Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 2

ма перешла из одного термодинамически равновесного состояния ε

1

в

другое равновесное состояние ε

2

, то говорят, что система совершила

процесс перехода из состояния ε

1

в ε

2

. Процесс называется круговым

(или циклом), если состояния ε

1

и ε

2

тождественны друг другу.

По типу взаимодействия с окружающей средой системы подраз-

деляются на изолированные, замкнутые и открытые. Изолированной
называется система, которая не взаимодействует с окружающей сре-
дой. Термодинамическая система, которая не обменивается веществом
с окружающей средой, называется замкнутой, в противном случае —
открытой.

Если две изолированные системы, находящиеся в равновесных со-

стояниях, приведены в тепловой контакт и их состояния не изменились,
то говорят, что эти системы находятся в тепловом равновесии. В термо-
динамике принимается эмпирический закон транзитивности теплового
равновесия (нулевой закон термодинамики): если системы A и B, а
также B и C находятся в тепловом равновесии, то и системы A и C
также находятся в тепловом равновесии.

Нулевой закон термодинамики является основой для введения поня-

тия температуры тела как величины, характеризующей меру отклоне-
ния состояния тела от теплового равновесия с некоторым стандартным
состоянием стандартного тела. Тела, имеющие одинаковые температу-
ры, находятся в тепловом равновесии. В настоящее время наиболее об-
щепринятой является 100-градусная шкала температуры. За 0

◦

C при-

нимается температура тающего льда, за 100

◦

C — температура кипения

воды при одном и том же давлении в 1 атм. Абсолютная температура
T (по Кельвину) также измеряется по 100-градусной шкале и связана
с температурой Θ (по Цельсию) соотношением

T = Θ + 273,15.

Введем обозначения для основных величин, используемых для опи-

сания состояния термодинамической системы: U — внутренняя энергия
(ε — удельная внутренняя энергия); S — энтропия (s — удельная энтро-
пия); V — объем (τ — удельный объем); ρ — плотность; p — давление,
T — абсолютная температура.

Если среди перечисленных величин независимыми являются толь-

ко две из них, то символом (∂f /∂V )

T

, где f — любая из трех величин

V , S, p, обозначается частная производная от f по переменной V , т. е.
(∂f /∂V )

T

= ∂f (V, T )/∂V . Аналогичное правило записи производных

распространяется на случаи с другим числом зависимых и независи-
мых переменных.

8

1.2

Первый закон термодинамики

Все тела обладают внутренней энергией U , которая слагается из энер-
гии поступательного и вращательного движений молекул, колебатель-
ного движения атомов, энергии молекулярного притяжения и отталки-
вания и т. д. Внутренняя энергия есть термодинамический параметр,
который для каждого термодинамического состояния принимает вполне
определенное значение.

Пусть термодинамическая система под воздействием окружающей

среды перешла из состояния ε

1

в состояние ε

2

и ее внутренняя энергия

получила приращение U

2

− U

1

.

Первый закон термодинамики. Теплота и работа являются двумя

единственно возможными формами перехода энергии от одного тела к
другому, причем полученная энергия U

2

−U

1

равна сумме сообщенного

телу тепла Q и затраченной на тело работы ¯

A, т. е.

U

2

− U

1

= Q + ¯

A.

(1.1)

Для бесконечно близких состояний ε

1

и ε

2

соотношение (1.1) принимает

вид

dU = δQ + δ ¯

A.

(1.2)

Использование разных обозначений бесконечно малых величин в (1.2)
означает, что dU есть дифференциал, т.е. линейная часть приращения
функции U , в то время как δQ и δ ¯

A обозначают бесконечно малые

количества теплоты и работы.

Чаще всего оперируют не с работой ¯

A, затрачиваемой на тело, а с

работой A, совершенной телом. Поскольку A = − ¯

A, то (1.2) обычно

записывают в виде

δQ = dU + δA.

(1.3)

Если система наряду с внутренней энергией характеризуется меха-

нической (кинетической или потенциальной), то первый закон термо-
динамики (1.3) для такой системы запишется так:

δQ = dE + δA.

где E — полная энергий системы, т.е. сумма внутренней и механической
энергий.

