Лекции по квантовой электродинамике - часть 35

Лекция 15. Спонтанное нарушение симметрии

142

Лекция 15

СПОНТАННОЕ НАРУШЕНИЕ СИММЕТРИИ

1. Спонтанное нарушение симметрии в классической теории

Рассмотрим теорию скалярного вещественного поля с лагранжианом

L =

1
2

(∂

µ

φ)

2

+

µ

2

2

φ

2

−

λ

4!

φ

4

.

(1)

Гамильтониан такой теории

H =

Z

d

(d−1)

x

 1

2

π

2

+

1
2

(∇φ)

2

−

µ

2

2

φ

2

+

λ

4!

φ

4



.

(2)

В теории (1) - (2) имеется дискретная симметрия φ → −φ.

Энергия классической системы (2) принимает минимальное значение в том случае, когда φ =

const и потенциал

V (φ) = −

µ

2

2

φ

2

+

λ

4!

φ

4

(3)

минимален, что имеет место при

φ

0

= ±v = ±

r 6

λ

µ 6= 0 .

(4)

Константа v называется вакуумным средним поля φ.

Предположим, что система находится вблизи одного из минимумов потенциала, совершая вблизи

него малые колебания. Поэтому естественно разложить поле φ вблизи вакуумного среднего:

φ = φ

0

+ σ .

(5)

Подставим (5) в лагранжиан (1):

L =

1
2

(∂

µ

σ)

2

−

(2 µ

2

)

2

σ

2

−

λ φ

0

3!

σ

3

−

λ

4!

σ

4

.

(6)

Мы учли, что линейное слагаемое относительно σ автоматически исчезает в (6) и опустили L (φ

0

) =

const. Лагранжиан (6) описывает скалярное поле σ с массой m =

√

2 µ. Симметрия φ → −φ теперь

проявляется лишь в соотношении между тремя коэффициентми теории с лагранжианом (6).

Теперь рассмотрим линейную сигма-модель (см. задачу 3 к лекции 3) с лагранжианом

L =

1
2

(∂

µ

φ

i

)

2

+

µ

2

2

(φ

i

)

2

−

λ

4

[(φ

i

)

2

]

2

,

i = 1, . . . , n ,

(φ

i

)

2

≡ (φ

1

)

2

+ (φ

2

)

2

+ . . . .

(7)

Лагранжиан (7) инвариантен относительно преобразований

φ

i

→ O

i

j

φ

j

,

O O

t

= 1 .

(8)

Таким образом O — элемент ортогональной группы вращений n-мерного евклидового простран-

ства.

Также как и в вышеприведенном случае классическая конфигурация с минимальной энергией

есть постоянное поле φ

i

0

, минимизирующее потенциал

V (φ

i

) = −

µ

2

2

(φ

i

)

2

+

λ

4

[(φ

i

)

2

]

2

.

(9)

Этот минимум достигается, если

(φ

i

0

)

2

=

µ

2

λ

.

(10)

143

III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Условие (10) определяет лишь длину вектора φ

i

0

, но не его направление. Для удобства будем счи-

тать, что

φ

i

0

= (0, . . . , v) ,

v =

µ

√

λ

.

(11)

Аналогично (5) теперь имеем:

φ

i

= (π

k

(x), v + σ (x)) ,

k = 1, . . . , n − 1 .

(12)

Перепишем лагранжиан (7) в терминах новых полей:

L =

1
2

(∂

µ

π

k

)

2

+

1
2

(∂

µ

σ)

2

−

1
2

(2 µ

2

) σ

2

−

√

λ µ σ

3

−

√

λ µ (π

k

)

2

σ −

λ

4

σ

4

−

λ

2

(π

k

)

2

σ

2

−

λ

4

((π

k

)

2

)

2

. (13)

Лагранжиан (13) описывает динамику массивного поля σ и (n − 1) безмассовых полей π

k

.

