Лекции по квантовой электродинамике - часть 40

159

Приложение C

Поэтому равенство (C11) после опускания обкладок переписывается как

δΦ(x) = i

Z

d

(d)

y δx

ν

(y) δ(y

0

− x

0

) [t

0 ν

(x

0

, y), Φ(x)] .

(C12)

При переходе от (C11) к (C12) было учтено уравнение (C7).

Поскольку вариации δx

ν

(y) независимы в разных точках y, то интегральное равенство (C12)

распадается на семейство равенств в каждой точке y. Выпишем их в случае дираковского поля:

δ

(d)

(y − x) ∂

ν

ψ(x) −

1
2

δ

(d)

(y − x)

, µ

σ

µν

ψ(x) = i δ(y

0

− x

0

)[t

0 ν

(x

0

, y), ψ(x)] .

(C13)

Свернем равенство (C13) с величиной ε

ν

+ ω

νλ

y

λ

и затем проинтегрируем по переменной y:

ε

ν

+ ω

ν

µ

x

µ

∂

ν

−

1
2

ω

µν

σ

µν



ψ(x) = i



ε

ν

P

ν

(x

0

) −

1
2

ω

µν

J

µν

(x

0

), ψ(x)



.

(C14)

Если в Ур. (C1) положить δ x

ν

= ε

ν

+ ω

ν

µ

x

µ

, то правая часть Ур. (C1) совпадет с левой частью Ур.

(C14). Таким образом, операторы P

ν

и J

µν

являются генераторами d-трансляций и d-поворотов в

d-мерном пространстве Минковского. В частности, P

0

= H есть гамильтониан, а P

i

— оператор

импульса системы. При помощи формул (C2), (C4), (C8) и (C9) находим:

P

0

=

Z

d

(d−1)

x

2

˙

φ

2

+

1
2

(∇φ)

2

+

m

2

2

φ

2

+

λ

4!

φ

4



+

+

E

2

+ H

2

8π

+ ψ

− iγ

i

∇

i

+ m

ψ



,

(C15)

P

i

=

Z

d

(d−1)

x

− ˙φ∇

i

φ +

1

4π

ε

ijk

E

j

H

k

− ψ

†

i∇

i

ψ



.

(C16)

Правые части в (C15) и (C16) должны быть выражены через гейзенберговы поля.

Мы видим, что правые части в (C15) и (C16) совпадают с операторами Гамильтона и импульса

соответствующих полей, уже использовавшихся в лекциях.

Очевидно, любой тензорный оператор преобразуется аналогично (C14). Поэтому для тензора

энергии-импульса имеем:

ε

λ

+ ω

λ

ρ

x

ρ

∂

λ

t

µν

(x) − ω

µλ

t

λ

ν

− ω

νλ

t

λ

µ

= i



ε

λ

P

λ

−

1
2

ω

λρ

J

λρ

, t

µν

(x)



.

(C17)

Интегрируя равенство (C17) по переменной x по (d − 1)-мерной гиперповерхности x

0

= const с

соответствующими весами, находим следующие коммутационные соотношения:

[P

µ

, P

ν

] = 0 ,

(C18)

J

µν

, P

λ

 = i η

νλ

P

µ

− η

µλ

P

ν

 ,

(C19)

J

µν

, J

λρ

 = i η

µρ

J

νλ

− η

νρ

J

µλ

− η

µλ

J

νρ

+ η

νλ

J

µρ

 .

(C20)

(Сравни последние два равенства с равенствами (12 Л8), (13 Л8). Конечно, коммутационные соот-
ношения (C14), (C17)-(C20) могут быть установлены также и путем прямого вычисления.

Согласно определению, линейная оболочка совокупности эрмитовых операторов P

µ

, J

λρ

, удо-

влетворяющих коммутационным соотношениям (C18)-(C20), называется алгеброй Пуанкаре.

При помощи формулы (C14) немедленно получаем:

exp(i x

µ

P

µ

)Φ(0) exp(−i x

µ

P

µ

) = Φ(x) .

(C21)

Унитарные операторы

U = exp iε

i

J

0i

(C22)

называются бустами. Эти операторы генерируют преобразования Лоренца.