Лекции по квантовой электродинамике - часть 30

Лекция 13. Инфракрасная проблема. Лэмбовский сдвиг уровней

122

В этом нетрудно убедиться прямым вычислением. Действительно, рассмотрим диаграмму, отлича-
ющуюся от диаграммы на рис. 29 (c) тем, что входящий электрон с импульсом p излучает сначала
мягкий фотон с импульсом k

1

и затем мягкий фотон с импульсом k

2

. Будем считать фотоны

безмассовыми. Вычисление, аналогичное тому, которое привело к формуле (10), теперь показывает,
что в данном случае вклад в амплитуду получается из амплитуды на рис. 29 (a), если в ней сделать
замену (учитываются лишь главные вклады по k

1

и k

2

)

u

p

→ u

p

[−

√

4 π e (p e

∗

1

)][−

√

4 π e (p e

∗

2

)]

(p k

1

+ p k

2

)(p k

1

)

.

Если с правой частью этого равенства сложить такую же величину с перестановкой k

1

↔ k

2

, то

мы получим

u

p

→ u

p

"

−

√

4 π e (p e

∗

1

)

p k

1

# "

−

√

4 π e (p e

∗

2

)

p k

2

#

.

Теперь очевидно, что если учесть все возможности излучения двух мягких фотонов внешними элек-
тронными линиями, то в результате амплитуда получит множитель (18), поскольку этот множитель
калибровочно инвариантен.

В случае испускания n мягких фотонов для каждого фотона имеется свой множитель в ам-

плитуде. Поэтому сечение процесса с испусканием n мягких фотонов представляется в виде

d σ

n

= d σ

(elas)

d w

1

. . . d w

n

,

(19)

где d w

i

(i = 1 . . . n) — вероятность отдельного испускания фотона k

i

. Поэтому полное неупругое

сечение представляется в виде

d σ = d σ

(elas)

∞

X

n=0

1

n!





ω

max

Z

λ

d w

ω





n

.

(20)

Здесь ω

max

— некое значение частоты, удовлетворяющее условиям (16), (17). Под знаком суммы в

(20) множитель 1/n! учитывает тождественность фотонов.

Как было указано,

d w

ω

=

d I

ω

k

,

(21)

где d I — классическая интенсивность излучения мягких фотонов. Поэтому величина (21) может
интерпретироваться как среднее число излучённых фотонов d n в заданном интервале частот.
Тогда среднее число излучённых фотонов

n =

ω

max

Z

λ

d I

ω

k

=

ω

max

Z

λ

d w

ω

∼ e

2

ln

ω

max

λ

.

(22)

Последняя оценка получена при помощи (15). Хотя ω

max

≪ p

0

, при λ → 0 с логарифмической

точностью имеем оценку

n = e

2

ln

p

0

λ

.

(23)

Если n ∼ 1, то ТВ оказывается неприменимой, т.к. первая поправка (15) оказывается того же

порядка, что и d σ

(elas)

. Однако сама формула (15) тем точнее, чем меньше энергия мягкого фотона.

Выход из этой противоречивой ситуации таков.
При λ → 0 среднее число излучённых фотонов n → ∞. Мягкие фотоны излучаются стати-

стически независимо. Этот факт подтверждается всеми порядками ТВ. Поэтому к процессу мно-
жественного излучения фотонов можно применить формулу Пуассона: вероятность w

n

излучения

n фотонов выражается через их среднее число n формулой

w

n

=

n

n

n!

e

−n

.

(24)

123

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Теперь формулу (20) можно модернизировать следующим образом:

d σ =

∞

X

n=0

d σ

n

,

d σ

n

= d ˜

σ

(elas)

w

n

.

(25)

Так как P

n

w

n

= 1, то согласно (25)

d σ = d ˜σ

(elas)

.

(26)

При этом, конечно, упругое сечение в формулах (25), (26) отличается от упругого сечения в (20)
множителем:

e

−n

d ˜σ

(elas)

= d σ

(elas)

.

(27)

Таким образом мы видим, что сечение чисто упругого рассеяния равно нулю при λ → 0 (или

n → ∞), что видно из формулы (27). Вместе с этим обращается в нуль сечение рассеяния с излуче-

нием любого конечного числа мягких фотонов. Тем не менее те сечения, которые вычисляются при
помощи ТВ, конечны во всех порядках по константе связи, если учесть также и излучение мягких
фотонов. Более того, в каждом порядке по константе связи существует конечный предел для сече-
ний при устремлении массы фотона к нулю, хотя в каждом порядке по константе связи может быть
излучено лишь конечное число мягких фотонов. Этот факт демонстрируется в следующем пункте.
Таким образом, сечение рассеяния в борновском (без учёта радиационных поправок) приближении
может интерпретироваться как полное сечение рассеяния с учётом излучения любого числа мягких
фотонов, но в наинизшем приближении по константе связи (F. Bloch, A. Nordsieck, 1937).

3. Сокращение инфракрасных расходимостей

Для подтверждения сделанного в конце предыдущего пункта утверждения и проверки формулы

(26) проследим за сокращением инфракрасной расходимости в низшем порядке ТВ.

