t

∗

) .

(15)

Условие перенормируемости (46 Л10), применённое к (6), даёт

f (0) = 1 .

(16)

Это условие учитывается автоматически, если в дисперсионном соотношении использовать не f (t),
а (f (t) − 1)/t. Таким образом

f (t) − 1 =

t

π

∞

Z

4 m

2

Im f (t

′

) d t

′

t

′

(t

′

− t − i ε)

.

(17)

Для формфактора g (t) условие перенормировки (46 Л10) не даёт ограничений, так что аналогич-
ная формула имеет вид

g (t) =

1

π

∞

Z

4 m

2

Im g (t

′

) d t

′

t

′

− t − i ε

.

(18)

В (17), (18) мнимые части функций, как и обычно, берутся на верхних берегах разреза.

Рассмотрение, проведенное до сих пор, справедливо во всех порядках ТВ.

3. Вычисление мнимых частей по интегралу Фейнмана

Выпишем амплитуду, соответствующую диаграмме (b) на рис. 26 в аннигиляционном канале

(p

2

→ p

−

, p

1

→ −p

+

, q → p − p

−

, k = p

−

+ p

+

):

−i e u

p

−

Γ

µ

u

−p

+

= (−i e)

3

u

p

−

γ

ν

i

Z

d

(4)

p

(2 π)

4

S

c

(p) γ

µ

S

c

(p − k) γ

λ

u

−p

+

D

α

λν

(p − p

−

) .

(19)

Далее обкладки u

p

−

. . . u

−p

+

во всех формулах опускаются для сокращения записи, но равенства

u

p

−

6p

−

= m u

p

−

и 6p

+

u

−p

+

= −m u

−p

+

используются в вычислениях. В калибровке Фейнмана

α = 1 имеем:

f (k

2

) γ

µ

−

1

m

g (k

2

) σ

µν

k

ν

=

Z

i ϕ

µ

(p

0

, p) d

(4)

p

(p

2

− m

2

)[(p − k)

2

− m

2

]

,

(20)

где

ϕ

µ

(p

0

, p) = −

e

2

4 π

3

·

γ

ν

(6p +m) γ

µ

(6p − 6k +m) γ

ν

[(p − p

−

)

2

− λ

2

]

.

(21)

Здесь опять введена бесконечно малая масса фотона λ в фотонный пропагатор.

Разрез проходит в t-плоскости при t > 4 m

2

. При таких значениях t = k

2

существует система

отсчёта K

0

, в которой k = (k

0

, 0). В системе K

0

(p − k)

2

= (p

0

− k

0

)

2

− p

2

,

p

0

−

= p

0

+

=

1
2

k

0

=

√

t

2

,

p

−

= − p

+

,

| p

−

| =

1
2

p

t − 4 m

2

. (22)