Лекции по квантовой электродинамике - часть 38

Приложение B

154

Приложение B

Спиновые матрицы плотности

Выпишем некоторые формулы, относящиеся к спиновым матрицам плотности. Спиновые матри-

цы плотности необходимы при вычислении сечений и вероятностей распадов, т.к. в процессе таких
вычислений приходится делать замены выражений, билинейных относительно спиновых волновых
функций начальных и конечных частиц, согласно правилу

e

k µ

e

∗

k ν

−→ ρ

µν

(k) ,

u

±ka

u

±kb

−→ ρ

(±)

ab

(k) ,

(Б1)

где ρ

µν

(k) — спиновая матрица плотности фотона, ρ

(+)
ab

(k) (ρ

(−)

ab

(k)) — спиновая матрица плотности

электрона (позитрона), причём импульс всех этих частиц равен k.

1. Фотонные спиновые матрицы плотности.

Для неполяризованного фотона в трёхмерно-поперечной калибровке (см. (33 Л7))

ρ

ij

=

1
2



δ

ij

−

k

i

k

j

k

2



,

ρ

0i

= ρ

i0

= ρ

00

= 0 .

(Б2)

Структура матрицы плотности неполяризованного фотона (Б2) очевидна, а общий коэффициент
определяется требованием того, что сумма вероятностей нахождения спина фотона во всех состоя-
ниях равна единице:

ρ

µ

µ

= −1 .

(Б3)

Преобразуем выражение (Б2) к более удобному для использования виду, воспользовавшись свой-
ством калибровочной инвариантности теории. В отношении фотонной матрицы плотности послед-
нее свойство означает, что с физической точки зрения матрица плотности не изменяется при замене
(сравни с (56 Л7))

ρ

µν

(k) −→ ρ

µν

(k) + (χ

µ

k

ν

+ χ

ν

k

µ

) ,

(Б4)

где χ

µ

(k) — произвольный 4-вектор. Действительно, каждый из векторов k

µ

в круглых скобках в

(Б4) сворачивается по векторному индексу с хронологическими корреляторами токов, из которых
строятся все амплитуды. При этом импульс фотона k

µ

есть входящий (или выходящий) импульс в

соответствующую вершину. Вследствие равенств (17 Л10) описанные слагаемые обращаются в нуль
и потому слагаемое в круглых скобках в (Б4) несущественно. При помощи преобразования (Б4)
матрица плотности (Б2)приводится к виду

ρ

µν

= −η

µν

/2 ,

(Б5)

если

χ

µ

=



−

1

4ω

,

k

4ω

2



.

В общем случае матрица плотности представляется в виде

ρ

µν

= ρ

∗

νµ

=

2

X

α, β=1

ρ

αβ

e

αµ

e

∗

βν

.

(Б6)

Здесь (e

1 µ

, e

2 µ

) — базис векторов поляризации фотона. Эрмитовость матрицы (Б6) обеспечивается

эрмитовостью матрицы ρ

αβ

:

ρ

αβ

= ρ

βα∗

.

(Б7)

Очевидно, в рассмотренном случае неполяризованного фотона

ρ

αβ

= (1/2)δ

αβ

.

(Б8)

Из (Б8) находим, что

det ρ

αβ

= 1/4 .

(Б9)

155

Приложение B

В случае полностью поляризованного фотона матрица (Б6) должна представляться как тензорное
произведение двух взаимно сопряжённых 4-векторов. Это возможно лишь в том случае когда

ρ

αβ

= v

α

v

β∗

.

(Б10)

Очевидно, что в этом случае

det ρ

αβ

= 0 .

(Б11)

В общем случае матрица ρ

αβ

подчиняется условию (Б7), условию

2

X

α=1

ρ

αα

= 1 ,

(Б12)

вытекающему из (Б3), а также условию

0 ≤ det ρ

αβ

≤ 1/4 .

(Б13)

Общий вид матрицы ранга 2, удовлетворяющий условиям (Б7) и (Б12), таков:

ρ =

1
2

(1 + ξσ) ,

ξ

= (ξ

1

, ξ

2

, ξ

3

) .

(Б14)

Здесь σ = (σ

1

, σ

2

, σ

3

) — матрицы Паули. Имеем:

det ρ =

1
4

(1 − ξ

2

1

− ξ

2

2

− ξ

2

3

) .

(Б15)

Из условия (Б13) следует, что

0 ≤ ξ

2

1

+ ξ

2

2

+ ξ

2

3

≡ ξ

2

≤ 1 .

(Б16)

Из сказанного выше вытекает, что в неполяризованном случае

ξ

2

= 0 ,

(Б17)

а в полностью поляризованном случае

ξ

2

= 1 ,

(Б18)

2. Спинорные матрицы плотности.

Из определения (Б1) и (39 Л8) вытекает, что

tr ρ

(±)

(k) = ±2m .

(Б19)

Спинорные матрицы плотности удовлетворяют уравнениям (ср. с (38 Л8))

(6k ∓m)ρ

(±)

(k) = ρ

(±)

(k)(6k ∓m) = 0 .

(Б20)

При заданной матрице плотности среднее значение спина вычисляется при помощи формулы (опре-
деление спинового оператора Σ см. в (111 Л8))

hsi =

1

2ω

k

tr(ρ

(±)

γ

0

Σ

) =

1

4ω

k

tr(ρ

(±)

γ

5

γ

) .

