Дифракция и фокусировка электромагнитных волн - часть 4

 

Метод зон Френеля является приближенным методом для расчета дифракционных картин. Объяс-

няется  это  следующим.  Считается  что  волны,  приходящие  от  всех  точек  любой  зоны  Френеля  имеют 
одинаковую фазу в точке наблюдения. Но это не так. Известно, что волны, приходящие от краев зоны в 
точку наблюдения, имеют разность хода 

2

λ

, т.е. между ними имеется разность фаз 

π. 

Пусть имеется точечный источник света S и точка наблюдения М. Возьмем сферическую волновую 

поверхность и построим первую зону Френеля радиусом r

1

 (рис. 22). 

Волны, приходящие от разных точек волновой поверхности первой зоны в точку М, имеют различ-

ные фазы. Разобьем волновую поверхность первой зоны на достаточно малые кольцевые участки, назы-
ваемые  субзонами.  Пусть  границы  первой  субзоны  находятся  от  точки  М  на  расстоянии 

∆,  которое 

удовлетворяет условию 

2

λ

<

∆

. Например, при 

12

λ

=

∆

, или 

6

2

⋅

λ

=

∆

 получим 

N

2

λ

=

∆

. 

 
Откуда видно, что первая зона будет разбита на N = 6 кольцевых субзон, так как 

2

6

λ

=

∆

. Разность 

фаз волн, приходящих в точку М от двух любых соседних субзон равна 

6

12

2

π

=

λ

λ

π

=

∆

=

ϕ k

. 

 
Пусть амплитуды волн, приходящих от первой, второй, третьей и т.д. субзон равны 

0

0

0

0

6

3

2

1

;.....

;

;

E

E

E

E

 

 
Можно  показать,  что  площадь  всех  субзон  одинакова.  Однако  амплитуды  вторичных  волн  с  рас-

стоянием номера субзон уменьшается, т.е. 

 

 

Рис. 22 

....

0

0

0

3

2

1

>

>

>

E

E

E

, 

 

так как угол 

α

I 

между направлением в точку наблюдения и нормалью к волновой поверхности растет с 

увеличением номера субзон. 

Найдем радиусы субзон. Для этого достаточно в известной формуле радиусов зон Френеля  

∆

+

=

λ

+

=

λ

+

=

i

L

R

RL

i

L

R

RL

i

L

R

RL

r

i

2

2

2

 

сделать замену 

2

λ

=

∆

 на 

N

2

λ

=

∆

. 

Радиусы субзон равны: 
 

i

N

L

R

RL

N

i

L

R

RL

r

i

λ

+

=

λ

+

=

2

2

, 

 

где i – номер субзоны; N – число субзон в первой зоне Френеля. 

Примем фазу волны, приходящую в точку наблюдения М от первой центральной субзоны, за нуль. 

Тогда фаза волны, приходящей от второй субзоны, будет равна 

ϕ; фаза волны, приходящей от третьей 

субзоны будет равна 2

ϕ и т.д. Другими словами, фазы вторичных волн, приходящих в точку наблюде-

 

ния образуют арифметическую прогрессию: 0; 

ϕ; 2ϕ; 3ϕ… Чтобы найти амплитуду волны, приходящей 

от всей первой зоны Френеля, необходимо сложить колебания: 

...

)

2

cos(

)

cos(

)

cos(

03

02

01

1

+

ϕ

+

ω

+

ϕ

+

ω

+

ω

=

t

E

t

E

t

E

E

 

 
Для нахождения амплитуды результирующей волны в точке М, воспользуемся векторной диаграм-

мой (рис. 23), где OP – опорная линия. Если бы амплитуды волн, приходя-
щих  от  субзон  были  одинаковы,  то  векторная  диаграмма  представляла  со-
бой звенья, вписанные в дугу полуокружности. В действительности это дуга 
полуспирали. 

1

E

 – есть вектор, характеризующий амплитуду результирую-

щей волны, приходящей в точку М от всей первой зоны. Если при разбие-
нии  количество  субзон  N  увеличить  до  бесконечности,  то  векторная  диа-
грамма волн, приходящих от первой зоны, превратится в дугу полуспирали 
близкой  к  полуокружности.  Из  векторной  диаграммы  (рис. 24) видно,  что 
фаза волны, приходящей от края первой зоны Френеля, отличается от фазы 
волны,  приходящей  от  центра  зоны,  на  π.  Из  данной  диаграммы  следует, 
что фаза результирующей 
волны 

1

E

 в точке М отли-

чается  от  фазы  волны, 
приходящей  от  центра 

первой субзоны на 

2

π

. 

Продолжим  разбиение  второй  зоны  Френеля  на 

кольцевые  субзоны  и  на  векторной  диаграмме  по-
строим  амплитуды  вторичных  волн,  приходящих  от 
этих субзон в точку наблюдения (рис. 25). Величины 
амплитуд  вторичных  волн  от  субзон  второй  зоны 
Френеля будут вписываться также в дугу полуспира-

ли. 

