Дифракция и фокусировка электромагнитных волн - часть 3

 

зывается «амплитудной зонной пластинкой, работающей на отражение» (рис. 12).  

Следовательно, амплитудная зонная пластинка будет обеспечивать в точке приема отраженную 

волну с амплитудой: 

 

5

3

1

2

p

E

E

E

E

+

+

=

.                    (23) 

Векторная  диаграмма  амплитуд  вторичных 

волн,  даваемых  амплитудной  зонной 

пластинкой, показана на  

         

       

 

 

                 Рис. 12                                                     Рис. 13 

 

рис. 13. Опыт в сантиметровом диапазоне волн подтверждает, что отражающее действие амплитудной 

зонной пластинки больше отражающего действия плоского зеркала, т.е. 

p1

p2

E

E

>

. 

Во-вторых,  из  формулы (22) следует,  что  между  вторичными  волнами,  отраженными  от  соседних 

четных и нечетных зон имеется разность фаз 

π

=

ϕ

, или геометрическая разность хода 

2

λ

=

∆

. Поэтому, 

вместо того чтобы исключать действие четных зон, для увеличения амплитуды отраженной волны не-
обходимо фазы вторичных волн от четных зон изменить на 

π по сравнению с фазами волн, отраженных 

от нечетных зон. Другими словами, необходимо компенсировать разность хода 

2

λ

=

∆

 вторичных волн 

от соседних зон. Полученная таким образом пластинка называется «фазовой зонной пластинкой, рабо-

тающей  на отражение»,  или  пластинкой  с  обращением фаз.  Следовательно,  фазовая  зонная  пластинка 

будет обеспечивать в точке приема результирующую волну с амплитудой 

 

6

5

4

3

2

1

p3

E

E

E

E

E

E

E

+

+

+

+

+

=

.                         (24) 

 

Векторная диаграмма амплитуд, даваемых фазовой зонной пластинкой, показана на рис. 14. Изгото-

вить  фазовую  зонную  пластинку  можно  следующим  образом.  Перед  плоским  металлическим  листом 

диаметром 44 см в области четных зон (i = 2, 4, 6) устанавливают отражающие металлические кольце-
вые пластины соответствующих четных зон на расстоянии 

=

d

4

2

λ

=

∆

 от него и закрепляют их с помо-

щью шпилек с цилиндрическими прокладками высотой d = 8 мм (рис. 15).  

 

Рис. 14 

Таким  образом,  в  фазовой  зонной  пла-
стинке,  работающей  на  отражение,  отра-
жающие  поверхности  четных  зон  оказы-
ваются  сдвинутыми  пространственно  по 
отношению  к  отражающим  поверхностям 
нечетных зон на расстояние 

4

λ

=

d

. Опыт в 

Рис. 11 

1

р

E

р2

E

р3

E

 

сантиметровом  диапазоне  радиоволн  по-
казывает, что фокусирующее действие фа-
зовой  зонной  пластинки  больше  фокуси-
рующего  действия  амплитудной  зонной 
пластинки,  т.е. 

2

p

3

p

E

E

>

  примерно  в  два 

раза. 

 
Рис. 15 

От  фазовой  зонной  пластинки  перей-

дем  к  ступенчатой  фазовой  зонной  пла-
стинке,  работающей  на  отражение  (рис. 
16).  

Изготавливается  она  следующим  об-

разом. Перед плоским металлическим лис-
том диаметром 44 см в области второй зо-
ны (i = 2) устанавливают соответствующее 
отражающее металлическое кольцо на рас-
стоянии 

8

4

2

=

λ

=

d

  мм  от  листа  и  жестко 

закрепляют его;  в области третьей зоны (i 
= 3) перед листом уста- 

 
Рис. 16 

навливают  соответствующее  отражающее  металлическое  кольцо  на  расстоянии 

16

4

2

3

=

λ

=

d

  мм  и  т.д. 

Отражающее кольцо i-ой зоны устанавливают от листа на расстоянии 

4

)

1

(

λ

−

= i

d

i

.                                                (25) 

 

Студенты часто считают, что фокусирующее действие ступенчатой фазовой зонной пластинки (рис. 16) 

больше, чем фазовой зонной пластинки (рис. 15), так как она напоминает вогнутое зеркало. Однако, их 

фокусирующие действия одинаковы. Объясняется это тем, что ступенчатая фазовая пластинка изменяет 

фазы вторичных волн от четных зон на нечетное число 

π

, а фазы вторичных волн от нечетных зон на 

четное число 

π

. Таким образом, фазовые соотношения вторичных волн от фазовой зонной пластинки и 

от ступенчатой фазовой зонной пластинки одинаковы. Это также подтверждается опытами в сантимет-

ровом диапазоне волн. 

