Лекции по квантовой электродинамике - часть 37

Лекция 15. Спонтанное нарушение симметрии

150

где индекс СС означает, что этот коррелятор сильно связан и его ноги ампутированы.

а) Доказать, что

δ

2

Γ(φ

cl

)

δ φ

cl

(x) δ φ

cl

(y)

= −[D(x, y)]

−1

,

где

−D(x, y) ≡

δ

2

E(η)

δ η(x) δ η(y)

= −i [hT φ(x) φ(y)i − φ

cl

(x)φ

cl

(y)] ≡ −ihT φ(x) φ(y)iсвязн .

Индекс "связн"означает, что коррелятор является связным. Если вакуум трансляционно инвариан-
тен, то согласно (13 Л5) и (22 Л5)

D (x, y) =

Z

d

(4)

k

(2 π)

4

e

−ik(x−y)

−k

2

+ m

2

+ Σ(k

2

)

,

−D

−1

(k) = k

2

− m

2

− Σ(k

2

) ,

где Σ(k

2

) — сумма сильно связных диаграмм с двумя концами.

б) Доказать формулу (52) для n = 3.

151

Приложение A

Приложение A

Выражение вероятностей процессов через амплитуды

Рассмотрим вопрос о выражении сечений рассеяния и вероятностей распадов частиц через ин-

вариантные амплитуды рассеяния в трёхмерном пространстве.

Сначала проясним вопрос о нормировке r-частичных состояний. Согласно (39 Л2)

hk|ki = 2ω

k

(2π)

3

δ

(3)

(0) .

(A1)

Так как объём пространства представляется как

V =

Z

d

(3)

x e

i(p − k) x






p=k

= (2π)

3

δ

(3)

(0) ,

то (А1) означает, что принятая нами лоренц-инвариантная нормировка состояний (38 Л2) такова,
что в единице объёма содержится

n

k

= 2ω

k

= 2

p

m

2

+ k

2

(A2)

частиц.

Построим r-частичное нормированное состояние. Пусть G — малая область в импульсном про-

странстве частиц вблизи значений импульсов (p

1

, . . . , p

r

), так что объём G равен:

G =

Z

G

d

(3)

p

1

. . . d

(3)

p

r

=

r

Y

j=1

∆

(3)

p

j

.

(A3)

Состояние (ω

j

≡

q

m

2

j

+ p

2

j

)

| ˜

f i =

r

Y

j=1

Z

G

d

(3)

p

j

[(2π)

3

2ω

j

]

|p

1

, . . . , p

r

i

имеет норму

h ˜

f | ˜

f i =

r

Y

j=1

Z

G

d

(3)

p

j

[(2π)

3

2ω

j

]

Z

G

d

(3)

p

′

j

[(2π)

3

2ω

′

j

]

hp

′

1

, . . . , p

′

r

|p

1

, . . . , p

r

i =

=

r

Y

j=1

Z

G

d

(3)

p

j

[(2π)

3

2ω

j

]

Z

G

d

(3)

p

′

j

δ

(3)

(p

j

− p

′

j

) =

r

Y

j=1

∆

(3)

p

j

[(2π)

3

2ω

j

]

.

(A4)

При получении (А4) была использована формула (45 Л2), а также тот факт, что импульсы p

j

и p

′

j

почти совпадают при всех j, в то время как импульсы p

j

и p

′

i

при i 6= j принадлежат непересека-

ющимся областям ∆p

j

и ∆p

i

. Следует заметить, что (А4) есть лоренц-инвариант. Таким образом

состояние

|fi =



r

Y

j=1

∆

(3)

p

j

[(2π)

3

2ω

j

]



−1/2

| ˜

f i

(A5)

нормировано, причём это свойство лоренц-инвариантно.

Пусть |ii — n-частичное состояние (43 Л2) и |fi — состояние (А5). Тогда для недиагональных

матричных элементов (см. (2 Л3)-(4 Л3))

hf|S|ii = hf|iT |ii =



r

Y

j=1

∆

(3)

p

j

[(2π)

3

2ω

j

]



−1/2 r

Y

j=1

Z

G

d

(3)

p

j

[(2π)

3

2ω

j

]

hp

1

, . . . , p

r

|iT |k

1

, . . . , k

n

i .

(A6)

Согласно вышесказанному выражение (А6) лоренц-инвариантно. Перепишем (А6) при помощи ам-
плитуды M

f i

(см. (4 Л3) и вычислим вероятность перехода из состояния |ii в состояние |fi. Так как

|fi — нормированное состояние, то согласно общим правилам квантовой механики эта вероятность

|hf|S|ii|

2

=

r

Y

j=1

Z

G

d

(3)

p

j

[(2π)

3

2ω

j

]

[(2π)

4

δ

(4)

(P

f

− P

i

)]

2

|M

f i

|

2

.

(A7)

Приложение A

152

При получении последней формулы была учтена малость объёма G, а также равенство



r

Y

j=1

∆

(3)

p

j

[(2π)

3

2ω

j

]



−1 r

Y

j=1

Z

G

d

(3)

p

j

[(2π)

3

2ω

j

]

= 1 .

В (А7)

P

i

= k

1

+ . . . + k

n

,

P

f

= p

1

+ . . . + p

r

.

Положим

[(2π)

4

δ

(4)

(P

f

− P

i

)]

2

= V T (2π)

4

δ

(4)

(P

f

− P

i

) ,

где V — объём пространства, а T —полный промежуток времени, в течение которого рассматри-
вается процесс. Таким образом, деля выражение (А7) на 4-объём V T , мы получаем вероятность
перехода в единице пространства в единицу времени:

d w

f i

= (2π)

4

δ

(4)

(P

f

− P

i

)] |M

f i

|

2

r

Y

j=1

d

(3)

p

j

[(2π)

3

2ω

j

]

.

