Лекции по квантовой электродинамике - часть 34

Лекция 14. Квантовые аномалии

138

ψ(x) →

˜

ψ(x) = ψ(x) + iα(x) ψ(x) γ

5

.

(53)

В терминах переменных η

N

и η

N

преобразование (53) переписывается следующим образом:

η

N

→ ˜η

N

= η

N

+ i

X

M

′

η

M

Z

d

(d)

x α(x) ψ

N

(x)γ

5

ψ

M

(x) ,

η

N

→ ˜η

N

= η

N

+i

X

M

′

η

M

Z

d

(d)

x α(x) ψ

M

(x)γ

5

ψ

N

(x) .

(54)

Преобразование (54) изменяет меру (52) в первом порядке по α (см. (23 Л9))

1

:

Y

N

′

d η

N

d η

N

=

 

1 + 2i

Z

d

(d)

x α

X

M

′

ψ

M

γ

5

ψ

M

!

Y

N

′

d ˜η

N

d ˜η

N

.

(55)

Используя в выражении (47) регуляризованную и калибровочно инвариантную фермионную

меру (52), произведём в этом функциональном интеграле замену переменных согласно формулам
(53), (54):

Y

N

′

d η

N

d η

N

e

−S

ψ

=

Z

Y

N

′

d ˜η

N

d ˜η

N

e

− ˜

S

ψ

·

"

1 + 2i

Z

d

(d)

x α

X

M

′

ψ

M

γ

5

ψ

M

+ i

Z

d

(d)

x α ∂

µ

˜

J

5µ

#

.

(56)

Здесь J

5µ

= i ψ

µ

γ

µ

γ

5

ψ — эрмитовский аксиальный ток. Все функции или функционалы, над

которыми стоит волна, выражены через переменные с волной по обычным правилам. Полагая в
(56) α(x) ∼ δ

(d)

(x − y), получаем:

h ∂

µ

J

5µ

i = −2

X

N

′

ψ

N

γ

5

ψ

N

.

(57)

В уравнении (57) h. . .i означает усреднение по фермионному вакууму. Правая часть в уравне-

нии (57) возникла вследствие неинвариантности регуляризованной фермионной меры (52) отно-
сительно преобразований (54). Правая часть в (57) легко вычисляется, если обрезание в сумме
сделать "мягким", то есть вместо обрезанной суммы P

′

N

использовать регуляризованную сумму

P

N

exp(−τǫ

2

N

), τ → +0. Таким образом, перепишем равенство (57) в виде

h ∂

µ

J

5µ

(x) i = −2 tr γ

5

K(x, x | τ), τ → +0 ,

(58)

K(x, y | τ) = θ(τ)

X

N

e

−τǫ

2
N

ψ

N

(x) ψ

N

(y) = θ(τ )

n

exp

h

−τ (iγ

µ

∇

µ

)

2

io

xy

.

(59)

Для оператора K имеем уравнение:

 ∂

∂τ

+ (iγ

µ

∇

µ

)

2



K(x, y | τ) = δ(τ) δ

(d)

(x − y) .

(60)

Воспользуемся равенством

γ

µ

γ

ν

= δ

µν

+ 2σ

µν

,

σ

µν

=

1
4

[γ

µ

, γ

ν

] ,

и запишем оператор (iγ

µ

∇

µ

)

2

в виде

(iγ

µ

∇

µ

)

2

= −∇

2

µ

− ie σ

µν

F

µν

.

(61)

Теперь уравнение (60) принимает вид

 ∂

∂τ

− ∇

2

µ

− ie σ

µν

F

µν



K(x, y | τ) = δ(τ) δ

(d)

(x − y) .

(62)

1

Бесконечно малое калибровочное преобразование дираковских полей приводит к формулам преобразования пе-

ременных η

N

и η

N

, отличающимся от (54) лишь отсутствием матрицы γ

5

и противоположным значением знаков

перед суммами в этих формулах. Поэтому соответствующий якобиан тождественно равен единице.

139

III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Будем вычислять оператор K(x, y | τ) в пределе τ → +0 при помощи ТВ. В нулевом приближении

оператор K

(0)

(x, y | τ) удовлетворяет уравнению

 ∂

∂τ

− ∂

2

µ



K

(0)

(x, y | τ) = δ(τ) δ

(d)

(x − y)

(63)

и он равен при d = 4

K

(0)

(x, y | τ) = K

(0)

(x − y | τ) =

θ(τ )

16π

2

τ

2

exp



−

(x − y)

2

4τ



.

(64)

Это выражение проще всего получить, переходя в импульсное представление, в котором

K

(0)

(k | τ) = θ(τ) e

−τk

2

,

K

(0)

(x − y | τ) =

Z

d

(4)

k

(2π)

4

e

ik(x−y)

K

(0)

(k | τ) .

Таким образом имеем:

K(x, x | τ) = K

(0)

(0 | τ) +

τ

Z

0

d τ

1

Z

d

(4)

y K

(0)

(x − y | τ − τ

1

) [ie σ

µν

F

µν

(y)] K

(0)

(y − x | τ

1

) +

+

τ

Z

0

d τ

1

τ

1

Z

0

d τ

2

Z

d

(4)

y

Z

d

(4)

z K

(0)

(x − y | τ − τ

1

) [ie σ

µν

F

µν

(y)] ·

·K

(0)

(y − z | τ

1

− τ

2

)

ie σ

λρ

F

λρ

(z)

 K

(0)

(z − x | τ

2

) + . . . .

