Лекции по квантовой электродинамике - часть 33

Лекция 14. Квантовые аномалии

134

Далее мы изучаем среднее от аксиально-векторного тока (18). Так как tr γ

5

γ

µ

γ

ν

= 0, то первое

слагаемое в правой части (23) не даёт вклада в (18). Второе слагаемое в правой части (23) также не
даёт вклада в (18), поскольку оно, согласно (68 Л8) и (49 Л9), пропорционально ε

µνλρ

(x − z

1

)

λ

(x −

z

1

)

ρ

= 0. Поэтому начнём с изучения третьего слагаемого в правой части (23), которое перепишем

через Фурье-образы соответствующих величин:

e

2

Z

d

(4)

p d

(4)

q

(2 π)

8

Z

d

(4)

r

(2 π)

4

A

ν

(p)A

λ

(q) e

i r (y−x)

e

−i p x−i q y

S

c

(r + p) γ

ν

S

c

(r) γ

λ

S

c

(r − q) .

(24)

Подставим (24) в (18):

h 0 | J

5 µ

(x) | 0 i =

1
2

Z

d

(4)

p d

(4)

q

(2 π)

8

e

−i (p+q) x

A

ν

(p)A

λ

(q)×

×

(

i e

2

Z

d

(4)

r

(2 π)

4

e

i ε r

0

tr γ

5

γ

µ

[S

c

(r + p) γ

ν

S

c

(r) γ

λ

S

c

(r − q) + S

c

(r + q) γ

λ

S

c

(r) γ

ν

S

c

(r − p)]

)

+ . . . .

(25)

В правой части множитель 1/2 перед интегралом появился вследствие бозе-симметризации квад-
ратной скобки в (25): лишь симметричная часть квадратной скобки в (25) относительно переста-
новки (p, ν) ←→ (q, λ) даёт вклад в интеграл. Далее будем изучать выражение в фигурной скобке

в (25), которое изображается суммой двух диаграмм на рис. 30.

q

q

r − q

r + q

r + p

r − p

λ

λ

γ

5

γ

µ

γ

5

γ

µ

ν

ν

p

p

r

r

Рис. 30

Крестик в вершинах диаграмм означает, что в этих вершинах вместо множителя (−i e γ

µ

) име-

ется множитель (γ

5

γ

µ

). В (25) можно положить ε = 0 ещё до вычисления интеграла, так как это

не влияет на результат (те величины, которые зависят от порядка устремления ε к нулю, не дают
вклада в изучаемое среднее).

Обозначим через T

µνλ

(p, q) величину в фигурной скобке в (25) и

T

µνλ

(p, q) = Γ

µνλ

(p, q) + Γ

µλν

(q, p) ,

(26)

где Γ

µνλ

(p, q) и Γ

µλν

(q, p) изображаются первой и второй диаграммами на рис. 30, соответственно.

Диаграммы на рис. 30 расходятся линейно. Поэтому сдвиг переменной интегрирования изменя-

ет эти диаграммы. При изучении диаграмм, встречавшихся в предыдущих лекциях, такого рода
неопределённости устранялись условиями нормировки. В настоящем же случае никаких условий,
кроме условия (ii), мы не имеем (условие (i) выполнено автоматически, так как используются фейн-
мановские пропагаторы). Таким образом, мы должны рассмотреть семейство величин Γ

µνλ

(p, q | a),

зависящих от сдвигового параметра 4-вектора a

µ

:

Γ

µνλ

(p, q | a) = ˜Γ

µνλ

(p, q) + ∆

µνλ

(p, q | a) ,

(27)

˜

Γ

µνλ

(p, q) = ie

2

Z

d

(4)

r

(2π)

4

tr γ

5

γ

µ

S

c

(r + p) γ

ν

S

c

(r) γ

λ

S

c

(r − q) ,

(28)

∆

µνλ

(p, q | a) = ie

2

Z

d

(4)

r

(2π)

4

tr γ

5

γ

µ

×

135

III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

×

S

c

(r + a + p) γ

ν

S

c

(r + a) γ

λ

S

c

(r + a − q) − S

c

(r + p) γ

ν

S

c

(r) γ

λ

S

c

(r − q)

 .

(29)

Для прояснения ситуации рассмотрим одномерный интеграл

∆(a) =

+∞

Z

−∞

d x [f (x + a) − f (x)] .

(30)

Если f (x) — интегрируемая функция на всей прямой, то при помощи сдвига переменной интегри-
рования устанавливается, что ∆ (a) = 0. Теперь разложим подынтегральное выражение:

∆ (a) =

+∞

Z

−∞

d x



a f

′

(x) +

a

2

2

f

′′

(x) + . . .



= a [f (+∞) − f (−∞)] +

a

2

2

[f

′

(+∞) − f

′

(−∞)] + . . . .

Отсюда видно, что если f (x) стремится к разным пределам при x → +∞ и x → −∞, то

∆ (a) = a [f (+∞) − f (−∞)] 6= 0 .

