содержание .. 29 30 31 32 ..
Лекции по квантовой электродинамике - часть 31
Лекция 13. Инфракрасная проблема. Лэмбовский сдвиг уровней
126
Здесь первое неравенство означает, что учитываемые энергии фотонов в (42) много больше разности
энергий дискретных уровней: |E
N
− E
N
′
| ≪ ω
max
. Таким образом
δ E
N
=
2 e
2
3 π m
2
X
N
′
| p
N N
′
|
2
(E
N
′
− E
N
) ln
ω
max
|E
N
′
− E
N
|
.
(45)
Вследствие первого неравенства (44) аргумент логарифма возможно заменить на [ω
max
/|E
N
′
−E
N
|].
Перепишем (45) в виде
δ E
N
=
2 e
2
3 π m
2
X
N
′
| p
N N
′
|
2
(E
N
′
− E
N
) ln
2 ω
max
m
+
2 e
2
3 π m
2
X
N
′
| p
N N
′
|
2
(E
N
′
− E
N
) ln
m
2 |E
N
′
− E
N
|
.
(46)
Для дальнейших преобразований воспользуемся следующими соотношениями:
p
N N
′
(E
N
′
− E
N
) = [p, H
0
]
N N
′
= −i (∂ Φ)
N N
′
,
(47)
X
N
′
| p
N N
′
|
2
(E
N
′
− E
N
) ≡
1
2
X
N
′
{[p
N N
′
(E
N
′
− E
N
)] p
N
′
N
− p
N N
′
[(E
N
− E
N
′
) p
N
′
N
]} =
=
i
2
X
N
′
{−(∂ Φ)
N N
′
p
N
′
N
+ p
N N
′
(∂ Φ)
N
′
N
} =
i
2
[p, ∂ Φ]
N N
=
1
2
(∆ Φ)
N N
,
(48)
p
N N
′
= −i m [r, H
0
]
N N
′
= −i m r
N N
′
(E
N
′
− E
N
) .
(49)
Ещё раз перепишем первое и второе слагаемые в (46) при помощи (48) и (49), соответственно:
δ E
(I)
N
=
e
2
3 π m
2
(∆ Φ)
N N
ln
2 ω
max
m
+
2 e
2
3 π
X
N
′
| r
N N
′
|
2
(E
N
′
− E
N
)
3
ln
m
2 |E
N
′
− E
N
|
.
(50)
Здесь верхний индекс (I) указывает на то, что соответствующий вклад получен от фотонов с
частотами ω < ω
max
.
Зависимость сдвига уровней (50) от нефизического параметра ω
max
указывает на то, что фор-
мула (50) учитывает лишь часть сдвига: в дополнение к (50) следует учесть вклад от жёстких
фотонов, который содержится в диаграмме (b) на рис. 26, а также вклад от поправки потенциала
Φ, описываемый диаграммой (c) на рис. 26. Диаграмма (b) на рис. 26 даёт квантовые поправки к
движению электрона, которые можно рассматривать как поправки вследствие изменения эффек-
тивного электронного гамильтониана. Вклад в эффективный гамильтониан от диаграммы (b) на
рис. 26 следует учесть, используя инфракрасно регуляризованный формфактор f (36). При этом
частота ω
max
в (50) и (36) — одна и та же. Действительно, в регуляризованном формфакторе
(36) фактически учитывается лишь вклад от виртуальных фотонов с частотами ω > ω
max
(см.
замечание после (36)). Вклад в сдвиг уровней именно от такого формфактора и следует добавить к
(50), поскольку в (50) уже учтён вклад от фотонов с частотами ω < ω
max
. Формфактор g задаётся
согласно (49 Л12) и он не содержит нефизических параметров, поскольку не требует инфракрасной
регуляризации. Таким образом добавка к амплитуде, описываемая диаграммой (b) на рис. 26, имеет
вид
δ
(b)
M
f i
(q) = −
[f
ω
max
(−q
2
) − 1] u
f
γ
0
u
i
−
g(−q
2
)
m
(u
f
σ
0µ
u
i
) q
µ
Φ(q) .
(51)
Здесь q — 4-импульс, приносимый потенциалом Φ, причём q = (0, q). Добавка к амплитуде,
вытекающая из радиационных поправок к потенциалу и описываемая диаграммой (c) на рис. 26,
согласно (45 Л11) равна
δ
(c)
M
f i
(q) = −P(−q
2
)(u
f
γ
0
u
i
) Φ(q) .
(52)
Представим сумму амплитуд (51) и (52) в виде
δ M
f i
= δ
(b)
M
f i
+ δ
(c)
M
f i
= −u
†
f
Λ Φ u
i
,
Λ = [f
ω
max
(−q
2
) − 1] + P(−q
2
) +
g
2 m
γ q
.
(53)