(65)

Невыписанные здесь слагаемые, обозначенные многоточием, либо исчезают под знаком следа в (58),
либо исчезают в пределе τ → +0. Так как

tr γ

5

= 0 ,

tr γ

5

γ

µ

γ

ν

= 0 ,

tr γ

5

γ

µ

γ

ν

γ

λ

γ

ρ

= 4 ε

µνλρ

,

(66)

то вклад в (58) даёт лишь третье слагаемое в (65). Из (64) видно, что при τ → +0 интегралы по
y и z насыщаются при y → x, z → x и потому гладкие величины F

µν

(y) и F

λρ

(z) могут быть

вынесены из под знака интеграла и взяты в точке x. После этого все свёртки между функциями
K

(0)

следует вычислять при помощи тривиальной формулы

Z

d

(4)

z K

(0)

(x − z | τ − τ

1

) K

(0)

(z − y | τ

1

) = K

(0)

(x − y | τ) .

Таким образом находим, что третье слагаемое в (65) равно

−

e

2

16π

2

σ

µν

σ

λρ

F

µν

(x) F

λρ

(x)





1

τ

2

τ

Z

0

d τ

1

τ

1

Z

0

d τ

2





.

(67)

Из проведенного вычисления видно, что если бы мы учли более высокие члены разложения в

(65), то они были бы пропорциональны, например (в следующем порядке)

1

τ

2

τ

Z

0

d τ

1

τ

1

Z

0

d τ

2

τ

2

Z

0

d τ

3

=

τ
6

→ 0 .

Все такие слагаемые стремятся к нулю в пределе τ → +0. Поэтому, подставляя (67) в (58) и

используя (66), окончательно находим:

h ∂

µ

J

5µ

(x) i =

e

2

16 π

2

ε

µνλρ

F

µν

(x) F

λρ

(x) .

(68)

Лекция 14. Квантовые аномалии

140

Замечание. Строго говоря, преобразованные поля (53) должны быть спроектированы на регуля-

ризованное пространство фермионных полей (49) с базисом мод {ψ

N

}, |ǫ

N

| < Λ. Иными словами,

для преобразованных полей также должны иметь место разложения (49):

˜

ψ(x) =

X

N

′

˜

η

N

ψ

N

(x) ,

˜

ψ(x) =

X

N

′

˜

η

N

ψ

N

(x) .

(69)

В противном случае действие

˜

S

ψ

= −

Z

d

(d)

x ˜

ψ iγ

µ

∇

µ

˜

ψ

в (56) как функция переменных {˜η

M

, ˜

η

M

} оказалось бы отличным от действия S в (47) как

функции переменных {η

M

, η

M

}, и из (56) не следовало бы соотношение (57). Однако вследствие

того, что моды в разложениях (49) и (69) являются собственными для оператора Дирака i γ

µ

∇

µ

,

мы имеем:

˜

S

ψ

=

X

|ǫ

N

|<Λ

ǫ

N

˜

η

N

˜

η

N

+

X

|ǫ

N

|>Λ

ǫ

N

˜

η

N

˜

η

N

.

Здесь второе слагаемое имеет порядок O (α

2

) и потому не играет роли в приведенном выше вы-

числении. Мы видим, что в фермионном действии проектирование преобразованных фермионных
полей на регуляризованное фермионное подпространство происходит автоматически. Подчеркнём,
что этот факт является следствием использования собственных функций оператора Дирака для
регуляризации фермионных полей. Поэтому корректность перехода от равенства (56) между регу-
ляризованными фермионными интегралами к соотношению (57) очевидна.

Замечание. Операторы (23) и (65) зависят лишь от величин (e A

µ

γ

µ

) и (e F

µν

σ

µν

, соответствен-

но. Согласно (35 Л10) и (45 Л10) эти величины не изменяются при одновременном переходе от
затравочных значений константы e

0

и поля A

µ

к их перенормированным (физическим) значениям

e и A

(r) µ

. Очевидно, в пункте 2 используются перенормированные величины, а в пункте 3 — за-

травочные. Таким образом, полученные ответы для дивергенции аксиально-векторного тока (44) и
(68) численно совпадают.

Вычисление аномальной расходимости аксиально-векторного тока путём учёта неинвариантно-

сти фермионной меры впервые было проделано С. Н. Вергелесом (1978).

Вывод: Не все сохраняющиеся величины в классической теории поля остаются сохраняющи-

мися в квантовой теории. Этому препятствуют квантовые аномалии. В частности, в безмас-
совой КЭД векторный ток сохраняется, а аксиально-векторный ток не сохраняется вследствие
квантовой аномалии.

Задачи

1. Вычислить интеграл (29).

Ответ:

∆

µνλ

(p, q | a) =

i e

2

8 π

2

ε

µνλρ

a

ρ

.

2

. Вычислить интеграл (40).

Ответ:

∆

µλ

(p, q) =

i e

2

4 π

2

ε

µλνρ

p

ν

q

ρ

.

141

III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

3. Сформулировать и выписать действие для двумерной электродинамики (электромагнитное +
дираковское поля). В безмассовом случае решить задачу также и в евклидовом пространстве. Вы-
числить аномалию в дивергенции аксиально-векторного тока в безмассовой евклидовой теории.

4

∗

. Вычислить в двумерной безмассовой электродинамике (модель Швингера) величину ln Z {A}.

Указание. Действовать в евклидовом пространстве и принять во внимание следующие факты:
а)

δ

A

ln Z {A} = −e

Z

d

(2)

x δ A

µ

hJ

µ

i ,

где J

µ

= ψ γ

µ

ψ — векторный ток.

б) Кинематическое соотношение

J

µ

= ε

µν

J

5 ν

,

J

5 µ

= −ε

µν

J

ν

,

J

5 µ

= i ψ γ

µ

γ

5

ψ .

в) Равенства ∂

µ

hJ

µ

i = 0 и ∂

µ

hJ

5 µ

i = −

e

2 π

ε

µν

F

µν

.