Лекции по квантовой электродинамике - часть 39

Приложение C

158

произведем бесконечно малую вариацию переменных вида (C1). Поскольку эти преобразования
переменных имеют смысл в пространствах любой размерности, то размерность пространства бу-
дем считать аналитической. Важно также, что якобиан функциональной меры при преобразовани-
ях переменных интегрирования (C1) равен единице при комплексной размерности пространства-
времени

1

. Поэтому, в отличие от случая, рассмотренного в Лекции 14, в данном случае получаем:

∂

ν

hA|t

νµ

|Bi = 0 ,

где |Ai и |Bi — произвольные состояния. Последнее равенство эквивалентно операторному равен-

ству

∂

ν

ˆ

t

νµ

= 0 .

(C7)

Из (C7) следует, что сохраняются d операторов d-импульса (далее "шляпки"над операторами не
пишем)

P

µ

≡

Z

d

(d−1)

x t

0 µ

(x) .

(C8)

Действительно, вследствие равенств (C7)

d

d t P

µ

=

Z

d

(d−1)

x

∂

∂x

0

t

0 µ

(x) = −

Z

d

(d−1)

x

∂

∂x

i

t

i µ

(x) = 0 ,

если на пространственной бесконечности t

i µ

→ 0. Из (C5) и (C7) следует, что сохраняются также

d(d − 1)/2 операторов d-момента

J

µν

=

Z

d

(d−1)

x x

µ

t

0 ν

− x

ν

t

0 µ

 ,

(C9)

поскольку

∂

∂x

λ

x

µ

t

λν

− x

ν

t

λµ

 = 0 .

(C10)

Обозначим через Φ(x) любое из полей φ(x), A

µ

(x), ψ(x) в представлении Гейзенберга и вычислим

матричный элемент hA|Φ(x)|Bi. Представим этот матричный элемент в форме функционального

интеграла (см. пункт 2 Лекции 1) и проведем в нем вариацию переменных интегрирования (C1).
В результате этого вычисления сумма слагаемых первого порядка относительно δx

ν

должна быть

приравнена нулю. Одно из этих слагаемых есть hA|δΦ(x)|Bi, а второе происходит от вариации

действия, которую возьмем в виде (C4), но не в виде (C6). Это удобнее, поскольку при рассмотрении
коррелятора

hA|T Φ(x) ∂

0

t

0 ν

(y)|Bi

при x

0

= y

0

требуется особенная тщательность. В противном случае может быть потеряно слагаемое

вида [t

0 ν

(x

0

, y), Φ(x)]. При использовании вариации действия в виде (C4) это слагаемое легко

учитывается. Таким образом имеем:

hA|δΦ(x)|Bi + i

Z

d

(d)

y ∂

µ

δx

ν

(y)

hA|T Φ(x) t

µν

(y)|Bi = 0 .

(C11)

Теперь перебросим оператор ∂/∂y

µ

на хронологический коррелятор в (C11) и учтем, что коррелятор

hA|T Φ(x) t

µν

(y)|Bi

имеет разрыв при x

0

= y

0

hA|[t

µν

(x

0

, y), Φ(x)]|Bi .

1

Поскольку вариации (C1) не только бесконечно малы, но и линейны относительно переменных интегрирова-

ния, то соответствующий якобиан отличается от единицы следом линейных операторов, действующих на поля в
(C1). Этот след равен нулю. Действительно, поскольку след оператора не зависит от базиса, в котором он вычис-
ляется, то возьмем в качестве базиса плоские волны Ψ

k

(x) ∼ exp ikx. Нужный нам след пропорционален величине

R

d

(d)

k

R

d

(d)

x

exp(−ikx) . . . exp(ikx), где вместо многоточия находится оператор из (C1). После интегрирования по

переменной x след оказывается пропорциональным величине

R

k

d

(d)

k

, которая равна нулю вследствие симметрии

базиса относительно инверсии k → −k.