Сначала продолжим вычисление сечения (14). Имеем:

κ

≡

 p

′

p

′

k

−

p

p k



2

=

m

2

(p

′

k)

2

+

m

2

(p k)

2

−

2 p p

′

(p k)(p

′

k)

.

Воспользуемся равенством

−2 p p

′

= −2 m

2

+ (p − p

′

)

2

,

при помощи которого находим:

κ

=

m

2

(p k)

2

(p

′

k)

2

[(p k)

2

+ (p

′

k)

2

− 2 (p k)(p

′

k)] +

(p − p

′

)

2

(p k)(p

′

k)

=

m

2

[(p

′

− p) k]

2

(p k)

2

(p

′

k)

2

+

(p

′

− p)

2

(p k)(p

′

k)

.

(28)

В нерелятивистском пределе величина (28)

κ

≈

(q k)

2

m

2

ω

4

k

−

q

2

m

2

ω

2

k

,

q

= p

′

− p .

(29)

Подставим (29) в (14) и выполним тривиальное интегрирование по углам:

d σ

1

= d σ

0

e

2

q

2

π m

2

ω

max

Z

0



1 −

k

2

3 (k

2

+λ

2

)



·

k

2

d | k |

(k

2

+λ

2

)

3/2

,

(30)

где d σ

0

— упругое сечение рассеяния в неком порядке по теории возмущений. В предположении

ω

max

/λ ≫ 1 интеграл в (30) легко берётся:

d σ

1

= d σ

0

2 e

2

3 π

·

q

2

m

2



ln

2 ω

max

λ

−

5
6



,

q

2

≪ m

2

.

(31)

Все сечения d σ

n

являются рядами относительно e

2

:

d σ

n

=

X

i

d σ

(i)

n

,

(32)

Лекция 13. Инфракрасная проблема. Лэмбовский сдвиг уровней

124

так что величина d σ

(i)

n

пропорциональна e

2 i

.

Согласно формулам (1), (6) и (49) лекции 13 в однопетлевом приближении

i M

f i

= (−i e A

µ

u

p

′

γ

µ

u

p

) f (−q

2

) = i M

(1)

f i

f (−q

2

) ,

f (−q

2

) = 1 −

e

2

q

2

3 π m

2



ln

m

λ

−

3
8



,

q

2

≪ m

2

.

(33)

Нас интересуют лишь инфракрасно расходящиеся вклады. Поэтому мы не учитываем вклад в i M

f i

от формфактора g, а также вклад от амплитуды (c) на рис. 26. В нашем приближении в (31)
следует использовать d σ

(2)

0

. Это сечение строится по амплитуде первого приближения i M

(1)

f i

=

−i e A

µ

u

p

′

γ

µ

u

p

. Согласно (33)

d σ

(2)

0

+ d σ

(4)

0

= d σ

(2)

0

f

2

= d σ

(2)

0



1 −

2 e

2

q

2

3 π m

2



ln

m

λ

−

3
8



.

(34)

При помощи (31) и (34) находим:

d σ

(2)

0

+ d σ

(4)

0

+ d σ

(4)

1

= d σ

(2)

0



1 −

2 e

2

q

2

3 π m

2



ln

m

2 ω

max

+

11
24



.

(35)

Теперь в (35) можно перейти к пределу λ → 0. Однако появляется зависимость сечения от ω

max

.

Эта зависимость является следствием того, что величина ω

max

входит в определение рассеяния

как процесса, в котором может быть испущено любое число мягких фотонов с энергиями меньше
ω

max

. Сечение такого процесса будет тем меньше, чем меньше ω

max

. Из формулы (35) видно также,

что радиационные поправки к сечению малы, если частота ω

max

соизмерима с энергией покоя

электрона.

Сравнение (35) и (34) показывает, что в нерелятивистском пределе инфракрасно регуляризован-

ный формфактор

f

ω

max

(t) = 1 +

e

2

t

3 π m

2



ln

m

2 ω

max

+

11
24



,

|t| ≪ m

2

.

(36)

Замечание. Полученный результат означает следующее: в величине (35) взаимно сокращают-

ся вклады виртуальных и реальных испущенных фотонов с энергиями, меньшими ω

max

. Поэтому

регуляризованный формфактор (36) содержит лишь вклады тех промежуточных виртуальных фо-
тонов, энергии которых больше ω

max

. Таким образом, формфактор (36) описывает упругий процесс

рассеяния, в котором не учитываются мягкие виртуальные фотоны.

Доказательство сокращения инфракрасных расходимостей в сечениях в четвёртом порядке от-

носительно константы связи при любых энергиях проводится аналогично, но при помощи более
трудоёмких вычислений. Эти вычисления содержатся в (Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теоретиче-
ская физика, Т. 4).

Имеет место следующее утверждение: в суммах (20) и (25) инфракрасные расходимости сокра-

щаются во всех порядках относительно константы связи.

4. Лэмбовский сдвиг уровней

Рассмотрим многоуровневую нерелятивистскую систему, взаимодействующую с электромагнит-

ным полем. Мы будем иметь ввиду водородоподобный атом с зарядом ядра Z e, причём

Z e

2

≪ 1 .

