Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 1

Предисловие к переизданию

Первое издание пособия В. М. Меньщикова и В. М. Тешукова более 20
лет активно используется в учебном процессе в НГУ и других выс-
ших учебных заведениях, в которых преподаются основы газовой ди-
намики. За это время пособие, не утратив своей актуальности, стало
библиографической редкостью даже в библиотеках. Этим обусловлена
необходимость в переиздании.

Конечно, за последние 20 лет в научном сообществе сформирова-

лось более полное понимание разнообразных нелинейных газодинами-
ческих процессов. Важные аналитические результаты о пространствен-
ных газодинамических течениях получены в рамках выполнения науч-
но-исследовательской программы “Подмодели”, направленной на систе-
матическое использование свойств симметрии для построения классов
точных решений уравнений газовой динамики. Заметные продвижения
достигнуты в теоретическом исследовании распространения нелиней-
ных волновых возмущений в средах с усложненными свойствами. При
этом существенно использованы методы и подходы развитые в клас-
сической газовой динамике. На принципиально новый уровень вышли
возможности компьютерного моделирования течения жидкостей и га-
зов. В рамках специализации в области механики сплошной среды в
НГУ эти вопросы освещаются в курсах “Групповой анализ дифферен-
циальных уравнений”, “Волны в сплошных средах” и различных спец-
курсах. В тоже время курс газовой динамики стал обязательным эле-
ментом базовых знаний для студентов механико-математического фа-
культета НГУ.

В настоящем издании устранены замеченные неточности и опечат-

ки, в остальном редакторская правка была сведена к необходимому
минимуму. Задачник ориентирован на учебник Л. В. Овсянникова “Лек-
ции по основам газовой динамики”, но может быть использован в соче-
тании с любым другим учебником или лекционным курсом по газовой
динамике.

1

Элементы термодинамики

1.1

Основные понятия и обозначения

Описание движения газа в рамках феноменологического подхода свя-
зано с представлениями о средних величинах, характеризующих его
состояние. При выводе основных уравнений математической модели
постулируется, что средние по объему плотность, скорость и другие
величины стремятся к определенному пределу при стягивании объема
к точке. Это предположение оправдывается тем, что размеры объемов,
содержащих достаточно большое число молекул, можно выбрать ма-
лыми по сравнению с характерными масштабами изучаемых явлений.
Но мелкомасштабное движение большого числа молекул внутри малого
объема также должно учитываться при моделировании.

Поясним это следующим примером. Пусть газ в целом покоится в

некотором фиксированном объеме и средняя скорость его равна нулю.
При этом молекулы газа внутри объема движутся, взаимодействуя при
столкновениях. После многих столкновений в объеме устанавливается
хаотическое движение, в котором все направления движения молекул
равновероятны. Такое движение называется тепловым, оно характе-
ризуется вполне определенными параметрами, такими, например, как
средняя кинетическая энергия движущихся молекул. Если объем газа
в результате некоторого воздействия пришел в движение, то в общем
случае изменяется как средняя скорость газа в целом, так и средняя
кинетическая энергия молекул, отвечающая тепловому движению. Из-
менение этой величины необходимо принимать во внимание при фор-
мулировке закона сохранения энергии, в противном случае мы не по-
лучим адекватной модели явления.

В феноменологической теории используется приближенное описа-

ние мелкомасштабных процессов, при этом вводятся некоторые средние
параметры, характеризующие состояние газа, ряд соотношений между
этими параметрами является следствием общих физических законов,
другие соотношения (уравнения состояния конкретных сред) возника-
ют в результате обобщения опытных данных. Известно, что газ, нахо-
дящийся в фиксированном объеме, при фиксированных внешних па-
раметрах и при отсутствии обмена энергией с внешними телами через
некоторое время (время релаксации) приходит в равновесное состоя-
ние. Время релаксации тем меньше, чем меньше размеры объема. По-
этому при моделировании процессов с характерным временем измене-
ния средних величин, много большим времени релаксации, приближен-
но можно считать, что малый объем газа в каждый момент времени

5

находится в состоянии равновесия при фиксированных внешних пара-
метрах. Непрерывное изменение основных его характеристик тракту-
ется как квазистатический переход от одного равновесного состояния к
другому. Таким образом, моделирование мелкомасштабных процессов
в газах связано с изучением состояний равновесия общих физических
систем и основных закономерностей установления равновесия — это и
составляет предмет термодинамики.

