Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 3

К таким системам относятся жидкости, газы, пары и т.д. Первый закон
термодинамики для них будет записываться следующим образом:

δQ = dU + pdV.

(1.8)

В соответствии с принятым определением размерности термодинами-
ческой системы размерность термомеханической системы равна двум,
или, как говорят, эта система является двухпараметрической средой.

Пусть системе сообщено количество тепла δQ. Предположим, что

в этом процессе оставался неизменным некоторый параметр состояния
β, а температура увеличилась на dT . В данном случае величину

C

β

= δQ/dT

β

.

(1.9)

называют теплоемкостью системы при постоянном параметре β.

Для термомеханической системы выделяются следующие основные

процессы, в которых сохраняется один из термодинамических парамет-
ров:

адиабатический

δQ = 0;

изобарический

p = const;

изохорический

V = const;

изотермический

T = const.

Хотя теплота не является параметром состояния, включение в этот

список адиабатических процессов связано с тем, что, как будет уста-
новлено позднее, адиабатичность процесса приводит при определенных
условиях к сохранению такого термодинамического параметра состоя-
ния, как энтропия s. Из определения теплоемкости следуют очевидные
соотношения: C

Q

= 0, C

T

= ∞.

Поскольку термомеханическая система является двухпараметриче-

ской средой, то при заданных значениях давления p и объема V долж-
ны однозначно определяться температура T и внутренняя энергия U
как функции от p и V .

Термомеханическая система называется идеальным (совершенным)

газом, если параметры p, V и T подчиняются уравнению Клапейрона:

pV = nRT,

(1.10)

где n — число молей, R — универсальная газовая постоянная (R =
8,314 Дж·моль

−1

·град

−1

). С помощью основного термодинамическо-

го тождества (оно будет приведено в разд. 1.3) устанавливается, что
внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры:
U = U (T ). Уравнение (1.10) остается справедливым и для смеси из r

12

идеальных газов, если под n понимать сумму n = n

1

+ . . . + n

r

, где n

i

— число молей i-го компонента. При рассмотрении смеси идеальных
газов уравнением

p

i

V = n

i

RT,

(i = 1, . . . , r)

вводится понятие парциального давления p

i

i-го компонента в смеси,

занимающего объем V при температуре T . Давление p в смеси связано
с парциальными давлениями p

i

соотношением p = p

1

+ . . . + p

r

.

Уравнение состояния идеального газа (1.10) пригодно для описа-

ния реальных газов в случае достаточно низких давлений и высоких
температур. Для плотных газов, когда при соответствующих внешних
условиях возможен их переход в жидкое состояние, используются бо-
лее сложные по структуре уравнения состояния, например уравнения
состояния Ван-дер-Ваальса:



p +

an

2

V

2



(V − bn) = nRT,

(1.11)

где n — число молей, a и b — постоянные.

Пример 1.2. Пусть воздух находится в термически изолированной

комнате объемом 27 м

3

. В комнате имеется небольшое отверстие, че-

рез которое воздух может просачиваться наружу, где давление равно
1 атм. Какое количество тепла необходимо подвести в комнату, что-
бы температура медленно увеличилась с 0 до 20

◦

C? При проведении

расчетов принять плотность воздуха при T = 0

◦

и p =1 атм равной

ρ = 0,00129 г/см

3

, удельную теплоемкость C

p

постоянной и равной

C

p

= 0,238 кал/(г·град).

Решение. Так как нагревание происходит медленно, можно счи-

тать, что давление в комнате сохраняется равным 1 атм. Поскольку
сохраняется и объем воздуха V , то при его нагревании будет изменять-
ся масса воздуха m. Из уравнения Клапейрона имеем

pV = nRT =

m

M

RT,

где M — молекулярная масса воздуха. Поскольку M = const, то зависи-
мость m = m(T ) можно представить в виде m(T ) = m

1

T

1

/T , где m

1

—

масса воздуха при температуре T

1

. В силу определения теплоемкости,

для искомого количества тепла Q имеем формулу

Q =

T

2

Z

T

1

C

p

m(T )dT = C

p

m

1

T

1

ln

 T

2

T

1



.