(Б21)

Матрица плотности для неполяризованного состояния получается при помощи суммы (56 Л8),

делённой на 2. Действительно, в неполяризованном состоянии обе проекции спина имеют одинако-
вую вероятность (1/2). Таким образом в неполяризованном состоянии

ρ

(±)

(k) = (1/2)(6k ±m) .

(Б22)

Матрица плотности (Б22) удовлетворяет условиям (Б19) и (Б20).

Приложение C

156

В общем случае спинорные матрицы плотности представляются в виде

ρ

(±)

(k) = (1/2)(6k ±m)(1 − γ

5

6a) ,

(Б23)

где a

µ

есть 4-вектор, характеризующий поляризацию и удовлетворяющий условию

k

µ

a

µ

= 0 ←→ 6a 6k + 6k 6a = 0 .

(Б24)

Непосредственно проверяется, что при условии выполнения равенств (Б24) матрица (Б23) также
удовлетворяет условиям (Б19) и (Б20). Имеем также:

±a

µ

=

1

2m

tr(ρ

(±)

γ

5

γ

µ

) .

(Б25)

Сравнение формулы (Б21), (Б24) и (Б25) показывает, что в системе покоя частицы

a

µ

= (0, ±2hsi) .

(Б26)

Поскольку

0 ≤ hsi

2

≤ 1/4 ,

то 4-вектор a

µ

удовлетворяет ограничению

−1 ≤ a

2

≤ 0 .

(Б27)

Напоследок укажем, что в случае рассеяния неполяризованных частиц без фиксации поляриза-

ции рассеянных частиц каждой начальной и конечной частице в сечении рассеяния соответствуют
матрицы (Б5) либо (Б22) (в зависимости от сорта частиц), причём в сечение рассеяния следует
внести дополнительный множитель 2

r

, где r — суммарное число электронов, позитронов и фото-

нов в конечном состоянии. Этот множитель означает учёт обоих состояний спина каждой конечной
частицы.

157

Приложение C

Приложение C

Тензор энергии-импульса

Пусть φ, A

µ

и ψ — скалярное, электромагнитное и спинорное поля, соответственно, и δx

µ

(x) —

d произвольных бесконечно малых функций координат. Рассмотрим следующие вариации полей:

δ φ(x) = δx

ν

(x)∂

ν

φ(x) ,

δA

µ

(x) = δx

ν

(x)∂

ν

A

µ

(x) + (∂

µ

δx

ν

(x)) A

ν

(x) ,

δψ(x) =



δx

ν

(x)∂

ν

+

1
2

(∂

µ

δx

ν

(x)) σ

µν



ψ(x) .

(C1)

Преобразования (C1) имеют следующее обоснование. В случае

δx

µ

= ω

µ

ν

x

ν

,

ω

µν

= −ω

νµ

= const ,

правая часть последнего уравнения в (C1) совпадает с разностью δψ(x) ≡ ψ(x)− ˜

ψ(x), вычисленной

согласно (20 Л8) для бесконечно малого преобразования Лоренца. Знак перед вторым слагаемым
в формуле преобразования векторного поля в (C1) определяется тем требованием, чтобы величина
ψ γ

µ

ψ A

µ

преобразовывалась как скалярное поле в (C1).

Пусть лагранжиан L состоит из трех слагаемых:

L = L

1

+ L

2

+ L

3

,

L

1

=

1
2

(∂

µ

φ)

2

− V (φ) ,

L

2

= −

1

16π

F

µν

F

µν

,

L

3

=

1
2

ψ(iγ

µ

∇

µ

− m)ψ + h.c. .

(C2)

Таким образом, рассматривается полный лагранжиан системы Максвелла-Дирака и нейтрального
скалярного поля.

Вычислим вариации этих лагранжианов при вариациях полей (C1):

δ L

1

=

1
2

(∂

µ

δx

ν

+ ∂

ν

δx

µ

) ∂

µ

φ · ∂

ν

φ + η

µν

δx

µ

∂

ν

L

1

,

δ L

2

= −

1
2

(∂

µ

δx

ν

+ ∂

ν

δx

µ

)

1

4π

F

µλ

F

ν

λ

+ η

µν

δx

µ

∂

ν

L

2

,

δ L

3

=

1
2

(∂

µ

δx

ν

+ ∂

ν

δx

µ

)

 1

4

ψ(iγ

µ

∇

ν

+ iγ

ν

∇

µ

)ψ + h.c.



+ η

µν

δx

µ

∂

ν

L

3

.

(C3)

Собирая последние формулы, находим с точностью до поверхностного члена:

δS =

Z

d

(d)

x δL =

Z

d

(d)

x t

µν

∂

µ

δx

ν

 ,

t

µν

= ∂

µ

φ · ∂

ν

φ −

1

4π

F

µλ

F

ν

λ

+

 1

4

ψ(iγ

µ

∇

ν

+ iγ

ν

∇

µ

)ψ + h.c.



− η

µν

L .

(C4)

Величина

t

µν

= t

νµ

(C5)

называется тензором энергии-импульса материи.

Перепишем правую часть (C4) в виде

δS = −

Z

d

(d)

x ∂

ν

t

νµ

δx

µ

.

(C6)

Теперь применим такой же прием, какой был применен в пункте 3 Лекции 14 при выводе ак-

сиальной аномалии: в амплитуде перехода, представленной в форме функционального интеграла,