Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 5

В общем случае для процесса перехода системы из состояния α

1

в

состояние α

2

второй закон термодинамики выражается неравенством

α

2

Z

α

1

δQ

T

(e

)

≤ S(α

2

) − S(α

1

),

(1.16)

где T

(e

)

— температура термостата. Для бесконечно близких значений

состояний α

1

и α

2

соотношение (1.16) принимает вид

δQ ≤ T

(e

)

dS.

(1.17)

В (1.16) и (1.17) знак равенства имеет место только для обратимых про-
цессов. Из второго закона термодинамики вытекает важное следствие:
в изолированной (или адиабатно изолированной) системе энтропия мо-
жет только возрастать.

Неравенство (1.16) дает правило определения направления разви-

тия реальных процессов, происходящих в системе, когда она подвер-
гается внешнему воздействию, или когда в ней происходят самопроиз-
вольные процессы (химические реакции, фазовые переходы).

Для квазистатических процессов в однокомпонентной двухфазной

системе первый закон термодинамики (1.13) будет записываться в силу
(1.6) и (1.15) следующим образом:

T dS = dU + pdV − µ

1

dm

1

− µ

2

dm

2

,

(m

1

+ m

2

= const).

(1.18)

Для квазистатических процессов в термомеханической системе пер-

вый закон термодинамики имеет вид

T dS = dU + pdV.

(1.19)

Уравнение (1.19), играющее ключевую роль в газовой динамике, будем
называть основным термодинамическим тождеством.

Так как (1.19) есть уравнение в полных дифференциалах, а система

является двухпараметрической средой, то для описания всевозможных
состояний этой системы необходимо задать, по крайней мере, еще одну
функциональную связь между величинами T , S, p, V , U . Такие свя-
зи называются уравнениями состояния. Из физического смысла ясно,
что в качестве независимых переменных целесообразно выбирать пере-
менные из величин T , S, p, V . Для четырех пар таких величин можно
указать уравнения состояния, полностью описывающие термодинами-
ческую систему. Ниже приводятся эти уравнения состояния, отвечаю-

20

щие соответствующей паре независимых переменных:

(V, S) :

U = U (V, S),

(p, S) :

J ≡ U + pV = J(p, S),

(V, T ) :

F ≡ U − T S = F (V, T ),

(p, T ) :

Ψ ≡ U − T S + pV = Ψ(p, T ).

(1.20)

Величины U, J, F, Ψ называются потенциалами Гиббса и имеют следу-
ющие названия: J — энтальпия, F — свободная энергия, Ψ — полный
термодинамический потенциал.

Наиболее изучены в газовой динамике движения политропного газа

— идеального газа с постоянной теплоемкостью. Для политропного га-
за из соотношений (1.10) и (1.19), переписанных в терминах удельных
величин ε, τ , s, легко получаются следующие соотношения:

s = s

0

+ C

V

ln T + R

′

ln τ,

p = const ρ

γ

exp(s/C

V

),

ε =

pτ

γ − 1

γ = C

p

/C

V

.

(1.21)

В (1.21) постоянная R

′

= R/M , где M — молекулярная масса газа, ρ =

1/τ — плотность газа. Многие закономерности движений политропного
газа сохраняются и при более общих зависимостях вида p = g(τ, s),
ε = e(τ, p).

Газ называется нормальным, если его уравнения состояния p =

g(τ, s), ε = e(τ, p) удовлетворяют следующим условиям:

1

◦

. Функция g(τ, s) определена и трижды непрерывно дифференци-

руема в области {0 < τ < ∞, −∞ < s < ∞}, удовлетворяет неравен-
ствам

(a) g > 0,

(b) g

τ

< 0,

(c) g

τ τ

> 0,

(d)

g

s

> 0.

(1.22)

и предельным соотношениям:

lim

s→∞

g(τ, s) = ∞,

lim

s→−∞

g(τ, s) = 0,

lim

τ →0

g(τ, s) = ∞.

2

◦

. Функция e(τ, p) определена, трижды непрерывно дифференци-

руема в области {0 < τ < ∞, 0 < p < ∞}, удовлетворяет неравенствам

(e) pe

p

− e ≥ 0,

(f )

e

pτ

e

p



(τ, g(τ, s)) ≥

g

ss

g

τ

− g

τ s

g

s

g

2

s

.

(1.23)

21

и предельным соотношениям:

lim

τ →0

e(τ, p) = 0,

lim

τ →∞

e(τ, g(τ, s)) = 0.

