Лекции по квантовой электродинамике - часть 36

Лекция 15. Спонтанное нарушение симметрии

146

называются инстантонами, а если конечен гамильтониан, то они называются солитонами. Соли-
тоны являются частицами, которые отсутствуют при наивном изучении теории с помощью теории
возмущений.

Если φ

= const, то поскольку Γ(φ

) есть экстенсивная величина — она пропорциональна

объёму пространства-времени — мы имеем:

Γ(φ

) = −(V T ) V

ef f

(φ

) .

(27)

Здесь T — временная протяжённость пространства-времени, а V — объём. V

ef f

(φ

) в (27)

называется эффективным потенциалом. В терминах эффективного потенциала уравнение (26) за-
писывается как

∂V

ef f

(φ

)

∂φ

= 0 .

(28)

Так как Γ = −E при η = 0, то V

ef f

, вычисленное в точке (28), является плотностью энергии в

этом состоянии.

Будем вычислять V

ef f

при помощи ТВ. Разобьём лагранжиан, как обычно, на слагаемое,

зависящее от перенормированных параметров, и слагаемое, содержащее лиишь контрчлены:

L = L

+ δ L .

(29)

Наша цель — вычисление функции Γ(φ

), в то время как Z(η) зависит от φ

косвенно через

источник η. Попробуем найти, хотя бы неявно, связь между η и φ

. В наинизшем порядке ТВ

эта связь задаётся уравнением (см. (25))

(d)

y L

δ φ(x)

φ=φ

= −η(x)

(в низшем порядке) .

(30)

Тогда уравнение

(d)

y L

∞

δ φ(x)

φ=φ

= −η

(x)

(30)

определяет "перенормированный"источник η

(x), так что

η(x) = η

(x) + δ η(x) .

(32)

"Контрчлен" δ η(x) определяется последовательно при помощи ТВ и уравнений (23), (31), (32).
Перепишем формулу (21) следующим образом:

−i E(η)

Dφ {exp [i

(d)

x (L

(φ) + η

φ)]}{exp [i

(d)

x (δL(φ) + δη φ)]} .

(33)

В первой экспоненте справа разложим показатель вблизи φ

: φ(x) = φ

(x) + ρ(x). Имеем:

(d)

x (L

(φ) + η

φ) =

(d)

x (L

(φ

) + η

) +

(d)

x ρ(x)

δ L

δ φ

φ=φ

+ η

1
2

(d)

x d

(d)

y ρ(x) ρ(y)

δ φ(x) δ φ(y)

φ=φ

(d)

x d

(d)

y d

(d)

z ρ(x) ρ(y) ρ(z)

δ φ(x) δ φ(y) δ φ(z)

φ=φ

+ . . . .

(34)

Вследствие (30) линейное по ρ слагаемое в (34) исчезает. Таким образом, следует вычислить гауссов
интеграл по полю ρ, а нелинейности учесть при помощи ТВ в соответствии с разработанной схемой.

В низшем приближении вторая экспонента справа в (33) не даёт вклада, а первая экспонента

даёт гауссов интеграл:

Dρ exp

(φ

) + η

) +

1
2

δφ δφ

147

III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

= exp

(φ

) + η

)

det

−

δφ δφ

−1/2

(35)

Отсюда видно, что при дальнейшем учёте квантовых поправок возникают фейнмановские диаграм-
мы, в которых в качестве пропагатора используется оператор

−i

δφ δφ

−1

(36)

а вершинами являются третья и т.д. функциональные производные L

Вторая экспонента в (33) также разлагается вблизи φ

по полю ρ и даёт контрчлены. Как

обычно в аналогичных вычислениях (см. (14 Л6)), получаем:

−i E(η) = i

(d)

x (L

(φ

) + η

) −

1
2

ln det

−

δφ δφ

+(связные диаграммы) + i

(d)

x (δL(φ

) + δη · φ

) .

(37)

Здесь последнее слагаемое является нулевым приближением при разложении по ρ показателя
второй экспоненты в (33). Сопоставляя (24) и (37), находим:

Γ(φ

) =

(d)

x L

(φ

) +

ln det

−

δφ δφ

− i (связные диаграммы) +

(d)

x δL(φ

) .

(38)

Здесь все слагаемые зависят явно от φ

. Важно также то, что каждая связная диаграмма в (38) не

имеет внешних линий и потому является не ниже чем двухпетлевой. Таким образом однопетлевой
вклад содержится во втором слагаемом в (38).

Отметим, что контрчлен δ η определяется из того требования, чтобы во всех порядках было

hφi = φ

: если в процессе вычислений возникает ненулевой вклад в hρi, то его "убивают", добавляя

соответствующий вклад в δ η.