(A8)

В (А8) опущен знак интеграла по импульсам конечных частиц. Поэтому вероятность перехода (А8)
является дифференциальной вероятностью перехода в бесконечно малый элемент импульсного про-
странства конечных состояний.

Ещё раз подчеркнём, что выражение (А8) лоренц-инвариантно и в случае применимости ТВ ам-

плитуда M

f i

вычисляется при помощи диаграммной техники Фейнмана согласно вышеизложенным

правилам.

Теперь рассмотрим частные случаи.

1. Процессы распада.

В этом процессе в начальном состоянии имеется одна частица с массой M. Чтобы получить

вероятность распада одной частицы, следует разделить (А8) на плотность начальных частиц n

k

=

2

√

M

2

+ k

2

= 2ω

k

. Таким образом вероятность распада частицы в единицу времени

d Γ =

(2π)

4

2

√

M

2

+ k

2

δ

(4)

(P

f

− k)|M

f i

|

2

r

Y

j=1

d

(3)

p

j

[(2π)

3

2ω

j

]

.

(A9)

2. Взаимное рассеяние двух частиц

В системе отсчёта, в которой одна из рассеивающихся частиц покоится, вероятность (А8) пред-

ставляется в виде

d w

f i

≡ d σ · vотнn

1

n

2

,

(A10)

где n

1

и n

2

— плотности частиц сортов 1 и 2, соответственно, vотн — относительная скорость частиц

и d σ — лоренц-инвариантное дифференциальное сечение рассеяния. Из определения (А10) видно,
что сечение имеет размерность площади, если n

1

и n

2

в (А10) нормируются так же как и начальные

состояния при вычислении амплитуды рассеяния, т.е. согласно (А2).

Для проведения лоренц-инвариантных вычислений при нахождении сечений введём инвариант-

ную величину, которую можно назвать инвариантной плотностью потока:

j =

q

(k

1

k

2

)

2

− m

2

1

m

2

2

.

(A11)

В системе отсчёта, в которой частица 2 покоится

j =

m

1

m

2

vотн

p1 − v

2

отн

=

1
4

vотнn

1

n

2

,

(A12)

где

n

1

=

2m

1

p1 − v

2

отн

,

n

2

= 2m

2

.

153

Приложение B

Если же налетающая частица 1 является безмассовой, то выражение для j при помощи правой
части (А12) остаётся справедливым, если положить vотн = 1. Таким образом лоренц-инвариантное

дифференциальное сечение рассеяния представляется как

d σ =

d w

f i

4j

.

(A13)

Легко проверить следующую формулу:

2j =

p[s − (m

1

+ m

2

)

2

][s − (m

1

− m

2

)

2

] ,

s = (k

1

+ k

2

)

2

.

(A14)

В системе центра инерции частиц

k

1

= (ω

1

, k) ,

k

2

= (ω

2

, − k) ,

и плотность потока

j = | k |(ω

1

+ ω

2

) .

(A15)

Рассмотрим подробнее формулу (А13) в системе центра инерции в том случае, когда в конечном

состоянии имеется также две частицы с массами m

′

1

и m

′

2

. Имеем:

p

1

= (ω

′

1

, p) ,

p

2

= (ω

′

1

, − p) ,

ω

′ 2

1

− m

′ 2

1

= ω

′ 2

2

− m

′ 2

2

= | p |

2

.

(A16)

Отсюда

ω

′

1

d ω

′

1

= ω

′

2

d ω

′

2

= | p | d | p | −→ d(ω

′

1

+ ω

′

2

) = (ω

′

1

+ ω

′

2

)

| p | d | p |

ω

′

1

ω

′

2

.

(A17)

При помощи обозначений

ω = ω

1

+ ω

2

,

ω

′

= ω

′

1

+ ω

′

2

формулы (А15) и (А17) переписываются как

j = | k |ω ,

| p | d | p | =

ω

′

1

ω

′

2

ω

′

d ω

′

,

(A18)

что позволяет представить сечение (А13) в виде

d σ = |

M

f i

|

2

| p | d o

′

64π

2

| k |ω

2

.

(A19)

Здесь d o

′

— элемент телесного угла, в котором заключён импульс рассеянной частицы:

d o

′

= sin θ d θ d φ ,

(A20)

так что θ есть угол между векторами k и p, а угол φ является азимутальным углом вектора p
относительно некого фиксированного ортогонального репера, третья ось которого совпадает с k.
Таким образом

t = (k

1

− p

1

)

2

= m

2

1

+ m

′ 2

1

− 2ωω

′

+ 2| k || p | cos θ .

Поэтому при фиксированной энергии ω

d t = 2| k || p | d cos θ ,

d o

′

= d φ d(− cos θ) =

d φ d(−t)

2| k || p |

,

так что

d σ = |

M

f i

|

2

d t

64π| k |

2

|ω

2

·

d φ

2π

=

|M

f i

|

2

d t

64πj

2

·

d φ

2π

.

(A21)

Так как в физически интересных случаях амплитуда не зависит от угла φ, то, интегрируя (А21) по
этому углу, находим:

d σ = |

M

f i

|

2

d t

64πj

2

.

(A22)

Поскольку в последнем равенстве инвариантное дифференциальное сечение представлено через
инвариантные же величины, то этим равенством можно пользоваться в любой системе отсчёта.