Лекции по квантовой электродинамике - часть 29

Лекция 12. II. Однопетлевая структура КЭД.

118

При больших положительных | t | этот формфактор приобретает мнимую часть, а вещественная

остаётся прежней. Легко сделать аналогичную оценку для g (t). Таким образом

f (t) − 1 = −

e

2

2 π

 1

2

ln

2

| t |

m

2

+ 2 ln

m

λ

ln

| t |

m

2



+







i

e

2

2

ln

|t|

λ

2

, если t ≫ 4 m

2

0 ,

если − t ≫ 4 m

2

,

(51)

g (t) = −

e

2

m

2

π t

ln

| t |

m

2

+







i

e

2

m

2

t

, если t ≫ 4 m

2

0 ,

если − t ≫ 4 m

2

,

(52)

4. Аномальный магнитный момент электрона

Согласно (9) и (48) в однопетлевом приближении магнитный момент электрона

µ =

e ~

2 m c



1 +

e

2

2 π ~ c



.

(53)

Эта формула впервые была получена Ю. Швингером в 1949 году.

Задачи

1. а) Оценить качественно вклад в магнитный момент электрона g

(2)

поляр

(0), происходящий от поля-

ризации вакуума мюонной петлёй

1

. Иными словами, оценить вклад в g

(2)

(e)

(0) от последней диаграм-

мы на рис. 16 в том случае, когда по вакуумной петле распространяется виртуальная мюонная пара.

б) То же самое, взаимно заменяя электроны и мюоны.

Указание. Согласно (20 Л10) вклад в формфакторы от нужной диаграммы получается путём

замены

D

λν

(q) −→ D

λν

(q) P(q

2

).

Так как q

2

= −ρ, то учёт нужной диаграммы означает замену

1/ρ −→ 1/ρ P(−rho)

В выражении для Im g(t) в Ур. (46). В случае а) поляризационный оператор зависит от массы мюо-
на m

µ

, в то время как в интеграле (46) (за исключением поляризационного опертора) используется

электронная масса m

e

. Во втором случае делается взаимная замена m

µ

←→ m

e

.

Ответ:
а) g

(2)

(e) поляр от µ

∼ α

2



m

e

m

µ



2

≪ α

2

.

б) g

(2)

(µ) поляр от e

∼ α

2

ln



m

µ

m

e



.

1

Считать мюон элементарной частицей, отличающейся от электрона лишь массой: m

µ

= 206, 8 m

e

. В остальном

динамика мюонов и их взаимодействие с электромагнитным полем не отличаются от динамики электронов и их
взаимодействия с фотонами.

119

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Лекция 13

ИНФРАКРАСНАЯ ПРОБЛЕМА.

ЛЭМБОВСКИЙ СДВИГ УРОВНЕЙ

Мы видели, что некоторые величины в КЭД вследствие инфракрасных расходимостей не могут

быть вычислены без конечной массы фотона. В этой лекции будет показано, что в физически на-
блюдаемых величинах (в отличие от ненаблюдаемых величин) нефизическая масса фотона может
быть устремлена к нулю и при этом наблюдаемые величины имеют конечный предел.

1. Массивное векторное поле

Поскольку массивное векторное поле имеет (для каждого импульса) три физических степени

свободы (а не две — как в случае фотонного поля), то для корректного обращения с массивным
векторным полем следует внести исправления в некоторые формулы.

Действие массивного векторного поля имеет вид

S = −

1

4 π

Z

d

(4)

x

4

(∂

µ

A

ν

− ∂

ν

A

µ

)

2

−

λ

2

2

A

2

µ



.

(1)

Мы выбрали нормировку, совпадающую с нормировкой электромагнитного поля (сравни с (16 Л7))
для облегчения дальнейшего предельного перехода. Действие (1) приводит к следующему уравне-
нию движения:

∂

ν

(∂

µ

A

ν

− ∂

ν

A

µ

) − λ

2

A

µ

= 0 .

(2)

Из (2) следует условие

∂

µ

A

µ

= 0 .

(3)

В результате уравнение движения (2) упрощается:

(∂

ν

∂

ν

+ λ

2

) A

µ

= 0 .

(4)

При помощи уравнения движения (2) находим пропагатор (сравни с (53 Л7))

D

µν

(k) =

4 π

k

2

− λ

2



η

µν

−

k

µ

k

ν

λ

2



.

(5)

Сумма по поляризациям векторной частицы даёт правило (сравни с (33 Л7)):

3

X

α=1

e

µ

α

e

ν ⋆

α

= −



η

µν

−

k

µ

k

ν

λ

2



.