Исходная O (n) симметрия оказывается нарушенной, от неё остаётся подгруппа O (n−1) вращений

полей π в своём пространстве. Колебания поля σ происходят вдоль длины вектора φ

i

, изменяя

эту длину. Поэтому вторая производная лагранжиана по σ отлична от нуля и масса этого поля
не равна нулю. Масса π-частиц равна нулю, так как π-частицы деформируют поле φ

i

в (n − 1)

направлениях, ортогональных вакуумному среднему.

2. Теорема Голдстоуна

Заметим, что группа симметрии исходного лагранжиана (7) инвариантна относительно группы

Ли O (n), размерность которой n(n − 1)/2 (число различных двумерных плоскостей, в которых

можно делать независимые друг от друга повороты). Когда исходная симметрия нарушена до сим-
метрии, содержащейся в лагранжиане (13), остаточная симметрия описывается группой O (n − 1)

с (n − 1)(n − 2)/2 независимыми преобразованиями. Таким образом, утрачены

n(n − 1)

2

−

(n − 1)(n − 2)

2

= (n − 1)

преобразований симметрии и вместе с тем появились (n − 1) безмассовые частицы, которые назы-

ваются голдстоуновскими бозонами.

Теорема Голдстоуна утверждает, что для каждой спонтанно нарушенной непрерывной симмет-

рии в теории содержится безмассовая частица.

Доказательство теоремы Голдстоуна проведём в самом общем случае.
Рассмотрим теорию, содержащую несколько полей φ

i

с лагранжианом

L = (члены с производными) − V (φ) .

(14)

Пусть φ

i

0

— постоянное поле, минимизирующее V :

∂

∂ φ

i

V






φ

i

(x)=φ

i

0

= 0 .

(15)

Разложим V в окрестности этого минимума:

V (φ) = V (φ

0

) +

1
2

(φ − φ

0

)

i

(φ − φ

0

)

j



∂

2

∂ φ

i

∂ φ

j

V



φ

0

+ . . . .

(16)

Коэффициент при квадратичном слагаемом

m

2

ij

=



∂

2

∂ φ

i

∂ φ

j

V



φ

0

(17)

является симметричной матрицей, собственные значения которой дают массы полей. Они неотри-
цательны, так как V минимален при φ = φ

0

. Для доказательства теоремы Голдстоуна необходимо

показать, что всякая непрерывная симметрия лагранжиана (14), не являющаяся симметрией (т.е.
изменяющая) поле φ

0

, приводит к нулевому собственному значению матрицы (17).

Лекция 15. Спонтанное нарушение симметрии

144

Произвольное преобразование непрерывной симметрии имеет вид

φ

i

−→ φ

i

+ α ∆

i

(φ) ,

α → 0 ,

(18)

где ∆

i

(φ) — некие функции поля φ, определяющие данное преобразование симметрии. Достаточно

рассмотреть поля, постоянные в пространстве-времени. Тогда потенциал V инвариантен сам по
себе относительно преобразования (18):

V (φ

i

) = V (φ

i

+ α ∆

i

(φ)) −→ ∆

i

(φ)

∂

∂ φ

i

V (φ) = 0 −→

∂

∂ φ

j



∆

i

(φ)

∂

∂ φ

i

V (φ)

 





φ=φ

0

=

∂ ∆

i

∂ φ

j






φ=φ

0

∂ V

∂ φ

i






φ=φ

0

+ ∆

i

(φ

0

) m

2

ij

= 0 .

Вследствие (15)

m

2

ij

∆

j

(φ

0

) = 0 .

(19)

Заметим, что если ∆

i

(φ

0

) = 0, то φ

i

0

+ ∆

i

(φ

0

) = φ

i

0

. Это означает, что вакуумное среднее инвари-

антно относительно относительно рассматриваемого преобразования. Наоборот, если ∆

i

(φ

0

) 6= 0,

то мы имеем преобразование, изменяющее φ

i

0

. Соответствующая симметрия отсутствует в лагран-

жиане вида (13). Но равенство (19) означает, что такому преобразованию соответствует нулевая
масса. Тем самым теорема Голдстоуна доказана.

