Лекции по квантовой электродинамике - часть 28

Лекция 12. II. Однопетлевая структура КЭД.

114

Введём обозначение ω = +

p| p |

2

+ m

2

. Тогда

d

4

p = | p | ω d p

o

d ω d o

p

.

(23)

В системе отсчёта K

0

знаменатель в интеграле (20) имеет полюса по p

0

в точках

a) p

0

= ω − iε ,

a

′

) p

0

= −ω + iε ,

b) p

0

= k

0

− ω + iε , b

′

) p

0

= k

0

+ ω − iε .

(24)

Для определённости считаем k

0

> 0, что отвечает процессу рождения пары (ответ не зависит от

этого предположения, поскольку является функцией (k

0

)

2

). Ясно, что лишь полюса a) и b) могут

совпасть при интегрировании в (20), что происходит при ω = (1/2) k

0

(это возможно лишь при

k

0

> 2m). На рис. 27 показано расположение полюсов в комплексной плоскости p

0 1

.

p

0

a

b

a

′

b

′

Рис. 27

При замене в интеграле (20) k

2

→ k

2

− iδ, δ → +0, интеграл изменяется скачкообразно, посколь-

ку при такой замене мы попадаем на нижний берег разреза. Однако из рис. 27 видно, что если
полюса a) и b) не совпадают, то при указанной замене параметра скачка быть не может, посколь-
ку контур интегрирования может быть плавно изменён (на рис. 27 новый контур интегрирования
изображён пунктиром). Поэтому бесконечно малое смещение полюсов не переводит их на другую
сторону контура интегрирования. Отсюда видно, что мнимая часть (или скачок интеграла) по-
является лишь при условии совпадения полюсов a) и b). Такое совпадение происходит лишь при
одновременном обращении в нуль обоих сомножителей в знаменателе интеграла (20). Это значит,
что для нахождения скачка в интеграле (20) следует вставить под интеграл вместо знаменателя
множитель δ(p

2

− m

2

) δ[(p − k)

2

− m

2

]. Для вычисления коэффициента при этом множителе заме-

ним исходный контур интегрирования C на два других C

′

и C

′′

так, как показано на рис. 28.

C

C

′

C

′′

a

a

b

b

a

′

a

′

b

′

b

′

Рис. 28

Интеграл по контуру C

′

уводится от полюсов a) и b) и потому не даёт скачка. Интеграл по контуру

C

′′

легко вычисляется взятием вычета, что эквивалентно замене под интегралом (20)

1

p

2

− m

2

→ (−2πi) δ(p

2

− m

2

) .

(25)

1

Совпадение полюсов внутренних фотонной и одной из фермионных линий невозможно, поскольку вследствие

сохранения 4-импульса электрон не может излучить частицу.

115

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Знак "−" в (25) имеет место вследствие отрицательной ориентации контура C

′′

. Теперь очевидно,

что разность значений интеграла (20) на верхнем и нижнем берегах разреза даётся величиной

Z

p

0

>0

d

(4)

p i ϕ

µ

(p

0

, p) [−2πi δ(p

2

− m

2

)]



1

(p − k)

2

− m

2

+ iδ

−

1

(p − k)

2

− m

2

− iδ



=

=

Z

p

0

>0

d

(4)

p i ϕ

µ

(p

0

, p) [−2πi δ(p

2

− m

2

)][−2πi δ((p − k)

2

− m

2

)] .

(26)

Можно доказать общее правило Каткосского для отыскания скачка диаграмм:
1. разобьём диаграмму на две всеми возможными способами путём разрезания её пропагаторов;
2. для каждого разрезанного пропагатора частицы массы m делаем замену (p

2

− m

2

+ iε)

−1

→

(−2πi) δ(p

2

− m

2

), затем вычисляем петлевые интегралы;

3. суммируем вклады от всех возможных разрезаний.
В результате интегрирования в системе K

0

δ-функции в (26) легко снимаются. При помощи

(22) и (23) и (26) находим для скачка интеграла (20):

Disc

Z

iϕ

µ

d

4

p

(p

2

− m

2

)[(p − k)

2

− m

2

]

=

Z

p

0

>0

| p | ω d p

o

d ω d o

p

iϕ

µ

×

×[−2πi δ (p

2

0

− ω

2

)] [−2πi δ ((p

0

− k

0

)

2

− ω

2

)] = −i

π

2

2

r t − 4m

2

t

Z

d o

p

ϕ

µ

 √t

2

, p



,

(27)

p

0

=

√

t

2

,

| p | =

1
2

p

t − 4m

2

.