Введем некоторые основные понятия и определения. Термин тер-

модинамическая система будет относиться к совокупности большого
числа материальных частиц (молекул, атомов и т.д.) и действующих
на них полей (гравитационного, электромагнитного и пр.). Если изуча-
ется часть термодинамической системы, то остальную часть называют
окружающей или внешней средой.

Термодинамические системы (или тела) характеризуются физиче-

скими и химическими признаками, к которым относятся, например,
плотность, упругость, степень нагретости, степень намагниченности,
процентное соотношение веществ, из которых состоит тело, процент-
ное соотношение веществ, находящихся в химическом соединении и в
свободном состоянии, и т.д. Все эти признаки, имеющие объективную
меру, называются термодинамическими параметрами тела. Указание
значений термодинамических параметров во всех частях тела опреде-
ляет его термодинамическое состояние.

Тело называют физически однородным, если во всех его частях фи-

зические признаки одинаковы. Если тело представляет собой смесь (но
не химическое соединение) нескольких веществ, то оно называется хи-
мически неоднородным. Примеры химически неоднородных тел: воз-
дух, растворы, сплавы.

Термодинамическое состояние тела называется равновесным, если

при неизменном внешнем воздействии на тело оно пребывает в этом
состоянии неограниченно долго.

Физически однородная часть системы называется фазой. Различ-

ным агрегатным состояниям (жидкость, газ), а также твердым веще-
ствам с различными кристаллическим структурами соответствуют раз-
ные фазы. Одно и то же вещество, например вода, может находиться
в разных фазах: газообразной, жидкой и твердой. Часть термодинами-
ческой системы, существующая как индивидуальное химическое веще-
ство или как совокупность химических веществ, называется компонен-
той.

Пусть физически и химически однородная термодинамическая си-

стема, находящаяся в равновесном состоянии, разделена на несколько
частей так, что это разделение не привело к нарушению равновесно-

6

го состояния во всех частях системы. Термодинамические состояния
частей системы будут описываться некоторым набором термодинами-
ческих параметров. Те параметры, которые остались неизменными при
разделении системы, называются интенсивными. Остальные парамет-
ры (изменившиеся при разделении) называют экстенсивными. К ин-
тенсивным параметрам относятся, например, давление, температура,
потенциал электрического поля. Примерами экстенсивных величин яв-
ляются масса, объем, энергия, электрический заряд.

В термодинамике экстенсивные параметры обычно относятся к неко-

торым стандартным массам. Чаще всего в качестве стандартных масс
берется либо единичная масса, либо моль. Экстенсивные величины, от-
носящиеся к единичной массе, называются удельными, а к молю —
мольными. Напомним, что молем, или грамм-молекулой, называется
количество вещества в граммах, численно равное его молекулярной
массе. Как известно, моль любого вещества содержит N

A

= 6,0247·10

23

молекул (N

A

— число Авогадро).

Для тела, состоящего из смеси нескольких веществ, в термодинами-

ке вводится понятие средней молекулярной массы. Эта величина опре-
деляется как молекулярная масса, которая была бы присуща этому ве-
ществу, если бы оно было химически однородно и состояло из молекул,
имеющих массу такую же, какова средняя масса молекул, фактически
содержащихся в смеси.

Пример 1.1. Найти среднюю молекулярную массу воздуха, если

известно, что он по массе состоит (приближенно) из 76% азота, 23%
кислорода и 1% аргона. Молекулярные массы азота и аргона принять
равными 28 и 40, соответственно, кислорода — 32.

Решение. Найдем сначала общее выражение для средней моле-

кулярной массы смеси по его составу из n веществ с молекулярными
массами M

i

(i = 1, .., n). Пусть 1 г смеси состоит из q

1

долей грамма

первого вещества, q

2

долей грамма второго вещества и т.д. Так как

моль содержит N

A

молекул, то q

i

долей грамма вещества с молеку-

лярной массой M

i

содержит (q

i

/M

i

)N

A

молекул. Следовательно, в 1

г заданной смеси находится

n

P

i=1

(q

i

/M

i

)N

A

молекул. С другой стороны,

если через M обозначить среднюю молекулярную массу смеси, то, в
силу ее определения, число молекул, содержащихся в 1 г смеси, будет

N

A

/M . Приравнивая эти две величины, получаем M =

n

P

i=1

(q

i

/M

i

)

−1

.

Применим эту формулу для вычисления средней молекулярной массы
воздуха: M

B

∼

= 0,03457

−1

≈ 28,92.

Если под воздействием каких-либо возмущающих факторов систе-

7