Вернёмся к линейной σ-модели с лагранжианом (13) и построим соответствующую квантовую

теорию поля. Обозначим пропагаторы σ- и π-частиц соответственно двойной и одинарной линиями.
Тогда элементы диаграммной техники Фейнмана представлены на рис. 31:

k

k

k

σ

π

i

π

j

=

i

k

2

−2µ

2

,

=

i δ

ij

k

2

,

= −i6 λ v ,

= −i2 δ

ij

λ v ,

= −i6 λ ,

= −i2 δ

ij

,

= −i2 λ (δ

ij

δ

kl

+ δ

ik

δ

jl

+ δ

il

δ

jk

)

i

i

i

j

j

j

l

Рис. 31

Очевидно, что теория с указанной на рис. 31 диаграммной техникой перенормируема, так как

перенормируема теория с лагранжианом (7), а ультрафиолетовые расходимости не могут зависеть
от того, как "растасованы"и обозначены отдельные поля теории. Однако имеют место гораздо более
сильные утверждения:

а) Для устранения ультрафиолетовых расходимостей в теории (13) с диаграммной техникой,

представленной на рис. 31, достаточно введение контрчленов того же вида, что и в лагранжиане
(13).

б) Теорема Голдстоуна остаётся справедливой с учётом квантовых поправок.
Ввиду громоздкости мы не доказываем здесь этих утверждений. Укажем лишь удобные условия

перенормировки, фиксирующие все константы теории:

145

III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

= 0 ;

d

d

k

2








k

2

=0

= 0 ;

ампутированная

= −i6 λ при s = 4m

2

, t = u = 0.

(20)

CBA

CBA

3. Эффективное действие

Рассмотрим для некоторой скалярной теории поля с лагранжианом L (φ) производящий функ-

ционал (см. (16 Л3))

e

−i E(η)

≡ Z (η) =

Z

Dφ exp [i

Z

d

(d)

x (L(φ) + η φ)] .

(21)

Имеем:

δ

δ η(x)

E(η) = i

δ

δ η(x)

ln Z = −

R Dφ e

i

R (L+η φ)

φ(x)

R Dφ e

i

R (L+η φ)

≡ −hφ(x)i

η

.

(22)

Здесь правая часть — среднее по вакууму в присутствии внешнего источника η(x). Определим
классическое поле

φ

cl

(x) ≡ hφ(x)i

η

(23)

и эффективное действие

Γ (φ

cl

) ≡ −E(η) −

Z

d

(d)

y η(y) φ

cl

(y) .

(24)

Тот факт, что эффективное действие зависит лишь от классического поля, но не от внешнего ис-
точника, устанавливается вычислением полной вариации величины (24):

δ Γ = −

Z

δ E

δ η(y)

δ η(y) d

(d)

y −

Z

φ

cl

(y) δ η(y) d

(d)

y −

Z

η(y) δ φ

cl

(y) d

(d)

y .

С учётом (22) здесь первые два слагаемых взаимно сокращаются. Поэтому

δ Γ (φ

cl

)

δ φ

cl

(x)

= −η(x) .

(25)

Если внешний источник обратить в нуль, то из (25) получаем:

δ Γ (φ

cl

)

δ φ

cl

(x)

= 0 .

(26)

Решения последнего уравнения являются значениями hφ(x)i в стабильных квантовых состояниях

теории. Для трансляционно-инвариантного вакуума φ

cl

также не зависит от x. Именно такой

случай далее мы будем рассматривать. Заметим лишь, что в случае трансляционно- и лоренц-
инвариантного вакуума иногда могут быть дополнительные решения уравнения (26), нарушающие
симметрию вакуума и соответствующие локализованным сгусткам поля, удерживаемым за счёт
самодействия и топологических факторов. В случае, когда действие таких сгустков конечно, они