В термодинамическом описании работа и теплота различаются тем,

что работа представляет собой макрофизическую форму передачи энер-
гии, тогда как теплота является совокупностью микрофизических про-
цессов передачи энергии. Таким образом, при переходе системы из со-
стояния ε

1

в ε

2

теплота и работа определяются самим процессом пере-

хода, а не только начальным и конечным состояниями системы. Более

9

того, переход системы из состояния ε

1

в состояние ε

2

можно осуще-

ствить либо путем передачи тепла, либо путем механического воздей-
ствия, оцениваемого количеством произведенной работы. Вследствие
этого количество тепла Q, которое вводится при тепловом воздействии,
можно охарактеризовать эквивалентной работой A.

Количество тепла измеряют внесистемной единицей — калорией. В

силу принципа эквивалентности теплоты и работы существует вполне
определенная связь между калорией и единицей измерения работы. В
системе СИ эта связь выражается соотношением

1 кал = 4,184 Дж.

(1.4)

В общем случае выражение для работы δA может быть представ-

лено в виде

δA =

n

X

i=1

P

(e)

i

dq

i

,

где P

(e)

i

— обобщенная сила, отвечающая обобщенной координате q

i

и

действующая на систему со стороны окружающей среды. Для так на-
зываемых квазистатических процессов, когда изменения происходят
настолько медленно, что каждое промежуточное состояние является
равновесным, внешние обобщенные силы P

(e)

i

равны обобщенным си-

лам P

i

самой системы. Квазистатическим процессам присуще свойство

обратимости, заключающейся в том, что на каждой стадии такого
процесса его можно обратить путем бесконечно малых изменений в
окружающей среде.

Для квазистатических процессов внутренние и внешние силы для

системы совпадают, и выражение для элемента работы приобретает
вид

δA =

n

X

i=1

P

i

dq

i

,

(1.5)

Количество независимых обобщенных координат q

i

, определенных

выражением (1.5), плюс “тепловая координата” характеризуют размер-
ность термодинамической системы. Если, как в нашем случае, размер-
ность системы равна n+1, то это означает, что в пространстве термоди-
намических параметров множество всевозможных термодинамических
состояний образует (n + 1)-мерное многообразие.

Приведем несколько примеров обобщенных сил и обобщенных ко-

ординат.

10

Работа равномерно распределенного давления p, направленная на

изменение объема V :

δA = pdV.

Обобщенной силой здесь является давление, а обобщенной координатой
— объем тела V .

Работа перемещения электрического заряда e в электрическом поле

с потенциалом Φ:

δA = −Φde.

Здесь обобщенными координатой и силой будут соответственно вели-
чины e и (−Φ).

Работа сил поверхностного натяжения:

δA = −αdΣ,

где α — коэффициент поверхностного натяжения (обобщенная сила
(−α)), Σ — площадь поверхности раздела (обобщенная координата).

Работа, совершаемая системой при изменении масс компонент вслед-

ствие химических реакций, при растворении одних веществ в других,
при фазовых переходах:

δA = −(µ

1

dm

1

+ µ

2

dm

2

+ . . . + µ

n

dm

n

).

Здесь массы составляющих системы m

1

, m

2

,. . ., m

n

суть обобщенные

координаты, а обобщенными силами являются химические потенциа-
лы µ

1

, µ

2

,. . ., µ

n

, взятые со знаком “минус”.

Рассмотрим замкнутую однокомпонентную двухфазную термодина-

мическую систему (например, жидкость — пар), в которой совершается
работа сил давления по изменению объема и “химическая” работа при
фазовом переходе. Если m

1

, m

2

и µ

1

, µ

2

— массы и химические потен-

циалы первой и второй фаз соответственно, то выражение для элемента
работы будет иметь вид

δA = pdV − µ

1

dm

1

− µ

2

dm

2

.

(1.6)

Термомеханической системой будем называть замкнутую термоди-

намическую систему, в которой происходят только процессы передачи
тепла и механической деформации под действием равномерно распре-
деленного давления. Для этой системы элемент работы записывается
следующим образом:

δA = pdV.

(1.7)

11