(6)

Эта формула вытекает из равенств k

µ

e

µ

α

= 0 и k

2

= λ

2

.

Взаимодействие векторного поля с электрон-позитронным полем описывается тем же действием

S

int

= −e

R

d

(4)

xA

µ

J

µ

, что и в случае фотонного поля. Поэтому вследствие калибровочной инвари-

антности, то есть независимости физических величин от продольной части пропагатора, мы можем
опустить в (5) продольную часть и пользоваться пропагатором

D

µν

(k) =

4 π

k

2

− λ

2

η

µν

.

(7)

Именно пропагатор (7) использовался в предыдущих лекциях.

2. Излучение мягких фотонов

Для определённости рассмотрим процесс рассеяния электрона внешним электромагнитным по-

лем. Например, это может быть неподвижное массивное ядро. На рис. 29 (a) изображена диаграмма
упругого процесса рассеяния электрона, в результате которого электрон переходит из состояния с
импульсом p в состояние с импульсом p

′

. Диаграммы на рис. 29 (b), (c) изображают процесс

Лекция 13. Инфракрасная проблема. Лэмбовский сдвиг уровней

120

неупругого рассеяния, отличающийся от упругого процесса испусканием дополнительного мягкого
фотона (k → 0).

Диаграмма на рис. 29 (a) аналитически представляется в виде

M

(elas)

f i

= u

p

′

M u

p

.

(8)

Рассмотрим амплитуду, изображённую на рис. 29 (c). Эта амплитуда получается из амплитуды,

PSfrag

(a)

(b)

(c)

p

′

p

′

p

′

p

′

+ k

k

k

p

p

p

p − k

Рис.29

изображённой на рис. 29 (a), путём замены

u

p

→

√

4 π e S

c

(p − k) γ

µ

e

∗

µ

u

p

=

√

4 π e

6p − 6k +m

(p − k)

2

− m

2

6e

∗

u

p

≈ −

√

4 π e

6p +m

2pk − λ

2

6e

∗

u

p

.

(9)

Здесь было учтено, что k

2

= λ

2

и k → 0. Так как

6p 6e

∗

= 2 p e

∗

− 6e

∗

6p ,

6p u

p

= m u

p

,

то (9) переписывается как

u

p

→ −

√

4 π e u

p

p e

∗

pk − λ

2

/2

.

(10)

Аналогичное рассмотрение показывает, что диаграмма, изображённая на рис. 29 (b), получается из
диаграммы, изображённой на рис. 29 (a), путём замены

u

p

′

→

√

4 π e

p

′

e

∗

p

′

k + λ

2

/2

u

p

′

.

(11)

Таким образом, сумма амплитуд (b) и (c) на рис. 29

M

f i

= M

(elas)

f i



√

4 π e



p

′

e

∗

p

′

k + λ

2

/2

−

p e

∗

pk − λ

2

/2



,

(12)

а соответствующее неупругое сечение

d σ

1

= d σ

(elas)

4 π e

2






p

′

e

p

′

k + λ

2

/2

−

p e

pk − λ

2

/2






2

·

d

(3)

k

(2 π)

3

2 ω

k

,

ω

k

=

p

k

2

+λ

2

.

(13)

Из формулы (13) видна причина, по которой следует учитывать лишь фотоны, излучённые

внешними электронными линиями, но не учитывать мягкие фотоны, излучённые внутренними ли-
ниями: внешние электронные линии дают в амплитуде дополнительный множитель — электронный
пропагатор, импульс которого при k → 0 находится очень близко к массовой поверхности. Такой

пропагатор находится вблизи своего полюса и он численно велик. Поэтому при k → 0 дифферен-

циальное сечение (13) стремится к бесконечности. Если же мягкий фотон излучается внутренней
линией, то численно большого множителя не появляется, так как по импульсу виртуального элек-
трона происходит интегрирование и потому можно считать, что он находится вдали от массовой
поверхности.

Просуммируем в (13) по поляризациям векторной частицы при помощи (6). Легко увидеть, что

второе слагаемое в (6) даёт относительный вклад в сечение ∼ O(λ

2

). Так как λ

2

→ 0, то вклад

121

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

в сечение от второго слагаемого в (6) можно опустить. По этой же причине может быть опущено
слагаемое λ

2

в знаменателях под знаком модуля в (13). В результате получаем:

d σ

1

= −e

2

 p

′

p

′

k

−

p

p k



2

d

(3)

k

4 π

2

ω

k

d σ

(elas)

.

