Лекции по квантовой электродинамике - часть 32

Лекция 13. Инфракрасная проблема. Лэмбовский сдвиг уровней

130

131

III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Часть III

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Лекция 14

КВАНТОВЫЕ АНОМАЛИИ

1. Введение

В этой лекции мы рассматриваем безмассовую электродинамику (m = 0). В безмассовом случае

имеются две глобальные симметрии: дираковское действие инвариантно относительно двух непре-
рывных глобальных преобразований:

ψ = e

i α

ψ

′

,

ψ = ψ

′

e

−i α

,

(1)

ψ = e

i β γ

5

ψ

′

,

ψ = ψ

′

e

i β γ

5

.

(2)

Здесь α, β — вещественные числа.

Если в пункте 2 лекции 10 ∂

µ

α = 0, то преобразование (3 Л10) сводится к преобразованию (1).

Согласно теореме Нётер в классической теории поля каждой непрерывной симметрии соответству-
ет сохраняющийся ток. Таким образом, в безмассовой классической электродинамике имеется два
сохраняющихся тока: векторный и аксиально-векторный:

∂

µ

J

µ

= 0 ,

J

µ

= ψ γ

µ

ψ ,

(3)

∂

µ

J

5 µ

= 0 ,

J

5 µ

= ψ γ

µ

γ

5

ψ .

(4)

В квантовой теории поля теорема Нётер не может оставаться автоматически справедливой вслед-

ствие расходимостей. Действительно, рассмотрим амплитуду перехода Z из вакуума в вакуум. Для
получения, например, закона сохранения (3), в континуальном интеграле для Z следует сделать
бесконечно близкую к тождественной замену переменных вида (3 Л10) и провести все те манипуля-
ции, которые привели к равенству (5 Л10). Если затем положить η = η = 0, то из (5 Л10) следует
закон сохранения

∂

µ

hJ

µ

(x)i = 0 .

(5)

Чрезвычайно важно, что равенство (5) получается не в четырёхмерном, а в комплексном d-мерном
пространстве, в котором амплитуда перехода регуляризована и все те свойства теории, на которых
основывается получение равенства (5), остаются справедливыми при комплексной размерности про-
странства. Поэтому после получения равенства (5) мы можем перейти к пределу d → 4 и провести

перенормировку. Тем самым закон сохранения (5) остаётся справедливым в уже перенормированной
теории.

Аналогичный подход для получения закона сохранения аксиально-векторного тока оказывается

несостоятельным. Это видно, в частности, из того, что в предположении аналитичности относи-
тельно размерности пространства d и справедливости формул (61 Л9) имеем:

tr (γ

5

γ

µ

1

. . . γ

µ

2n

) = 0

(6)

для всех n. Это входит в противоречие с (68 Л8). Равенство (6) означает, что размерная регуля-
ризация неудовлетворительна, когда исследуются аксиальные преобразования (2). Более того, не
существует такой регуляризации в рамках теории S-матрицы, которая сохраняет аксиальную инва-
риантность (инвариантность относительно преобразования (2)). Поэтому аксиально-векторный ток
не сохраняется в квантовой безмассовой электродинамике, что далее показывается.

Для доказательства равенства (6) вставим под знак следа тождество γ

µ

γ

µ

= d, затем "прота-

щим"по циклу одну из матриц γ

µ

под знаком следа, используя правила антикоммутации (5 Л8).

В результате получим:

(d − 2 n) tr (γ

5

γ

µ

1

. . . γ

µ

2n

) + . . . = 0 .

(7)

Здесь многоточие означает сумму таких же следов с (2 n − 2) дираковскими матрицами. В част-

ности, для n = 0 имеем d tr γ

5

= 0, т.е. tr γ

5

= 0. Теперь равенство (6) следует из равенства (7)

по индукции.