(31)

Аналогично вычисляется в задаче 1 величина (29):

∆

µνλ

(p, q | a) =

i e

2

8 π

2

ε

µνλρ

a

ρ

,

a

ρ

= (a + b) p

ρ

+ b q

ρ

.

(32)

Мы ограничили класс векторов a

ρ

тем требованием, чтобы вектор a

ρ

зависел лишь от векторов

p, q, уже имеющихся в задаче. В (32) a и b — некие числа. Тогда наиболее общий вид величины
(26) таков:

T

µνλ

(p, q) = (˜

Γ

µνλ

(p, q) + ˜

Γ

µλν

(q, p)) + a

i e

2

8 π

2

ε

µνλρ

(p

ρ

− q

ρ

) .

(33)

Комбинируя (25) и (26) и вычисляя дивергенцию, находим:

h 0 |∂

µ

J

5 µ

(x) | 0 i = −

i

2

Z

d

(4)

p d

(4)

q

(2 π)

8

e

−i (p+q) x

A

ν

(p) A

λ

(q) [(p + q)

µ

T

µνλ

(p, q)] + . . . .

(34)

При помощи явной формулы (28) получаем:

(p + q)

µ

˜

Γ

µνλ

(p, q) ∼

Z

d

(4)

r

(2 π)

4

tr γ

5

[(6 r + 6p) S

c

(r + p) γ

ν

S

c

(r) γ

λ

S

c

(r − q)+

+S

c

(r + p) γ

ν

S

c

(r) γ

λ

S

c

(r − q) (6 r− 6q)] =

=

Z

d

(4)

r

(2 π)

4

tr γ

5

[γ

ν

S

c

(r) γ

λ

S

c

(r − q) + S

c

(r + p) γ

ν

S

c

(r) γ

λ

] = 0 .

(35)

Здесь в последнем интеграле каждое из слагаемых является двухиндексным псевдотензором в 4-
мерном пространстве, составленным при помощи одного единственного вектора (q или p), что невоз-
можно. Отсюда следует обращение в нуль величины (35). Поэтому согласно (33) и (35)

(p + q)

µ

T

µνλ

(p, q) = −a

i e

2

4 π

2

ε

νλµρ

p

µ

q

ρ

.

(36)

Далее следует учесть, что калибровочная инвариантность не нарушена. Очевидно, что оба изу-

чаемых тока (17) и (18) инвариантны относительно калибровочных преобразований. Поэтому так
же, как в лекции 10 при выводе тождества Уорда, находим тождество

∂

∂y

ν

h 0 |T J

5 µ

(x)J

ν

(y)J

λ

(z) | 0 i = 0 ,

из которого в наинизшем приближении следует равенство

p

ν

T

µνλ

(p, q) = 0 .

(37)

Лекция 14. Квантовые аномалии

136

Из (28) находим:

p

ν

˜

Γ

µνλ

(p, q) = i e

2

Z

d

(4)

r

(2 π)

4

tr γ

5

γ

µ

S

c

(r + p) [(6 r + 6p)− 6 r] S

c

(r) γ

λ

S

c

(r − q) =

= i e

2

Z

d

(4)

r

(2 π)

4

tr γ

5

γ

µ

[S

c

(r) γ

λ

S

c

(r − q) − S

c

(r + p) γ

λ

S

c

(r − q)] .

(38)

Первый интеграл в правой части (38) исчезает, так как невозможно построить псевдотензор с двумя
индексами из одного единственного 4-вектора. Аналогичное вычисление даёт:

p

ν

˜

Γ

µλν

(q, p) = i e

2

Z

d

(4)

r

(2 π)

4

tr γ

5

γ

µ

S

c

(r + q) γ

λ

S

c

(r − p) .

(39)

Нам нужна сумма интегралов (38) и (39):

p

ν

(˜

Γ

µνλ

(p, q) + ˜

Γ

µλν

(q, p)) ≡ ∆

µλ

(p, q) =

= i e

2

Z

d

(4)

r

(2 π)

4

tr γ

5

γ

µ

[S

c

(r + p + a) γ

λ

S

c

(r − q + a) − S

c

(r + p) γ

λ

S

c

(r − q)] ,

a = q − p .

(40)

В задаче 2 эта величина вычислена:

∆

µλ

(p, q) =

i e

2

4 π

2

ε

µλνρ

p

ν

q

ρ

.

(41)

При помощи (26), (27), (32) и (41) находим:

p

ν

T

µνλ

(p, q) =

i e

2

4 π

2

ε

µλνρ

p

ν

q

ρ



1 +

a
2



.

(42)

Отсюда видно, что для выполнения калибровочной инвариантности теории необходимо

a = −2 .

(43)

Согласно (36) такое значение параметра a означает несохранение аксиально-векторного тока.
С другой стороны, если потребовать сохранение аксиально-векторного тока, для чего необходимо
положить a = 0, то нарушается калибровочная инвариантность и векторный ток не сохраняется.
Поэтому теория самосогласована лишь при выполнении равенства (43).