(14)

Пусть n = k /ω

k

, а v и v

′

— начальная и конечная скорости электрона. Тогда в случае λ = 0

выражение (14) в трёхмерных обозначениях принимает вид

1

d σ

1

= e

2



[v

′

, n]

1 − n v

′

−

[v, n]

1 − n v



2

·

d | k | d o

k

4 π

2

ω

k

d σ

(elas)

.

(15)

Точно к такому же выражению для сечения мы придём, если в (13) с λ = 0 просуммировать
по двум поляризациям безмассовых фотонов при помощи правила (33 Л7), справедливого для ре-
альных безмассовых фотонов. Мы видим, что формула (14) для неупругого сечения справедлива
как в случае излучения реальных безмассовых мягких фотонов, так и в случае излучения мягких
векторных частиц с бесконечно малой, но ненулевой массой, и тремя поляризациями.

Обратим внимание на то, что в случае реальных фотонов (λ = 0) амплитуда (12) калибровочно

инвариантна, т.е. она не изменяется при преобразовании вектора поляризации согласно (56 Л7). Та-
ким образом, в случае реальных фотонов можно суммировать в сечении (13) по трём поляризациям
фотона, включая продольную поляризацию. Это не изменит результат вследствие калибровочной
инвариантности амплитуды и сечения. Но это означает, что при суммировании по поляризациям
реального фотона можно пользоваться формулой (6) с последующим переходом к пределу λ → 0.

Именно такой подход и был использован при получении формулы (14). Приведенное рассуждение
объясняет переход формулы (14) в формулу (15) при λ → 0. Сама же формула (15) легче всего

получается из формулы (13) при λ = 0 при помощи правила (33 Л7).

Множитель, стоящий перед d σ

(elas)

в (15), совпадает с (делённой на ω

k

) классической интен-

сивностью d I тормозного излучения малых частот (см. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теорети-
ческая физика, Т. 2, § 69). Таким образом, излучение длинноволновых фотонов является, по сути,

классическим процессом.

Полученные формулы применимы, конечно, при условии

ω ∼ | k | ≪ p

0

.

(16)

Необходимо также, чтобы передача импульса q = p

′

− p рассеивающему центру (ядру) была

велика по сравнению с изменением этой величины вследствие испускания мягкого фотона. Так как

δ| p | ∼

∂| p |

∂ p

0

ω

k

∼

ω

k

v

,

то имеем ограничение

ω

k

/|q| v ≪ 1 .

(17)

Полученный результат легко обобщается на случай испускания нескольких фотонов. Например,

в случае испускания двух мягких фотонов с импульсами и векторами поляризации, нумеруемыми
индексами 1 и 2, амплитуда (12) содержала бы вместо одного множителя в квадратной скобке два
аналогичных множителя:



√

4 π e

 p

′

e

∗

1

p

′

k

1

−

p e

∗

1

pk

1



√

4 π e

 p

′

e

∗

2

p

′

k

2

−

p e

∗

2

pk

2



.

(18)

1

Действительно, p = p

0

(1, v), и так как при λ = 0

ω

k

= | k |, то p k = p

0

| k | (1 − n v), p p

′

= p

0

p

′

0

(1 − v v

′

), и

потому

−| k |

2



p

′

p

′

k

−

p

p k



2

= −

m

2

(p

′

0

)

2

(1 − n v

′

)

2

−

m

2

p

2

0

(1 − n v

′

)

2

+

2 (1 − v v

′

)

(1 − n v)(1 − n v

′

)

=

=



v

′

2

(1 − n v

′

)

2

+

v

2

(1 − n v)

2

−

2 v v

′

(1 − n v)(1 − n v

′

)



−



1

(1 − n v

′

)

2

+

1

(1 − n v)

2

−

2

(1 − n v)(1 − n v

′

)



.

(∗)

С другой стороны



p

′

p

′

k

−

p

p k



2

=



v

′

2

(1 − n v

′

)

2

+

v

2

(1 − n v)

2

−

2 v v

′

(1 − n v)(1 − n v

′

)



−



(n v

′

)

2

(1 − n v

′

)

2

+

(n v)

2

(1 − n v)

2

− 2

(n v)(n v

′

)

(1 − n v)(1 − n v

′

)



.

(∗∗)

Простое вычисление показывает, что квадратные скобки в (*) и (**) равны одному и тому же значению
(n, v − v

′

)

2

[(1−n v)

2

(1−n v

′

)

2

]

−

1

. Отсюда следует равенство выражений (14) и (15) в случае нулевой массы фотона.