(28)

Вычислим интеграл в (27) в системе центра инерции K

0

, в которой

p

−

=

 

√

t

2

, 0, 0,

√

t − 4m

2

2

!

,

p =

 √t

2

, p



,

p =

√

t − 4m

2

2

(sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) .

(29)

При помощи формул (62 Л8), (22), (28) и (29) величина (21) переписывается в виде

ϕ

µ

=

e

2

π

3

ρ

(−2p

µ

6p + 6k γ

µ

6p +4m p

µ

− 2m k

µ

) ,

ρ = (t − 4m

2

) (1 − cos θ) + 2λ

2

.

(30)

Введём обозначения

κ

µ

=

Z

d o

p

p

µ

ρ

,

κ

µν

=

Z

d o

p

p

µ

p

ν

ρ

.

(31)

Приведём ненулевые значения компонент этих величин:

κ

0

=

π

√

t

t−4m

2

ln

t−4m

2

λ

2

,

κ

3

=

π

√

t−4m

2

h

−2 + ln

t−4m

2

λ

2

i

,

κ

00

=

πt

2(t−4m

2

)

ln

t−4m

2

λ

2

,

κ

03

=

π

2

q

t

t−4m

2

h

−2 + ln

t−4m

2

λ

2

i

,

κ

33

=

π

2

h

−2 + ln

t−4m

2

λ

2

i

,

κ

αβ

=

π

2

δ

αβ

,

α, β = 1, 2 .

(32)

Далее в этом пункте обозначаем символом ≈ те равенства, которые имеют место лишь в

обкладках u

p

−

. . . u

−p

+

. Например, формула (5) в аннигиляционном канале имеет вид

σ

µν

k

ν

≈ −mγ

µ

+

1
2

(p

µ
−

− p

µ
+

) .

(33)

Теперь вычислим скачок на разрезе равенства (20) и, в первом случае, свернём его с вектором

P

µ

, а во втором случае рассмотрим скачок этого векторного равенства с индексами µ = α = 1, 2

(напомним, что равенство (20) рассматривается в "обкладках" u

p

−

. . . u

−p

+

). Таким образом мы

получим два независимых уравнения, при помощи которых найдём мнимые части формфакторов.

Лекция 12. II. Однопетлевая структура КЭД.

116

В первом случае, учитывая равенство (33), находим скачок левой части Ур. (20):



2m Im f (t) +

t

2m

Im g(t)



· u

p

−

u

−p

+

 .

(34)

Скачок же правой части этого равенства в данном случае равен

−

π

2

4

r t − 4m

2

t

Z

d o

p

u

p

−

P

µ

ϕ

µ

u

−p

+

 .

(35)

Согласно (30)

P

µ

ϕ

µ

=

e

2

π

3

ρ

−2(p P ) 6p + 6p

−

+ 6p

+

6p

−

− 6p

+

 6p +4m (p P ) .

(36)

Проведём простые преобразования:

6p

−

+ 6p

+

6p

−

− 6p

+

 6p = − 6p

−

6p

+

+ 6p

+

6p

−

 6p = −2 6p

−

6p

+

6p +2(p

−

p

+

) 6p ≈

≈ −2m 6p

+

6p +2(p

−

p

+

) 6p = −4m (p

+

p) + 2m 6p 6p

+

+2(p

−

p

+

) 6p ≈ 2 (p

−

p

+

) − m

2

 6p −4m (p

+

p). (37)

Согласно (29)

p =

p

−

+ p

+

2

+

p

−

− p

+

2

cos θ + (0, p

1

, p

2

, 0),

(38)

и потому

u

p

−

6p u

−p

+

= m cos θ (u

p

−

u

−p

+

) −

 

2

X

α=1

u

p

−

γ

α

p

α

u

−p

+

!

.

(39)

Таким образом

P

µ

ϕ

µ

=

2e

2

π

3

ρ



− (p P ) + (p

−

p

+

) − m

2

 6p +2m (p P ) − (p

+

p)

 ≈

≈

2e

2

m

π

3

ρ



p

t − 4m

2

p

3

+

(t − 4m

2

)

2



cos θ − 3

p

t − 4m

2

p

3

+

√

t p

0



=

=

2e

2

m

π

3

ρ

h

2 p

3

2

− 2

p

t − 4m

2

p

3

−

√

t p

0

i

,

(40)

так как

cos θ =

2p

3

√

t − 4m

2

.

(41)

В правой части (40) слагаемые вида p

3

p

α

, α = 1, 2 не выписаны, так как согласно (32) под интегра-

лом в (35) они обращаются в нуль.