Очевидно,  что  ступенчатая  фазовая  зонная  пластинка  не  обеспечивает  полной  фокусировки  волн, 

так как вторичные волны, приходящие в точку приема от противоположных краев одной и той же зоны 
Френеля имеют разность фаз, равную 

π

. Вследствие этого вторичные волны от элементарных кольце-

вых зон каждой зоны Френеля в точке приема имеют не одинаковые фазы, различны у них и оптические 
пути, то есть они не таутохронны. Полное фокусирующее действие можно обеспечить, если ступенча-
тое изменение отражающей поверхности в зонной пластинке заменить на плавное непрерывное измене-
ние, то есть перейти к вогнутому зеркалу. Форму поверхности собирающего зеркала можно найти, если 
из  выражений (21) и (25) исключить  длину  волны 

λ  и  считать,  что  при  большом  числе  зон  Френеля 

)

1

(

−

≈ i

i

. Следовательно, мы получаем уравнение параболы: 

 

fd

r

2

2

=

,                                                    (26) 

 

где f – фокусное расстояние вогнутого зеркала. 

Таким образом, для исключения сферической аберрации поверхность собирающего зеркала должна 

быть параболоидом вращения. Однако, так как формула (21) получена приближенно, ибо не учитывались 
члены второго порядка малости 

2

2

∆

i

, то поверхность собирающего зеркала, не обладающего сферической 

аберрацией должна быть гиперболоидом вращения. 

Из формулы (26) следует, что фокусное расстояние зонной пластинки равно 

i

r

f

i

λ

=

2

2

.                                                    (27) 

 

 

Так как в данную формулу входят номера i зон, то часто считают, что зонная пластинка имеет 

несколько фокусов. Однако радиусы зон Френеля могут быть рассчитаны по формуле 

1

r

i

r

i

=

,                                                     (28) 

 

где r

i

 – радиус первой зоны. Подставляя выражение (28) в формулу (27) найдем 

 

λ

=

2

1

2

r

f

. 

 

Так как радиус первой зоны Френеля зависит при данной длине волны, лишь от расстояний ис-

точника и приемника до зонной пластинки, то и фокусное расстояние ее определяется этими пара-
метрами. 

 

7   Зонные пластинки, работающие на прохождение и фокусировка волн 

 

Пусть имеется источник волн и приемник, между которыми расположен экран с круглым отверсти-

ем.  Разобьем  волновую  сферическую  поверхность  в  области  отверстия  на  кольцевые  зоны  Френеля. 
Пусть  число  зон,  которые укладываются  в  отверстии,  равно  m  = 5. Тогда  амплитуда  результирующей 
волны, регистрируемая приемником, согласно принципа Гюйгенса-Френеля будет равна: 

5

4

3

2

1

p

1

E

E

E

E

E

E

+

−

+

−

=

. 

 

Возникает проблема: как можно увеличить амплитуду волны, регистрируемую приемником? Суще-

ствует два различных способа решения этой проблемы. Во-первых, исключим действие, например, чет-
ных зон. Это можно сделать с помощью, так называемой амплитудной зонной пластинки, которая для 
световых волн представляет собой стеклянную пластинку, на которой нанесено непрозрачное покрытие 
так, что оно закрывает все четные зоны Френеля и оставляет открытыми все нечетные кольцевые зоны. 
Более просто амплитудную зонную пластинку можно изготовить для радиоволн. Она состоит из метал-
лических  колец,  закрывающих  четные  зоны  Френеля  (рис. 17). Радиусы  зон  Френеля  рассчитаны  по 
формуле (15) при R = L = 0,5 м и 

λ = 3,2 см, i = 1; 2; 3 … Для проведения опыта устанавливают источ-

ник и приемник радиоволн на расстоянии R + L = 100 см. Измеряют интенсивность волн, проходящих 
через отверстие, содержащее m = 6 зон Френеля. Установив между источником и приемником волн ам-
плитудную зонную пластинку, отмечают увеличение интенсивности, принимаемых волн. Из формулы 
(29) следует, что результирующее колебание, приходящее от амплитудной зонной пластинки, равно 

 

5

3

1

p

2

E

E

E

E

+

+

=

.                                         (29) 

 

Легко видеть, что 

1

2

p

p

E

E

>

. Векторная диаграмма сложения колебаний, даваемых амплитудной зонной 

пластинкой, будет аналогична рис. 13. 