Вычислим эффективное действие (38) для линейной сигма-модели в однопетлевом приближении,

т.е. учитывая в (38) лишь первые два слагаемых. При помощи (7) мы находим:

δφ

φ=φ

= δ

(−∂

+ µ

) − λ [(φ

)

+ 2 φ

j
cl

] .

(39)

Предположим, что φ

= const и

= (0, 0, . . . , 0, φ

) .

(40)

Тогда оператор (39) совпадает с диагональной матрицей n × n, на диагонали которой находятся

операторы Клейна-Гордона-Фока (−∂

− m

), где







λ φ

− µ

при действии на ρ

, . . . , ρ

n−1

3λ φ

− µ

при действии на ρ

(41)

Поэтому детерминант в (38) равен произведению детерминантов этих операторов:

det

−

δφ

= {det[∂

+ (λ φ

− µ

)]}

n−1

· det[∂

+ (3λ φ

− µ

)] .

(42)

Воспользуемся известной формулой

ln det A = tr ln A ,

где A — линейный оператор. Имеем:

ln det (∂

+ m

) = tr ln (∂

+ m

) .

(43)

Сделаем поворот Вика в Евклидово пространство. При помощи (7), (38), (42), (43) получаем:

ef f

(φ

) = −

1
2

V T

1
2

i=1

tr ln (−∂

+ m

) +

1
2

1
4

(44)

Лекция 15. Спонтанное нарушение симметрии

148

Здесь набор масс m

задаётся согласно (41), ∂

d
µ=1

(∂

)

, а два последние слагаемые — возмож-

ные контрчлены. Задача свелась к вычислению величины tr ln (−∂

+ m

). В ортонормированном

базисе {e

ikx

} матричные элементы оператора ln (−∂

+ m

) равны

hp| ln (−∂

+ m

)|ki =

(d)

x e

i(k−p)x

ln (k

+ m

) .

Поэтому

tr ln (−∂

+ m

) = (V T )

(d)

(2 π)

ln (k

+ m

) .

(45)

Но

(d)

(2 π)

ln (k

+ m

) = −

∂

∂ α

(d)

(2 π)

+ m

)

α=0

= −

∂

∂ α

α ·

)

d/2−α

(4 π)

d/2

Γ(α − d/2)

Γ(1 + α)

α=0

= −

)

d/2

(4 π)

d/2

Γ(−d/2) .

(46)

Теперь при помощи (41), (42), (44), (46) получаем:

ef f

(φ

) = −

1
2

(φ

)

−

1
2

Γ(−d/2)

(4 π)

d/2

(n − 1)(λ φ

− µ

)

d/2

+ (3 λ φ

− µ

)

d/2

1
2

1
4

(φ

)

(47)

Здесь φ

= (φ

)

. Эффективное действие (47), конечно, O(n)-инвариантно. Выражение (47) ко-

нечно при d → 4 (т.е. конечны коэффициенты при при степенях φ

), если

= −λ µ

(n + 2)

Γ(2 − d/2)

(4 π)

+ конечные члены ;

= λ

(n + 8)

Γ(2 − d/2)

(4 π)

+ конечные члены .

(48)

Конечные члены в (48) регулируются условиями нормировки. Подберём их так, чтобы

ef f

(φ

) = −

1
2

(φ

)

4 (4 π)

(n − 1)(λ φ

− µ

)

λ φ

− µ

+ (3 λ φ

− µ

)

3 λ φ

− µ

(49)

Здесь M — точка нормировки. На рис. 32 пунктирной линией изображён график классического

149

III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

эффективного потенциала, а сплошной линией — потенциала с квантовой поправкой (49). Сплошная
линия рвётся там, где поправка не определена. Из (49) видно, что при µ

> 0 симметрия спонтанно

нарушена, при µ

= −m

= −M

< 0 имеется один тривиальный минимум потенциала при φ

= 0.

ef f

Рис. 32.

Рассмотрим V

ef f

(49) в случае µ

= 0:

ef f

(φ

) =

1
4

(φ

)

λ +

(4 π)

(n + 8) ln

λ φ

+ 9 ln 3

(50)

Интересен вопрос: имеет ли потенциал (50) нетривиальный минимум? Легко найти, что d V

ef f

/ d φ

0 при

∼

exp

−

(4 π)

(n + 8) λ

6= 0 .

(51)

Однако при таком значении φ

второе слагаемое в фигурной скобке в (50) почти сокращает первое

слагаемое, т.е. поправки имеют тот же порядок, что и нулевое приближение. Это означает, что что
для решения поставленной задачи ТВ непригодна.

Задачи

1. Нарисовать все однопетлевые диаграммы, дающие поправки к вершине

, дающей ампли-

туду рассеяния двух σ-частиц в линейной сигма-модели.

Ответ:

кроссканальные

диаграммы

2. Имеет место равенство

Γ(φ

)

δ φ

) . . . δ φ

)

= −ihT φ(x

) . . . φ(x

(52)

содержание .. 34 35 36 37 ..