Комбинируя (34), (35) и (40), получаем:

2m Im f (t) +

t

2m

Im g(t) = −

e

2

m

2π

r t − 4m

2

t

Z

d o

p

ρ

h

2 p

3

2

− 2

p

t − 4m

2

p

3

−

√

t p

0

i

.

(42)

Во втором случае скачок равенства (20) принимает вид

Im f (t) + Im g(t)

u

p

−

γ

α

u

−p

+

= −

e

2

2π

r t − 4m

2

t

Z

d o

p

ρ

u

p

−



−p

α

6p +

1
2

6k γ

α

6p



u

−p

+

.

(43)

Здесь было учтено, что

Z

d o

p

ρ

p

α

ρ

= 0,

k

α

= 0,

α = 1, 2.

Легко устанавливается следующее равенство:

1
2

u

p

−

6k γ

α

6p u

−p

+

= − p

+

p

u

p

−

γ

α

u

−p

+

.

(44)

117

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Уравнение (43) переписывается при помощи равенства (44) как

Im f (t) + Im g(t) =

e

2

2π

r t − 4m

2

t

Z

d o

p

ρ

"

p

α

u

p

−

6p u

−p

+

u

p

−

γ

α

u

−p

+

+

√

t − 4m

2

2

p

3

+

√

t

2

p

0

#

.

(45)

Уравнения (42) и (45) позволяют найти мнимые части обоих формфакторов по отдельности:

Im g(t) = −

e

2

m

2

π

pt(t − 4m

2

)

Z

d o

p

ρ

"

2 p

3

2

−

p

t − 4m

2

p

3

+ 2

p

α

u

p

−

6p u

−p

+

u

p

−

γ

α

u

−p

+

#

,

Im f (t) =

e

2

4π

pt(t − 4m

2

)

Z

d o

p

ρ



√

t t − 4m

2

p

0

+

+ t − 8m

2

pt − 4m

2

p

3

+ 8m

2

p

3

2

+ 2t

p

α

u

p

−

6p u

−p

+

u

p

−

γ

α

u

−p

+



.

(46)

Теперь при помощи формул (32) приводим равенства (46) к окончательному виду:

Im g(t) =

e

2

m

2

pt (t − 4m

2

)

,

Im f (t) =

e

2

4

pt (t − 4m

2

)



−3t + 8m

2

+ 2(t − 2m

2

) ln

t − 4m

2

λ

2



.

(47)

Инфракрасная расходимость имеется только в f(t).

Формфакторы могут быть вычислены точно по их мнимым частям при помощи уже использо-

вавшейся подстановки t

′

= 4m

2

/(1 − x

2

) (см. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теоретическая физика.

Т. 4, § 117). Однако мы ограничимся их асимптотическими значениями.

Согласно (18) и (47)

g(0) =

e

2

m

2

π

∞

Z

4 m

2

d t

t

pt(t − 4m

2

)

=

e

2

2 π

.

(48)

При | t | ≪ 4m

2

можно пренебречь параметром t под знаком интеграла в (17):

f (t) − 1 =

e

2

t

8 π m

2

1

Z

0

d x



−1 − 2 x

2

+ (1 + x

2

) ln

4 x

2

1 − x

2

+ (1 + x

2

) ln

m

2

λ

2



=

e

2

t

3 π m

2



ln

m

λ

−

3
8



.

Поэтому

f (t) − 1 =

e

2

t

3 π m

2



ln

m

λ

−

3
8



,

g (t) =

e

2

2 π

,

| t | ≪ 4 m

2

.

(49)

При t

′

≫ 4 m

2

из (47) получаем, что Im f (t

′

) = (e

2

/2) ln(t

′

/λ

2

). Оценим сначала f (t) при

−t ≫ 4 m

2

. Делая соответствующие пренебрежения, сводим интеграл в (17) к интегралу

f (t) − 1 =

e

2

t

2 π

∞

Z

4 m

2

ln

t

′

λ

2

d t

′

t

′

(t

′

+ | t |)

,

который легко оценивается при помощи подстановки t

′

= 4 m

2

e

x

, 0 < x < ∞:

f (t) − 1 =

e

2

t

2 π

∞

Z

0



x + ln

4 m

2

λ

2



d x

(| t | + 4 m

2

e

x

)

.

Знаменатель в подынтегральном выражении почти равен | t | при x < x

0

и быстро падает при

x > x

0

, где x

0

= ln [| t |/4 m

2

]. Поэтому при −t ≫ 4 m

2

f (t) − 1 = −

e

2

2 π

 1

2

ln

2

| t |

m

2

+ 2 ln

m

λ

ln

| t |

m

2



.

(50)