Скоростью звука называется величина c > 0, определенная форму-

лой

c

2

= (∂p/∂ρ)

s

= −τ

2

g

τ

(τ, s).

Следствием условий, сформулированных в определении нормального
газа, являются следующие свойства функции g(τ, s):

lim

τ →∞

g(τ, s) = 0,

lim

τ →∞

τ g(τ, s) = 0,

lim

τ →∞

c

2

(τ, s) = 0.

Действительно, основное термодинамическое тождество (1.19) для удель-
ных величин

T ds = dε + pdτ

дает следующие следствия:

ε

τ

(τ, s) = −p,

i

τ

(τ, s) = τ g

τ

(τ, s)

(i = ε + pτ ).

Тогда, с использованием неравенств g

τ

(τ, s) < 0 и g

τ τ

(τ, s) > 0, имеем

ε(τ, s) − ε(2τ, s) =

2τ

Z

τ

g(τ

′

, s)dτ

′

≥ τg(2τ, s),

i(τ, s) − i(2τ, s) = −

2τ

Z

τ

τ

′

g

τ

(τ

′

, s)dτ

′

≥ −g

τ

(2τ, s)

2τ

Z

τ

τ

′

dτ

′

=

= −(3/2)τ

2

g

τ

(2τ, s) = (3/2)c

2

(2τ, s).

Так как ε(τ, s) → 0 при τ → ∞, то функции τg(τ, s) и i(τ, s) тоже
стремятся к нулю. Из последнего неравенства следует, что c

2

→ 0 при

τ → ∞.

Следует отметить, что условия устойчивости термодинамического

равновесия, вытекающие из второго закона термодинамики, определя-
ют некоторые из ограничений, которым должны удовлетворять урав-
нения состояния. Для того, чтобы сформулировать эти условия, рас-
смотрим установление равновесия в части термодинамической систе-
мы, контактирующей с окружающей средой, в которой температура
T

(e)

и давление p

(e)

постоянны. Пусть δU , δS, δV характеризуют малое

отклонение системы от состояния равновесия при заданных внешних

22

параметрах T

(e)

, p

(e)

. В соответствии с первым законом термодинамики

равенство

δQ = δU + p

(e)

δV

определяет количество теплоты, необходимое для создания этого от-
клонения. Если равновесие устойчиво, то эти отклонения самопроиз-
вольно не реализуются, то есть δQ > T

(e)

δS. Для функции e

ψ = U −

T

(e)

S + p

(e)

V последнее неравенство означает, что

δ e

ψ = δU − T

(e)

δS + p

(e)

δV > 0

(1.24)

при любом отклонении. Следовательно, в состоянии равновесия e

ψ име-

ет локальный минимум, при этом первая вариация функции равна ну-
лю, а вторая — неотрицательна. Следствием обращения в нуль первой
вариации являются равенства T = T

(e)

, p = p

(e)

. Неотрицательность

второй вариации приводит к соотношению

δT δS − δpδV ≥ 0.

(1.25)

При выводе неравенства (1.25) использовались формулы (∂U/∂S)

V

=

T , (∂U/∂V )

S

= −p.

Универсальный вид условия устойчивости равновесия (1.25) позво-

ляет использовать его для получения термодинамических неравенств
при любом выборе независимых переменных. Если, например, в каче-
стве независимых переменных выбраны V и T , то неравенство (1.25)
сведется к условию неотрицательности следующей квадратичной фор-
мы:

 ∂S

∂T



V

(δT )

2

+

 ∂S

∂V



T

−

 ∂p

∂T



V



δV δT −

 ∂p

∂V



T

(δV )

2

≥ 0.

Так как (∂S/∂V )

T

= (∂p/∂T )

V

, то из последнего неравенства получаем

условия термодинамической устойчивости:

 ∂S

∂T



V

=

C

V

T

≥ 0,

 ∂p

∂V



T

≤ 0.

Легко убедиться, что для нормального газа эти условия выполнены.

Особый интерес представляет выявление условий равновесия и на-

правления протекания реальных процессов (в случае, когда система
выведена из равновесия) в системах с фазовыми переходами и други-
ми процессами, сопровождающимися изменением масс составляющих.
В качестве примера проведем исследование этих вопросов для одноком-
понентной двухфазной системы, квазистатические процессы в которой
описываются уравнением (1.18).

23