Во-вторых, еще большее увеличение амплитуды можно получить с помощью фазовой зонной пла-

стинки, в которой колебания нечетных зон не уничтожаются, как это имело место ранее, а изменяют фа-
зу на 

π. Такое изменение фазы четных зон можно достичь, если площади этих зон покрыть прозрачным ди-

электриком соответствующей толщины. В фазовой зонной пластинке для радиоволн (рис. 18) четные зоны 
покрываются металлоленточной структурой при расстоянии между лентами а = 20 мм. При 

λ = 3,2 см экви-

валентный  показатель  преломления  металлоленточной  структуры 

6

,

0

2

1

2

=











 λ

−

=

a

n

.  Чтобы  обеспечить 

изменение  фаз  четных  зон  на 

π,  она  покрывается  искусственным  диэлектриком,  толщина  d  которого 

удовлетворяет условию 

 

 

2

)

1

(

λ

=

− n

d

.                                                 (30) 

 

Результирующее колебание, приходящее от всех зон фазовой зонной пластинки равно: 

5

4

3

2

1

p

3

E

E

E

E

E

E

+

+

+

+

=

. 

 

                 

 

 

           Рис. 17                                              Рис. 18 

   

   

 

 

                  Рис. 19                                     Рис. 20                                  Рис. 21 

 

Легко видеть, что 

2

3

p

p

E

E

>

. Векторная диаграмма сложения колебаний, даваемых фазовой зонной 

пластинкой, будет аналогична рис. 14. 

Опыт  показывает,  что  интенсивность  волны,  приходящей  от  фазовой  зонной  пластинки,  больше, 

чем в случае амплитудной зонной пластинки. 

Рассмотрим  действие  ступенчатой  фазовой  зонной  пластинки  (рис. 19) для  радиоволн,  в  которой 

центральная  зона  открыта,  вторая  зона  покрыта  искусственной  средой  толщиной  d, удовлетворяющей 
условию (30), третья зона покрыта металлоленточной структурой толщиной 2d, четвертая имеет толщи-
ну 3d и т.д. Часто считают, что ступенчатая фазовая зонная пластинка обеспечивает еще больше увели-
чение  амплитуды  принимаемых  волн,  так  как  она  имеет  форму  близкую  к  линзе,  однако,  ее  действие 
такое же, как и у фазовой зонной пластинки (рис. 18), что подтверждается опытом. Объясняется это тем, 
что в ступенчатой фазовой зонной пластинке фазы четных зон изменяются слоем диэлектрика на нечет-
ное число 

π, а фазы нечетных зон изменяются на четное число π. Следовательно, фазовые соотношения 

вторичных волн в фазовой зонной пластинке и ступенчатой фазовой зонной пластинке одинаковы. 

 Еще  большее  увеличение  амплитуды  принимаемой  волны  можно  получить,  если  от  ступенчатой 

фазовой зонной пластинки перейти к непрерывному изменению ее толщины, т.е. к собирающей линзе. 
Металлоленточная собирающая линза с эквивалентным показателем преломления n < 1 для сантиметро-
вых электромагнитных волн показана на рис. 20. Действие этой линзы сводится к тому, что все вторич-
ные волны приходят в точку наблюдения, которая является фокусом, в одинаковой фазе. Другими сло-
вами,  все  оптические  пути  вторичных  волн  одинаковы.  Лучи,  собираемые  в  фокусе,  являются  тауто-
хронными, то есть время распространения для них одинаково. 

Можно  показать,  что  фокусирующее  действие  линзы  не  зависит  от  ее  толщины.  Из  линзы  можно 

удалить кольцевые слои, которые изменяют фазы вторичных волн на четное число 

π, т.е. на 2π, 4π,… 

толщина удаленных слоев должна удовлетворять условию: d(1 – n) = 

λ; d(1 – n) = 2λ и т.д. Линза, в ко-

торой удалены подобные слои, называется зонированной (рис. 21). Фокусирующее действие зонирован-
ной и обычной толстой линз с одинаковыми фокусными расстояниям одинаковы. 

8   Углубление метода зон Френеля