Лекция 14. Квантовые аномалии

132

Покажем, что если бы не было ультрафиолетовых расходимостей, то аксиальная аномалия (несо-

хранение аксиально-векторного тока) также отсутствовала бы. Для наших целей достаточно рас-
смотреть распространение квантованного дираковского поля на фоне неквантованного, но произ-
вольного электромагнитного поля. На языке функционального интеграла такая ситуация реализу-
ется, если сначала вычисляется функциональный интеграл по дираковскому полю, и лишь после
этого вычисляется интеграл по электромагнитному полю. Тогда внутренний фермионный интеграл,
который обозначим Z{A}, и описывает амплитуду перехода дираковского поля в заданном элек-

тромагнитном поле. Заметим, что согласно (26 Л9)

Z{A} = det(i γ

µ

∇

µ

) ,

∇

µ

= ∂

µ

+ i eA

µ

.

(8)

Формула (8) верна, если внешние источники равны нулю. В противном случае эта формула должна
быть исправлена за счёт соответствующей экспоненты.

Рассмотрим эту же задачу на операторном языке.
Пусть {ψ

N

(t, x)} образует в каждый момент времени t полный ортонормированный набор

дираковских мод, т.е.

Z

d

(3)

x ψ

†

M

(t, x) ψ

N

(t, x) = δ

M,N

←→

X

N

ψ

N

(t, x) ψ

†

N

(t, y) = δ

(3)

(x − y) .

(9)

Для упрощения записи мы ввели дискретный индекс N, нумерующий моды. Кроме того предпола-
гается, что эти моды являются решениями уравнения Дирака в заданном электромагнитном поле:

i γ

µ

∇

µ

ψ

N

= 0 ,

i ∇

µ

ψ

N

γ

µ

= 0 .

(10)

Удобно считать, что в момент времени t = t

0

набор мод {ψ

N

} является полным ортонормиро-

ванным набором следующего эрмитового оператора:

(−i α

i

∇

i

)




t=t

0

ψ

N

= ǫ

N

ψ

N

.

(11)

Уравнение Дирака (10) может быть записано в виде

i

∂

∂t

ψ

N

= H

ψ

ψ

N

,

H

ψ

= −i α

i

∇

i

+ e A

0

.

(12)

Так как оператор H

ψ

является эрмитовым (сравни с (33 Л8)), то условия (9)-(11) совместны. Если в

(11) ǫ

N

> 0 (ǫ

N

< 0), то соответствующая мода называется положительно-(отрицательно-) частот-

ной и обозначается ψ

(+)

N

(ψ

(−)

N

). Имеется взаимно однозначное соответствие между положительно-

и отрицательно-частотными модами, так как преобразование ψ

N

→ γ

0

γ

5

ψ

N

меняет их местами.

Поэтому будем считать, что индекс N нумерует лишь положительно-частотные моды. Представим
квантованное дираковское поле в виде (сравни с (46 Л8))

ψ (t, x) =

X

N

(a

N

ψ

(+)

N

(t, x) + b

†

N

ψ

(−)

N

(t, x)) ,

ψ

†

(t, x) =

X

N

(b

N

ψ

(−) †

N

(t, x) + a

†

N

ψ

(+) †

N

(t, x)) .

(13)

Чтобы дираковские поля удовлетворяли каноническому антикоммутационному соотношению (52
Л8) должны выполняться следующие антикоммутационные соотношения (как обычно, выписыва-
ются лишь ненулевые соотношения):

{a

M

, a

†

N

} = {b

M

, b

†

N

} = δ

M,N

.

(14)

Подчеркнём, что операторы рождения и уничтожения в разложениях (13) не зависят от времени.

Поэтому квантованные дираковские поля удовлетворяют уравнению Дирака:

i γ

µ

∇

µ

ψ = 0 ,

i ∇

µ

ψ γ

µ

= 0 ,

(15)

и, таким образом, они являются гейзенберговыми операторами во внешнем электромагнитном поле.
Вакуумное состояние естественно определить как

a

N

| 0 i = b

N

| 0 i = 0 .

(16)

133

III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Составим из квантованных полей векторный J

µ

= ψ γ

µ

ψ

и аксиально-векторный J

5 µ

=

ψ γ

µ

γ

5

ψ токи. Формально в силу уравнений Дирака-Гейзенберга (15) оба эти тока сохраняются, т.е.