Амплитуда  волны,  приходящей  от  второй  зоны 

Френеля, 

будут  изображаться  вектором 

2

E

.  Продолжая  разбиение  третьей  зоны  Френеля  на  субзоны,  построим 

векторную  диаграмму  вторичных  волн  от  нее.  Амплитуда  результирующей  волны,  приходящей  от 
третьей зоны Френеля изображается вектором 

3

E

. Эти рассуждения можно продолжить. Очевидно, век-

торная диаграмма вторичных волн от бесконечно малых субзон всего открытого волнового фронта бу-
дет изображаться спиралью (рис. 26). При этом амплитуда результирующей волны, приходящей от пол-
ностью открытого волнового фронта, изображается вектором 

p

E

. Из векторной диаграммы непосредст-

венно следует, что  

2

1

p

E

E

=

, 

 

 

Рис. 25                                                                 Рис. 26 

Рис. 23 

Рис. 24 

 

 

Рис. 27 

или 

p

1

2

E

E

=

, 

 
т.е. амплитуда вторичной волны, приходящей от первой зоны Е

1

 в два раза больше, амплитуды волны, 

приходящей от всего сферического волнового фронта. Этот вывод раньше был получен алгебраическим 
путем. 

Углубление  метода  зон  Френеля  позволяет  по-новому  объяснить  закономерности  дифракции  на 

круглом отверстии и действие зонных пластинок.           В § 5 было показано, что в зависимости от того, 
четное или нечетное число зон Френеля укладывается в отверстии амплитуда волны, проходящей через 
круглое отверстие, периодически изменяется при увеличении радиуса отверстия аналогично рис. 8.  

При  этом  графическое  изменение амплитуды волны  от радиуса  отверстия можно  совместить  с  полу-

ченной нами спиралью векторной диаграммы (рис. 27). Например,  если  в  отверстии  содержится  четное 
число зон Френеля (m = 2), то амплитуда принимаемой волны равна: 

2

1

E

E

E

+

=

, т.е. модуль этой ампли-

туды: 

2

1

E

E

E

−

=

 на векторной диаграмме изображается отрезком ОВ. 

Если  в  отверстии  укладывается  нечетное  число  зон  Френеля  (m  = 3), то  амплитуда  принимаемой 

волны  равна: 

3

2

1

E

E

E

E

+

+

=

,  т.е.  модуль  этой амплитуды: 

3

2

1

E

E

E

E

+

−

=

  на  векторной  диаграмме  изо-

бражается отрезком ОС. Допустим, что амплитудная зонная пластинка, работающая на отражение или 
прохождение, исключает действие всех четных зон и в  точку наблюдения приходят волны только  не-
четных  зон  Френеля.  Тогда  для  выбранной  точки  наблюдения  векторная  диаграмма  вторичных  волн 
принимает вид, показанный на рис. 28, а. От спирали (рис. 27, б) остаются только полувитки нечетных 
номеров зон Френеля. Эту векторную диаграмму можно перечертить так, как показано на рис. 28, б. Яс-
но, что результирующая амплитуда будет во много раз   больше,  чем  при  свободном  распространении  
волн.  Этим  объясняется 
 

 

 

 

Рис. 28                                                                   Рис. 29 

 
фокусирующее действие амплитудной зонной пластинки. Аналогичный результат получится, если ам-
плитудная зонная пластинка исключает действие нечетных зон Френеля. 

В §§ 6 и 7 были описаны фазовые зонные пластинки, которые, например, изменяют фазы вторичных 

волн от четных зон на π по сравнению с фазами волн от нечетных зон. Действие фазовой зонной пластинки 
сводится к преобразованию спирали векторной диаграммы (рис. 29, а) так, что полувиток каждой четной 
зоны Френеля поворачивается на угол π против часовой стрелки по сравнению с полувитками каждой не-
четной зоны (рис. 29, б). 

Из сравнения векторных диаграмм (рис. 28, б) и (рис. 29, б) следует, что амплитуда вторичной вол-

ны, даваемая фазовой зонной пластинкой больше амплитуды, которую обеспечивает амплитудная зон-
ная  пластинка.  Фокусирующее  действие  вогнутого  зеркала  или  собирающей  линзы  сводится  к  «вы-
прямлению» векторной диаграммы (рис. 29, б). Однако это требует дополнительных разъяснений. 

9   Строгая теория фокусировки волн 

 

В §§ 6 и 7 для объяснения фокусирующих свойств вогнутых зеркал и собирающих линз был приме-

нен  приближенный  метод  зон  Френеля.  Было  показано,  что  фокусирующий  прибор  является  предель-
ным  случаем  ступенчатой  фазовой  зонной  пластинки.  Дадим  более  строгий  подход  к  теории  фокуси-
ровки волн. Вначале рассмотрим собирающее и рассеивающее действие зеркал с точки зрения теории 
дифракции. 

Пусть источник и приемник волн находятся в точке М на расстоянии        ОМ = f от плоского зерка-

ла (рис. 30). Разобьем поверхность зеркала на элементарные кольцевые участки, называемыми субзона-
ми. Размер субзон значительно меньше зон Френеля. Границей первой центральной субзоны являются 

точки  на  зеркале.  Которые  находятся  на  расстоянии 













∆

+

2

f

  от 

точки М, где 

2

λ

<<

∆

. Границей второй кольцевой субзоны являют-

ся  точки  на  поверхности  плоского  зеркала,  которые  находятся  на 

расстоянии 













∆

+

2

2

f

 от точки М. Продолжая разбиение зеркала на 

кольцевые элементарные участки, легко видеть, что границей i-ой