Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 4

Масса m одного моля воздуха равна

m = ρV = 0,00129 · 22,4 · 10

3

∼

= 28,9 г/моль.

Отсюда следует

C

p

= mc

p

= 28,9 · 0,238 ∼

= 6,88 кал/(моль

· град),

C

V

=

1

γ

C

p

= 6,88/1,41 ∼

= 4,88 кал/(моль

· град).

Следовательно, J ∼

=

R

C

p

−C

V

=

8,32
2,00

= 4,16 Дж/кал.

1.3

Второй закон термодинамики. Основные термо-
динамические функции и условия равновесия

Предположим, что при переходе рассматриваемой системы из состо-
яния α в состояние α

′

окружающая среда (термостат) переходит из

состояния β в состояние β

′

. Если существует принципиальная возмож-

ность возвратить систему из состояния α

′

в состояние α, а термостат

из состояния β

′

в состояние β, то процесс перехода (α, β) → (α

′

, β

′

)

называется обратимым.

Пусть система совершает циклический процесс α → α, при котором

термостат переходит из состояния β в состояние β

′

. Цикл (α, β) →

(α, β

′

) называется обратимым циклом, если процесс (α, β) → (α, β

′

)

обратим.

Ясно, что квазистатические процессы и циклы являются обрати-

мыми. Более того, так как квазистатические процессы являются рав-
новесными, т.е. каждое промежуточное состояние системы равновесно,
то в квазистатическом процессе каждый элементарный акт перехода
системы и термостата в новое состояние является обратимым. В си-
лу сказанного, совокупность обратимых процессов не сводится, вообще
говоря, только к квазистатическим процессам.

Второй закон термодинамики так же, как и первый закон термо-

динамики, является эмпирическим и допускает различные его форму-
лировки, эквивалентные друг другу. Одна из формулировок второго
закона термодинамики, носящая название принципа Томсона — Кель-
вина, гласит:

невозможно превратить в работу все количество тепла, взятое

от тела с однородной температурой, не производя никаких других
изменений состояния системы.

16

p

p

p

p

p

Рис. 1.2

В этой формулировке под термином “другие изменения” подразу-

меваются такие изменения системы, которые сохраняются после завер-
шения процесса.

Второе начало (закон) термодинамики имеет важное значение в тео-

рии тепловых двигателей — непрерывно действующих устройств, ре-
зультатом работы которых является превращение теплоты в работу.
Для производства работы нужно иметь два тела с разными темпера-
турами и вспомогательное тело, называемое рабочим телом, которое
должно периодически многократно изменять свое состояние, совершая
циклический процесс. На одном из участков этого процесса рабочее те-
ло расширяется, совершая работу A

1

за счет теплоты, полученной от

более нагретого тела, и частично за счет собственной внутренней энер-
гии. На втором участке над рабочим телом совершается работа сжатия
A

2

. Часть этой работы идет на восстановление внутренней энергии ра-

бочего тела, другая часть передается в виде теплоты менее нагретому
телу. Полезная работа A = A

1

− A

2

согласно первому закону термоди-

намики совпадает с разностью Q

1

− Q

2

, где Q

1

— количество теплоты,

полученной рабочим телом от более нагретых тел, Q

2

— количество

теплоты, полученной от рабочего тела менее нагретыми телами. Вто-
рое начало утверждает, что теплота, получаемая от более нагретых
тел, превращается в работу не полностью, часть теплоты переходит к
менее нагретым телам (Q

2

> 0). Рассмотрим цикл Карно, соответству-

ющий обратимому круговому процессу превращения теплоты в работу
между двумя источниками теплоты с температурами T

1

, T

2

(рис. 1.2).

Участок 1–2 соответствует изотермическому расширению, в процес-

17

се которого рабочее тело находится в тепловом контакте с источником
тепла с температурой T

1

, на участке 2–3 происходит адиабатическое

расширение (δQ = 0), участок 3–4 соответствует изотермическому сжа-
тию, когда рабочее тело находится в тепловом контакте с источником
теплоты с температурой T

2

(T

2

< T

1

), участок 4–1 соответствует адиа-

батическому сжатию.

На участке 1–2 рабочее тело получает теплоту Q

1

, на участке 3–4

— теплоту Q

2

. Полезная работа за один цикл A = Q

1

+ Q

2

. Из второго

начала термодинамики следует, что обязательно Q

2

< 0 при положи-

тельной A. При этом термический коэффициент полезного действия

η =

Q

1

+ Q

2

Q

1

< 1.

Из второго начала термодинамики следует также, что ни одна тепловая
машина не может иметь больший КПД, чем машина, соответствующая
циклу Карно, и что все обратимые тепловые машины имеют один и тот
же КПД независимо от используемого цикла и рабочего тела (КПД
зависит только от T

1

, T

2

).

Для идеального газа η можно вычислить в виде η = (T

1

− T

2

)T

−1

1

.

Сравнение двух формул для η показывает, что в обратимом цикле для
любого тела

Q

1

T

1

+

Q

2

T

2

= 0.

Для необратимого цикла знак равенства нужно заменить на знак “ <

′′

.

Применение второго закона термодинамики к циклическому про-

цессу, при котором система последовательно проходит n состояний и
поглощает при каждом переходе теплоту Q

i

(i = 1, . . . , n) из тепловых

резервуаров R

i

(i = 1, . . . , n) с температурами T

(e)

i

дает неравенство

n

X

i=1

Q

i

/T

(e)

i

≤ 0.

(1.12)

Если изменение состояний происходит непрерывно, то (1.12) принимает
вид

I

δQ

T

(e)

≤ 0.

(1.13)

Знак равенства в (1.12), (1.13) имеет место только для обратимых про-
цессов.

18

Пусть L и L

′

представляют собой два квазистатических процесса,

связывающих состояния α и α

0

. Рассмотрим обратимый квазистатиче-

ский цикл α

0

L

→ α

L

′

→ α

0

. В силу (1.13) имеем (так как T

(e)

= T )

α

Z

α

0

(L)

δQ

T

+

α

0

Z

α

(L

′

)

δQ

T

= 0.

Это означает, в силу обратимости процессов L и L

′

, что интеграл

α

Z

α

0

(L)

δQ

T

=

α

Z

α

0

(L

′

)

δQ

T

не зависит от процесса, а определяется только начальным и конечным
состояниями процесса. Вследствие этого, выбирая в качестве исходно-
го состояния некоторое равновесное состояние α

0

для любого другого

состояния α можно определить новый термодинамический параметр
состояния — энтропию S(α)

S(α) − S(α

0

) =

α

Z

α

0

δQ

T

,

(1.14)

где интегрирование производится по любому квазистатическому про-
цессу, связывающему состояния α

0

и α.

Для бесконечно близких α

0

и α будем иметь

dS = δQ/T.

(1.15)

В статистической теории энтропия системы определяется выражением
S = k ln W , где k — постоянная Больцмана, а W — термодинамическая
вероятность. Последняя величина определяется как число равноверо-
ятных микросостояний, отвечающих рассматриваемому макрососто-
янию.

Очевидно, что энтропия является экстенсивным параметром состо-

яния системы. Из выражения (1.15) вытекает, что если система квази-
статически переходит из состояния α в состояние α + δα, то количество
теплоты δQ в таком процессе дается выражением δQ = T dS, т.е. в
квазистатических процессах энтропия S играет роль “тепловой коор-
динаты” по аналогии с обобщенными координатами при вычислении
работы, совершаемой системой.

19