они удовлетворяют уравнениям (3) и (4), соответственно. Однако в данном случае мы имеем дело
с неопределённостями, которые требуют тщательного рассмотрения. Выпишем вакуумные средние
рассматриваемых токов:

h 0 | J

µ

(x) | 0 i = −i tr S (x, x + ε) γ

µ

,

ε

µ

= (ε, 0, 0, 0) ,

ε → +0 ,

(17)

h 0 | J

5 µ

(x) | 0 i = −i tr S (x, x + ε) γ

µ

γ

5

,

(18)

S (x, y) ≡ −i h 0 |T ψ(x) ψ(y) | 0 i ,

−i S (x, y)




y

0

>x

0

=

X

N

ψ

(−)

N

(x) ψ

(−)
N

(y) .

(19)

Из (19) видно, что средние (17), (18) сингулярны. Поэтому непосредственное вычисление диверген-
ций правых частей в (17), (18) невозможно до проведения регуляризации. Регуляризация, в свою
очередь, должна быть согласована с условиями квантования теории. В КЭД регуляризация должна

(i) сохранять возможность виковского поворота в евклидово пространство;
(ii) сохранять калибровочную инвариантность.

Мы видели, что условие (i) означает, что за бесконечное время вакуум переходит в вакуум и

вакуумы при t → ±∞ различаются не более чем фазовым множителем. Нарушение условия (ii)

означало бы нарушение свойства перенормируемости КЭД, поскольку свойство перенормируемости
основывается, в частности, на тождествах Уорда, отражающих калибровочную инвариантность.

Например, регуляризация по энергиям, заключающаяся в отбрасывании высокочастотных мод с

такими N, для которых |ǫ

N

| > Λ → ∞, удовлетворяет условию (ii), но не удовлетворяет условию (i).

Действительно, оператор Дирака в евклидовом пространстве относится к операторам эллиптическо-
го типа первого порядка. Поэтому все решения уравнения Дирака (10) в евклидовом пространстве
растут на пространственной бесконечности. Так как при регуляризации по энергии после поворота
Вика уравнения Дирака в евклидовом пространстве для регуляризованных полей по прежнему име-
ют место, то мы видим, что в данном случае поворот Вика приводит к неприемлемым с физической
точки зрения решениям. Поэтому поворот Вика несовместен с регуляризацией по энергии. Стоит,
однако, заметить, что при регуляризации по энергии оба закона сохранения (3) и (4) выполняются.

Размерностная регуляризация сохраняет оба требования (i) и (ii). Однако вследствие парадокса

(6) использовать этот метод для вычисления дивергенции аксиально-векторного тока затруднитель-
но. Поэтому мы будем использовать другие подходы.

2. Диаграммный метод вычисления аксиальной аномалии

Легко увидеть, что пропагатор (19) удовлетворяет уравнению

i γ

µ

∇

µ

S (x, y) = δ

(4)

(x − y) .

(20)

Действительно, если x

0

6= y

0

, то в силу уравнения (15) имеем i γ

µ

∇

µ

S = 0. При x

0

= y

0

пропагатор

испытывает разрыв

[S (x + ε, y) − S (x − ε, y)]




ε→+0

= −i {ψ (x

0

, x), ψ (x

0

, y)} = −i γ

0

δ

(3)

(x − y) .

(21)

Поэтому производная ∂/∂x

0

в (20) даёт дополнительный вклад, равный i γ

0

δ (x

0

− y

0

)×(разрыв

пропагатора). Таким образом уравнение (20) проверено.

Заметим, что пропагатор свободного безмассового дираковского поля удовлетворяет уравнению

(ср. с (49 Л9))

i γ

µ

∂

µ

S

c

(x − y) = δ

(4)

(x − y) .

(22)

Поэтому

S (x, y) = (i γ

µ

∂

µ

− e γ

µ

A

µ

)

−1

(x, y) = S

c

(x − y) +

Z

d

(4)

z

1

S

c

(x − z

1

) (e γ

µ

A

µ

(z

1

)) S

c

(z

1

− y)+

+

Z

d

(4)

z

1

d

(4)

z

2

S

c

(x − z

1

) (e γ

µ

A

µ

(z

1

)) S

c

(z

1

− z

2

) (e γ

ν

A

ν

(z

2

)) S

c

(z

2

− y) + . . . .

(23)