Важно, что многоточие в (34) может быть опущено, так как все слагаемые, обозначенные много-

точием, не содержат ультрафиолетовых расходимостей и потому, как это было указано во введении,
не могут дать вклад в аномальную дивергенцию каких либо величин. Этот факт даёт возможность
переписать с учётом равенств (36) и (43) соотношение (34) как точное равенство вида

h 0 |∂

µ

J

5 µ

(x) | 0 i = −

e

2

16 π

2

ε

µνλρ

Z

d

(4)

p d

(4)

q

(2 π)

8

e

−i (p+q) x

[p

µ

A

ν

(p) − p

ν

A

µ

(p)][q

λ

A

ρ

(q) − q

ρ

A

λ

(q)] =

=

e

2

16 π

2

ε

µνλρ

F

µν

(x) F

λρ

(x) .

(44)

Равенство (44) было получено Ю. Швингером (1951) и затем ещё раз открыто С. Л. Адлером (1969)
и Ю. С. Беллом и Р. Джекивом (1969).

3. Неинвариантность функциональной меры как источник

аномалии

Рассмотрим задачу об аксиальной аномалии непосредственно в евклидовом пространстве. Тем

самым условие (i) автоматически выполнено.

Формулировка фотодинамики в евклидовом пространстве очевидна. Поэтому мы лишь проком-

ментируем формулировку теории Дирака в евклидовом пространстве размерности d.

137

III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Пусть {γ

µ

}, µ = 1, . . . , d — набор эрмитовых матриц Дирака таких, что

γ

µ

γ

ν

+ γ

ν

γ

µ

= 2 δ

µν

,

γ

5

= γ

1

γ

2

γ

3

γ

4

= (γ

5

)

†

(d = 4) ,

(45)

где δ

µν

— символ Кронекера. Дираковское действие в безмассовом случае имеет вид

S

ψ

= −

Z

d

(d)

x ψ iγ

µ

∇

µ

ψ ,

∇

µ

=

∂

∂x

µ

+ ie A

µ

.

(46)

Здесь поля ψ и ψ взаимно эрмитовски сопряжены и поэтому действие (46) эрмитово. Рассмотрим
фермионный функциональный интеграл (аналог величины (8))

Z{ A

µ

} =

Z

D ψ Dψ exp (

−S

ψ

) .

(47)

В функциональном интеграле (47) переменные { ψ, ψ } рассматриваются как независимые.

Определим математически строго функциональную меру в интеграле (47) следующим образом.

Предположим, во-первых, что x-пространство является компактным множеством (например, это
может быть тор, на котором для полей заданы периодические граничные условия). Пусть { ψ

N

}

— полный ортонормированный набор собственных функций оператора Дирака:

iγ

µ

∇

µ

ψ

N

= ǫ

N

ψ

N

.

(48)

Заметим, что (iγ

µ

∇

µ

) — эрмитов оператор и индекс N вследствие компактности x-пространства

пробегает счётное неограниченное множество. Разложим фермионные поля по этому полному на-
бору функций:

ψ(x) =

X

N

′

η

N

ψ

N

(x) ,

ψ(x) =

X

N

′

η

N

ψ

N

(x) ,

(49)

где { η, η } — множество независимых грассмановых переменных и переменные η

N

, η

N

взаимно

комплексно сопряжены. В разложениях (49) штрих над знаком суммы означает, что суммирование
ограничено теми значениями N, для которых

| ǫ

N

| < Λ → ∞ ,

(50)

где Λ — импульс обрезания. Таким образом фермионные поля оказываются регуляризованными и
при этом они разложены по конечному числу мод.

Обычно подразумевается, что континуальная фермионная мера в интеграле (47) представляется

в виде

D ψ Dψ =

Y

x, a

d ψ

a

(x) d ψ

a

(x) =

Y

N

d η

N

d η

N

.

(51)

Здесь все равенства являются формальными, поскольку произведение континуального или счётного
бесконечного числа дифференциалов не является корректно и однозначно определённой величиной.
Поэтому определим регуляризованную фермионную меру при помощи следующей формулы:

(D ψ Dψ)

reg

=

Y

N

′

d η

N

d η

N

=

Y

| ǫ

N

|<Λ

d η

N

d η

N

.

(52)

Определение (52) является вторым моментом в определении регуляризованной дираковской конти-
нуальной меры. Мера (52) является калибровочно инвариантной. Действительно, при калибровоч-
ных преобразованиях

ψ

N

(x) → e

−ie α(x)

ψ

N

(x) ,

ψ(x) → e

−ie α(x)

ψ(x) ,

A

µ

(x) → A

µ

(x) + ∂

µ

α(x)

собственные значения ǫ

N

, а также грассмановы переменные { η, η } остаются инвариантными.

Далее мы используем регуляризованную меру (52), которая определена математически строго.

Таким образом условие квантования (ii) также выполнено.

Совершим бесконечно малое аксиальное преобразование фермионных полей:

ψ(x) → ˜

ψ(x) = ψ(x) + iα(x) γ

5

ψ(x) ,