(37)

Эта система имеет ряд дискретных одноэлектронных уровней. Электрон взаимодействует с кван-
тованным фотонным полем и вследствие этого дискретные уровни сдвигаются. В этом пункте вы-
числяется сдвиг дискретных уровней, обусловленный этим взаимодействием.

Согласно (30 Л8) нерелятивистский гамильтониан электрона имеет вид (в рассматриваемой за-

даче релятивистскими поправками к гамильтониану можно пренебречь)

H = H

0

−

e

m

p A

⊥

,

H

0

=

p

2

2 m

+ Φ(r) ,

p = −i ∂ ,

Φ(r) = −

Z e

2

r

.

(38)

125

II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Здесь A

⊥

(x) — квантованное фотонное поле (33 Л7). Спиновую составляющую гамильтониана

взаимодействия с фотонным полем (см. гамильтониан Паули (30 Л8)) здесь можно опустить ввиду
относительной малости (∼ | k |a ∼ α, где a — боровский радиус, а α — постоянная тонкой струк-

туры) соответствующей поправки. Обозначим через |Ni электронный уровень невозмущённого

гамильтониана:

H

0

|Ni = E

N

|Ni .

(39)

При помощи (36 Л7) находим матричный элемент фотонного поля между фотонным вакуумом и
однофотонным состоянием:

hk, α|A

⊥

(x)|0i =

√

4 π e

⊥ ∗

k α

e

−i k x

≈

√

4 π e

⊥ ∗

k α

.

(40)

Последнее приближённое равенство означает, что задача решается в дипольном приближении, ко-
торое в данном случае является удовлетворительным. Воспринимая второе слагаемое в H как

возмущение, выпишем первую неисчезающую поправку к уровням:

δ E

N

=

Z

d

(3)

k

(2 π)

3

2 | k |

X

α

X

N

′

4 π e

2

m

2

·

|hN| p e

⊥

k α

|N

′

i|

2

E

N

− E

N

′

− | k |

=

2 e

2

3 π m

2

X

N

′

∞

Z

0

d | k | · | k |

| p

N N

′

|

2

E

N

− E

N

′

− | k |

.

(41)

При переходе ко второму равенству в (41) мы воспользовались правилом суммирования по векторам
поляризации (33 Л7) и затем проинтегрировали по углам виртуального фотона. Интеграл по энер-
гии виртуального фотона | k | в (41) расходится линейно. Необходимо выделить логарифмическую

расходимость на фоне линейной. Для этого воспользуемся тождеством

| k |

E

N

− E

N

′

− | k |

=

E

N

− E

N

′

E

N

− E

N

′

− | k |

− 1 .

Таким образом

δ E

N

= −

2 e

2

3 π m

2

(p

2

)

N N

Z

0

d | k | +

2 e

2

3 π m

2

X

N

′

Z

0

d | k |

| p

N N

′

|

2

(E

N

− E

N

′

)

E

N

− E

N

′

− | k |

.

(42)

Предположим, что мы рассмотрели бы эту же задачу для свободного электрона с гамильтони-

аном H

0

= p

2

/2m. В этом случае, если состояния |Ni — плоские волны, то p

N N

′

∼ δ

N N

′

и

второе слагаемое в правой части (42) обращается в нуль. Первое, линейно расходящееся слагаемое,
устраняется путём перенормировки массы

1

. Действительно, пусть затравочный гамильтониан

H

0

=

p

2

2 m

0

=

p

2

2 (m + δ m)

=

p

2

2 m

−

δ m

2 m

2

p

2

,

(43)

где m

0

— затравочная масса. В свободной теории (43) имеются лишь непрерывне уровни |Ni

— плоские волны. Подберём δ m в (43) так чтобы линейные расходимости всех уровней энергии
сокращались. Согласно (42) и (43) имеем:

δ E

N

= −

2 e

2

3 π m

2

(p

2

)

N N

Z

0

d | k | −

δ m

2 m

2

(p

2

)

N N

= 0 −→ δ m = −

4 e

2

3 π

Z

0

d | k | .

Так как к гамильтониану (38) должно быть добавлено второе слагаемое из правой части (43), то
мы видим, что с точностью O(e

2

) линейно расходящиеся поправки ко всем уровням энергии

сокращаются. Поэтому сдвиг дискретного уровня энергии вследствие взаимодействия с фотонным
полем определяется вторым слагаемым в (42), в котором вычислим интеграл по фотонной энергии
от нуля до ω

max

. Так как наше вычисление — нерелятивистское, то неизвестная частота ω

max

должна удовлетворять следующим неравенствам:

(Z e

2

)

2

m ≪ ω

max

≪ m .

(44)

1

В предыдущих лекциях мы выяснили, что в дираковской теории поправки к массе электрона расходятся лога-

рифмически. Однако изучаемый здесь гамильтониан нерелятивистской заряженной частицы в равной степени может
описывать как фермиевскую, так и бозевскую частицу. Поэтому линейная расходимость перенормировки её массы
вследствие взаимодействия с электромагнитным полем не противоречит полученным результатам.