13

p

p

p

Рис. 1.1

Так как T

1

= 0

◦

C = 273K, T

2

= 20

◦

C = 293K, то Q = 0,00129 г

см

3

· 2,7 ·

10

6

см

3

· 0,238 кал

г

·

град · 273град · ln(293/273) ∼

= 2,26

· 10

6

ln(293/273)кал ∼

=

1,6 · 10

5

кал = 160ккал.

Пример 1.3. Один моль идеального газа с начальными давлением

p

1

и объемом V

1

свободно (и адиабатически) расширяется до объема V

2

.

Затем он квазистатически изобарно сжимается до объема V

1

и, нако-

нец, изохорически нагревается до тех пор, пока его давление не станет
равным p

1

. Предполагая теплоемкость постоянной, показать с помо-

щью этого цикла справедливость соотношения Майера для молярных
теплоемкостей C

p

и C

V

: C

p

− C

V

= R.

Решение. Описанный цикл изображен на рис. 1.1. Кривая 1–2 со-

ответствует свободному расширению газа, прямые 2–3 и 3–1 — квази-
статическим изобарному и изохорическому процессам, соответственно.
Заметим, что в случае свободного расширения газа процесс не являет-
ся квазистатическим, так как давление в газе не уравновешено внеш-
ним давлением. Работа, совершаемая газом при переходе из состоя-
ния “1” в “2”, равна нулю, так как δA = p

(e)

dV , а p

(e)

= 0. Здесь p

(e)

— давление во внешней среде. Итак, в процессе 1 → 2 A

1→2

= 0 и

Q

1→2

= 0 (процесс адиабатический!). Из первого закона термодинами-

ки U

2

− U

1

= Q

1→2

− A

1→2

вытекает, что U

2

= U

1

. Следовательно, в

состоянии “2” температура T

2

= T

1

.

Далее, при переходе 2 → 3 имеем

A

2→3

=

V

1

Z

V

2

p

2

dV = p

2

(V

1

− V

2

),

Q

2→3

=

T

3

Z

T

2

C

p

dT = C

p

(T

3

− T

2

),

14

где C

p

— молярная теплоемкость при постоянном давлении. В изохори-

ческом процессе 3 → 1 работа не совершается, т.е. A

3→1

= 0. Если C

V

— молярная теплоемкость при постоянном объеме, то для совершения
процесса 3 → 1 затрачивается следующее количество теплоты:

Q

3→1

=

T

1

Z

T

3

C

V

dT = C

V

(T

1

− T

3

).

Из первого закона термодинамики получим:

Q

1→2

+ Q

2→3

+ Q

3→1

= A

1→2

+ A

2→3

+ A

3→1

.

Отсюда, подставляя значения для теплоты и работы, будем иметь

C

p

(T

3

− T

1

) − C

V

(T

3

− T

1

) = p

2

(V

1

− V

2

).

Из уравнения Клапейрона для состояний “2” и “3” следуют равенства

p

2

V

2

= RT

1

,

p

2

V

1

= RT

3

.

Подставляя их в предыдущее уравнение, получим

C

p

− C

V

= R.

Пример 1.4. Вычислить механический эквивалент тепла J, если

известно, что для воздуха при нормальных температуре и давлении
(т. е. при T = 0

◦

C, p = 1 атм = 1,013 · 10

6

дин/см

2

= 1, 013 · 10

5

Н/м

2

)

плотность ρ = 0,00129 г/см

3

, удельная теплоемкость при постоянном

давлении c

p

= 0,235кал/(г · град) и ее отношение к теплоемкости при

постоянном объеме γ = C

p

/C

V

= 1,41. Предполагается, что воздух

является идеальным газом, объем которого при этих условиях равен
22,4 л/моль.

Решение. Газовую постоянную R, выраженную в Дж/(моль·град),

можно получить из уравнения состояния идеального газа для одно-
го моля pV = RT . Кроме того, эту постоянную можно выразить в
кал/(моль·град) из соотношения Майера C

p

−C

V

= R (см. пример 1.3).

Если обозначить последнюю величину через R

′

, то J = R/R

′

Дж/кал.

Итак, имеем

R =

pV

T

=

1,013 · 10

6

· 22,4 · 10

3

273

= 8,32 · 10

7

эрг/(моль · град) =

= 8,32 Дж/(моль · град).

15